Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя о  бщеобразовательная школа № 21
Работу выполнил ученик 9 «Б» класса
МОУ СОШ № 21 Свистов Иван
Руководитель: учитель математики МОУ СОШ № 21
Синцова Татьяна Витальевна
Содержание:
Введение
Теоретическая часть:
2.1. Вписанная окружность
2.2. Описанная окружность
2.3. Взаимное расположение прямой и окружности
2.3. Площади фигур
2.5. Свойства прямоугольного треугольника
Практическая часть:
3.1. Задачи с окружностью, описанной около треугольника
3.2. Задачи с окружностью, вписанной в треугольник
3.3. Задачи с окружностью, описанной около четырехугольника
3.4. Задачи с окружностью, вписанной в треугольник
Заключение
Введение:
Тема «Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках» является одной из самых сложных в курсе геометрии. На уроках ей уделяется очень мало времени.
Геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы.
Для успешного выполнения этих заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов и некоторый опыт в решении геометрических задач.
Цель:
Углубить знания по теме «Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках»
Задачи:
Систематизировать знания по этой теме
Подготовиться к решению задач повышенной сложности ЕГЭ
Теоретическая часть
Вписанная окружность
О пределение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.
Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на пересечении биссектрис треугольника.
Свойство: в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Признак: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Описанная окружность
О пределение: если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.
Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Центр окружности, описанной около треугольника, находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Свойство: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180˚.
Признак: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180˚, то около него можно описать окружность.
В заимное расположение прямой и окружности:
AB – касательная, если OH = r
Свойство касательной:
AB ┴ OH (OH – радиус, проведенный в точку касания H)
С войство отрезков касательных, проведенных из одной точки:
AB = AC
ﮮ BAO = ﮮ CAO
П лощадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:
Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон на синус угла между ними:
Площадь треугольника
П лощадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними:
П лощадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:
П лощадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Е сли угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы:
Площадь трапеции
П лощадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:
Теорема: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Прямоугольный треугольник
В ысота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой:
 
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:
Теорема: сумма углов треугольника равна 180°
Основное тригонометрическое тождество: sin2 A + cos2 A = 1
Т еорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a2 = b2 + c2 – 2bc ∙ cos A
Свойство хорд: если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM ∙ MB = CM ∙ MD.
Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2 = a2 + b2
Медиана
М едиана (от лат. mediana — средняя), отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Практическая часть
З адача 1: Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром O. Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.
Дано: ∆ ABC – равнобедренный, AC – основание, ﮮ ACB = 75˚,
площадь ∆ BOC равна 16
Найти: радиус описанной окружности
Решение:
Проведем медианы AF, CE, BH
∆ ABC – равнобедренный, BH – медиана, следовательно, BH – высота, а значит ∆ HBC – прямоугольный
ﮮ HBC = 90˚ - ﮮ ACB, ﮮ HBC = 90˚ - 75˚ = 15˚
BO = OC = R, следовательно, ∆ BOC – равнобедренный, значит ﮮHBC = ﮮECB = 15˚
ﮮ COB = 180˚ - (ﮮ HBC + ﮮECB), ﮮ COB = 180˚ - (15˚ + 15˚) = 150˚
S =  ∙ BO ∙ OC ∙ sin ﮮ BOC (теорема о площади треугольника), SBOC = ∙ R ∙ R ∙ sin 150˚ = ∙ R ∙ R ∙ =  ∙ R2 ; ∙ R2 = 16; R2 = 16 : = 64; R =  = 8
Ответ: R = 8
Задача 2: треугольник BMP с углом B, равным 45˚, вписан в окружность радиуса 6. Найдите длину медианы BK, если BK пересекает окружность в точке C и CK = 3.
Решение:
ﮮ MOP = 2 ﮮMBP
ﮮ MOP = 2 ∙ 45˚ = 90˚, следовательно, ∆ MOP – прямоугольный
MP2 = OM2 + OP2
MP2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 36 ∙ 2
MP = 
MK = KP = 0,5 ∙ MP
MK = KP = 0,5 ∙  = 
MK ∙ KP = BK ∙ KC
 = BK ∙ 3
BK ∙ 3 = 9 ∙ 2
BK ∙ 3 = 18
BK = 6
Ответ: BK = 6
Задача 3: остроугольный равнобедренный треугольник BCD с основанием CD, равным 16, вписан в окружность с центром O и радиусом 10. Найдите площадь треугольника BOC.
Решение:
∆ BCD – равнобедренный, CD = 16, следовательно, DH = HC = 8
∆ DOH – прямоугольный
По теореме Пифагора:
OH2 = 102 – 82
OH2 = 100 – 64 = 36
OH = 6
BH = BO + OH = 10 + 6 =16
По теореме Пифагора:
BC2 = 162 + 82 = 256 + 64 = 320
BC = 
∆ KBO ~ ∆ HBC
SBHC = 
SBOK = 20
SBOC = 2 ∙ SBOK = 2 ∙ 20 = 40
Ответ: SBOC = 40
З адача 4: радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника.
Решение:
AC = 2r = 10 м
Пусть AM = AK = x, MC = CL = y
П о теореме Пифагора:
x + y = 10
(x + 2)2 + (y + 2)2 = (x + y)2
y = 10 – x
(x + 2)2 + (10 – x + 2)2 = (x + 10 – x)2
(x + 2)2 + (12 – x)2 = 100
x2 + 4x + 4 +144 – 24x + x2 = 100
2x2 – 20x + 148 = 100
2x2 – 20x + 48 = 0
x2 – 10x + 24 = 0
x1 = 6, x2 = 4
y = 10 – x
x = 6 x = 4
y = 4 y = 6
3. Так как нужно найти больший катет, то берем y = 6
BC = 2 + 6 = 8 м
Ответ: BС = 8 м
Задача 5: окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.
Дано: ∆ BCD – равнобедренный, K є BC, A є DC, BK = 15, KC = 10
Найти: KA
Решение:
CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 25
CK = CA = 10 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), CB = CD, следовательно AD = CD – CA, AD = 25 – 10 = 15
BE = BK = 15, DE = DA = 15 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), следовательно BD = 15 + 15 = 30
∆ CKA ~ ∆ CBD (ﮮC – общий, CK : CB = CA : CD), следовательно KA : BD = CA : CD, KA : 30 = 10 : 25, KA = 10 ∙ 30 : 25 = 12
Ответ: KA = 12
Задача 6: периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него окружности – 6 м. Найдите диаметр описанной окружности.
Дано: ∆ ABC – прямоугольный, P = 72 м, r = 6 м
Найти: BC
Решение:
DO = OF = OE = r = 6 м, следовательно AD = AF = 6 м
FC = EC, BD = BE (отрезки касательных, проведенные из одной точки)
Пусть BD = x, FC = y, тогда AB = x + 6, AC = y + 6, BC = x + y
По теореме Пифагора AB2 + AC2 = BC2
P = AB + BC + AC, P = x + 6 + x + y + y + 6 = 2x + 2y + 12
2x + 2y + 12 = 72
(x + 6)2 + (y + 6)2 = (x + y)2
2x + 2y = 60 I: 2
x2 + 12x + 36 + y2 + 12y + 36 = x2 + 2xy + y2
x + y = 30
12x – 2xy + 12y + 72 = 0 I: 2
y = 30 – x
6x – xy + 6y + 36 = 0
6x – x(30 – x) + 6(30 – x) + 36 = 0
6x – 30x + x2 + 180 – 6x + 36 = 0
x2 – 30x + 216 = 0
D = (-30)2 – 4 ∙ 1 ∙ 216 = 900 – 864 = 36
x1 =  =  = 18, x2 =  =  = 12
y = 30 – x
x = 18
y = 12
x = 12
y = 18
BC = x + y
BC = 18 + 12 = 30 (м) Ответ: 30 м – диаметр описанной окружности Задача 7: в равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота – 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.  Решение:
Проведем серединные перпендикуляры к основаниям Н и К, тогда центр окружности О лежит на прямой НК.
АО=ОВ=R. Точка О делит отрезок НК на две части: пусть НО = х, тогда ОК = 8 – х.
АО2 = АК2 + КО2; ОВ2 = ВН2 + НО2;
так как ОА 2=ОВ 2, получим: АК 2 + КО 2 = ВН 2 + НО 2    90 + 64 – 16x = 0 16x = 154   ОВ 2 = ВН 2 + НО 2  Ответ: OB = 10,625 З адача 8: в ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности. Дано: ромб, радиус вписанной окружности – R, BD  r в 4 раза Найти:  Решение:
Пусть OE = R, BD = 4OE = 4R
Ответ:  З адача 9: найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10. Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10 Найти:  Решение:
AB = CD = 10 по условию
AB + CD = AD + BC по свойству вписанной окружности
AD + BC = 10 + 10 = 20
FE = 2r = 2 · 4 = 8
Ответ:  Задача 10: внутри правильного треугольника со стороной a расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.  Решение:
Пусть AB = BC = AC = a.
Обозначим O1E = O1K = ED = r, тогда AD = AE + ED = AE + r =  .
AO1 – биссектриса угла A, следовательно, ﮮ O1AE = 30˚ и в прямоугольном ∆AO1E имеем AO1 = 2O1E = 2r и AE = = = . Тогда AE + r = = = , откуда  .
4.  Ответ:  З адача 11: вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности. O Решение:
Пусть ﮮAOB = 2x, ﮮBOC = x, тогда по условию 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ﮮAOB = 60°, ﮮBOC = 30°
Ответ:  З адача 12: стороны треугольника равны 12 м, 16 м и 20 м. Найдите го высоту, проведенную из вершины большего угла. Решение:
202 = 122 + 162
400 = 144 + 256 400 = 400 верно, следовательно, ∆ АВС – прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора)
 96 = 10 · ВН ВН = 9,6 Ответ: ВН = 9,6 Задача 13: в прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10 м и 15 м.  Дано: ∆ ABC – прямоугольный, AC = 15, CB = 10 Найти:  Решение:
∆ ADE ~ ∆ ACB (ﮮ A – общий, ﮮ ADE = ﮮ ACB = 90°)
Пусть DE = DC = X, тогда AD = 15 – X
 15 · X = 10(15 – X) 15 · X = 150 – 10 · X 25 · X = 150 X = 6 DE = DC = 6
S кв. = 6 · 6 = 36
Ответ: S кв. = 36 З адача 14: основания трапеции равны 10 м и 31 м, а боковые стороны – 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции. Решение:
HK = BC = 10 м
Пусть BH = CK = x, AH=y, тогда KD = 21 – y
По теореме Пифагора:
x 2 + y 2 = 13 2x 2 + (21 – y) 2 = 20 2x 2 + y 2 = 169 x 2 + 441 – 42y + y 2 = 400 441 – 42y = 231 42y = 210 y = 5 AH = 5 м
По теореме Пифагора:
BH 2 = AB 2 – AH 2BH 2 = 13 2 – 5 2BH 2 = 169 – 25 BH 2 = 144 BH = 12 Ответ: BH = 12 Заключение: В процессе работы я расширил знания по теме «Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках», научился решать задачи, казавшиеся ранее недоступными, систематизировал знания по этой теме, и закрепил методы решения этих задач на практике. Так как геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы, то в дальнейшем мне будет намного легче справиться с ними на ЕГЭ. Список литературы:
«Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»
г. Шарья
2009 год
|
