Алгебра 9класс. Учитель математики- Пыкина Э.А.
Эпиграф:
« Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи,
причем не только стандартного вида, но и требующие известной независимости мышления,
здравого смысла, оригинальности, изобретательности.
Д. Пойа.
Урок- презентация «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
Цель урока: обобщение тем «Арифметическая прогрессия» и «Геометрическая прогрессия».
Задачи урока:
-- обобщить и систематизировать теоретические знания учащихся, а именно –нахождение п-ого
члена и суммы п первых членов данных прогрессий с помощью формул;
-- проконтролировать и развивать умения и навыки;
-- развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и
окружающей жизнью.
Тип урока: повторительно - обобщающий.
Оборудование: Карточки с заданиями
На урок со слайда №2;
Задания на дом со слайда № 14 и слайда №15.
Ход урока.
I Организационный момент.
Презентация. Слайд №1.
Слова учителя: 
Прогрессии мы с вами изучали
И много новых формул вы узнали
Различные задачи прорешали
И вот теперь настал тот час
И вы конечно же должны узнать,
А применимы ли прогрессии в жизни сейчас?
Сегодня предпоследний урок по главе « Арифметическая и геометрическая прогрессии».
Предстоит вам контрольная работа. Перед вами задача- показать , как вы знаете формулы
прогрессии и умеете их применять при решении различных задач.
Слайд №2.
Даны примеры последовательностей. Определите какая последовательность является
« арифметической или геометрической прогрессией», ответы запишите на листочках, найдите
разность и знаменатель .
2; 5; 8; 11; 14; 17…
3; 9; 27; 81; 243; …
1; 6; 11; 20; 25;…
-4; -8; -16; -32;…
5; 25; 35; 45;55…
-2; -4 -6;-8; -10;…
Слайд №3 ,проверим решение.
Ответ :
1) 2; 5; 8; 11; 14; 17;…
|
арифметическая прогрессия d =3.
|
2) 3; 9; 27; 81; 243;…
|
геометрическая прогрессия q =3.
|
3) 1; 64 11; 20; 25; …
|
последовательность чисел
|
4) -4; -8; -16; -32;…
|
геометрическая прогрессия q =2.
|
5) 5; 25; 35; 45; 55; ..
|
последовательность чисел.
|
6) -2; -4; -6; -8; -10; …
|
арифметическая прогрессия d = -2..
|
Вопросы по проверке теоретического уровня знаний.
Какая последовательность называется арифметической прогрессией?
какая последовательность называется геометрической прогрессией?
Как вычислить разность арифметической прогрессии ?
Как вычислить знаменатель геометрической прогрессии?
Почему прогрессия называется арифметической?
Почему прогрессия называется геометрической?
Какому множеству чисел принадлежит число п ?
Слайд №4.
Арифметическая
Пример 2,1; 2,6; 3,1…
Определение …каждый следующий равен
предыдущему сложенному
с одним и тем же числом
Разность d = ап+1 – aп
Формула n - ого члена
ап = a1 + (n-1) хd
Характеристическое свойство
Среднее арифметическое
an = (aп+1+ aп-1) : 2
Геометрическая
Пример 0,6; 1,8; 2,4…
Определение … каждый следующий равен предыдущему умноженному на одно и то же число
Знаменатель q = bп+1 : bп
Формула n – ого члена
bп = b1 х qп-1
Характеристическое свойство
Среднее геометрическое
bп = √ bп+1 х bп-1
Арифметическая
Сумма n первых членов
Sn = (a1+ aп)х n /2
Sn =(2a1+ d х(n-1)) n/2
Геометрическая
Сумма n первых членов
Sn = b1 (qп - 1) / q -1
Слайд №5.
Историческая справка. Слова учителя.
В XVIII в в английских и французских .учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий .Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям , были известны китайским и индийским ученым. Например Ариабхатта (Vв.) знал формулы для общего члена и суммы арифметической прогрессии.
Слово прогрессия ( лат.progressio) означает «движение вперед»( как и слово «прогресс»), встречается впервые у римского автора Боэция. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать.
В древнеегипетском папирусе Ахмеса ( около 2000 лет до н.э) приводится такая задача:
«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя , полученного каждым человеком и его соседом , равнялось 1/8 меры»
А в одном из древнегреческих папирусов приводится следующая задача:
«Имеется 7 домов, в каждом доме по 7 кошек, каждая кошка съедает по 7 мышей , каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. Нужно посчитать сумму мер зерна».
Слайд №6
Эпизод из жизни Карла Гаусса.
Однажды на уроке, чтобы занять первоклассников, пока он будет заниматься с учениками третьего класса, учитель велел сложить все числа от 1 до 100, надеясь, что это займет много времени. Но маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101, 2+99=101 и т.д. И таких чисел будет 50. Осталось 101 умножить на 50. это мальчик сделал в уме. Едва учитель закончил чтение условия, он предъявил ответ, записанный на грифельной доске. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике. В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже назвали «царем математики».
Легенда о создании шахмат. Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета , издеваясь над царем, потребовал ….Что потребовал Сета?
«Чтобы разместить это зерно в амбаре, то его размеры будут: высота 4 м, ширина 10 м, длина будет 30 000 000 км – вдвое больше, чем расстояние от Земли до Солнца. А чтобы его получить, то надо засеять пшеницей площадь всей Земли, считая моря, океаны, горы, пустыни, Арктику с Антарктикой, то лет за пять царь смог бы рассчитаться с просителем»
Слайд №7
Выполните задания.
В восточных странах Китае, Корее, Японии и других, люди едят при помощи палочек. Часто их делают из бамбука, древесины, слоновой кости и металла. В Китае такие палочки называют «Куайцзы».
Узнайте как палочки для еды называют в Японии. Для этого выполните задания , учитывая. Что (ап)- арифметическая прогрессии. Зачеркните в таблице буквы, соответствующие найденным ответам.
1) а1 =20; d =4. Найдите а5 ; 2) а1 =1,7 ; в =- 0,2 ; Найдите а8.
3) -8 ; -6,5; … Найдите а4 ; 4) а8 = -14; а10 = -9,5. Найдите d.
-3,5
|
3,5
|
36
|
0,3
|
33
|
-2,5
|
2,5
|
0,7
|
Г
|
Х
|
У
|
Ф
|
А
|
С
|
Е
|
И
|
Ответ: Хаси.
Слайд №8
А применимы ли прогрессии сейчас?
Задача №1. Курс воздушных ванн начинается с 15 мин в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый последующий день на 10 мин. Cколько дней потребуется принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 ч 45 мин?
Слайд № 9. Проверим решение.
Задача №1.
ап = a1 + (n-1) хd ;
105 = 15 +10(п-1);
п-1= 90:10;
п=10.
Слайд №10.
Задача №2.Представьте себе , что ты прораб на стройке. Привезли и выгрузили большое количество труб. Нужно быстро определить , чтобы закрыть наряд шоферу, сколько труб. Как это сделать? Какое рационализаторское предложение внесешь по транспортировке и укладке труб?
Слайд № 11.
Ответ к задаче №2.
В данном случае нужно выбрать такую форму контейнера, или захвата для выгрузки, чтобы подсчет труб осуществлялся по простым формулам. Один из способов – использовать естественное расположение труб штабелем так, чтобы в каждом верхнем ряду количество оказывается на единицу меньше, чем в предыдущем нижнем, т.е числа труб в последовательных рядах образуют арифметическую прогрессию.
Слайд № 12.
Задача №3.
Ребенок заболеет ветрянкой, если в его организме окажется не менее 27000 вирусов ветряной оспы. Если заранее не сделана прививка от ветрянки, то каждый день число попавших в организм вирусов утраивается. Если в течении 6 дней после попадания инфекции болезнь не наступает, организм начинает вырабатывать антитела, прекращающие размножение вирусов. Какое минимальное количество вирусов должно попасть в организм, чтобы ребенок, которому не сделали прививку, заболел?
Слайд № 13.
Эта задача является примером геометрической прогрессии, где Sn =27000, а найти надо b1, при п =6, и q =3; 27000= b1 (36 -1):(3-1); b1 ≈ 75.
Слайд № 14.
В старинной арифметике Магницкого приведена следующая забавная задача.
Некто продал лошадь за 156 руб.Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:
- Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь ,которая таких денег не стоит.
Тогда продавец предложил другие условия:
- Если по –твоему , цена лошади высока, то купи ее подковные гвозди; лошадь же тогда получишь в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего ¼к., за второй ½к., за третий 1к. и т.д
Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условие продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10р.
На сколько покупатель проторговался?
Эту задачу и задачу слайда №15 вам предлагается решить дома.
Слайд № 15.
Вкладчик 10 января 2007 г. внес в сберегательный банк 3000 руб. Какова будет сумма его вклада на 10 января 2010 г., если сбербанк начисляет ежегодно 26 % годовых ?
Слайд № 16.
Все формулы мы с вами повторили.
Урок успешно завершили.
Литература:
1.Глейзер Г.И.История математики в школе.-М.,Просвещение,1992г.
2.МакарычевЮ.Н .и др.Алгебра 9. – М., Просвещение 2008г.
3.Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики .- М., Просвещение ,1990г.
4.Газета «Математика» |
