Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 0.64 Mb.
|
Уметь:
Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для
Функции и графики Уметь
Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для
Начала математического анализа Уметь
Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для
Уравнения и неравенства Уметь
Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей Уметь:
Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для
Геометрия В результате освоения курса учащиеся должны Знать:
Уметь:
Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для
Алгебра и начала анализа Содержание обучения 10 класс
Понятие делимости. Делимость суммы и произведе ния. Деление с остатком. Признаки делимости. Сравне ния. Решение уравнений в целых числах. Основная цель — ознакомить с методами решения задач теории чисел, связанных с понятием делимости. В данной теме рассматриваются основные свойства де лимости целых чисел на натуральные числа и решаются задачи на определение факта делимости чисел с опорой на эти свойства и признаки делимости. Рассматриваются свойства сравнений. Так как сравне ние по модулю т есть не что иное, как «равенство с точно стью до кратных т», то многие свойства сравнений схожи со свойствами знакомых учащимся равенств (сравнения по одному модулю почленно складывают, вычитают, перемно жают). Задачи на исследование делимости чисел в теории чисел считаются менее сложными, чем задачи, возникающие при сложении и умножении натуральных чисел. К таким зада чам, например, относится теорема Ферма о представлении n-й степени числа в виде суммы гс-х степеней двух других чисел. Рассказывая учащимся о проблемах теории чисел, жела тельно сообщить, что решению уравнений в целых и рацио нальных числах (так называемых диофантовых уравнений) посвящен большой раздел теории чисел. Здесь же рассмат ривается теорема о целочисленных решениях уравнения первой степени с двумя неизвестными и приводятся приме ры решения в целых числах уравнения второй степени.
Многочлены от одного переменного. Схема Горнера. Многочлен Р (х) и его корень. Теорема Везу. Следствия из теоремы Везу. Алгебраические уравнения. Делимость дву членов хт ± ат на х ± а. Симметрические многочлены. Многочлены от нескольких переменных. Формулы сокра щенного умножения для старших степеней. Бином Нью тона. Системы уравнений. Основная цель — обобщить и систематизировать знания о многочленах, известные из основной школы; на учить выполнять деление многочленов, возведение двучле нов в натуральную степень, решать алгебраические уравне ния, имеющие целые корни, решать системы уравнений, содержащие уравнения степени выше второй; ознакомить с решением уравнений, имеющих рациональные корни. Продолжается изучение многочленов, алгебраических уравнений и их систем, которые рассматривались в школь ном курсе алгебры. От рассмотрения линейных и квадрат ных уравнений учащиеся переходят к алгебраическим уравнениям общего вида Рп(х) = О, где Рп(х) — многочлен степени п. В связи с этим вводятся понятия степени много члена и его корня. Отыскание корней многочлена осуществляется разло жением его на множители. Для этого сначала подробно рассматривается алгоритм деления многочленов уголком, который использовался в арифметике при делении рацио нальных чисел. На конкретных примерах показывается, как получает ся формула деления многочленов Р(х) = М(х) Q(x) и как с ее помощью можно проверить результаты деления много членов. Эта формула принимается в качестве определения операции деления многочленов по аналогии с делением на туральных чисел, с которым учащиеся знакомились в кур се арифметики. Деление многочленов обычно выполняется уголком или по схеме Горнера. Иногда это удается сделать разложением делимого и делителя на множители. Схема Горнера не яв ляется обязательным материалом для всех учащихся, но, как показывает опыт, она легко усваивается и ее можно рассмотреть, не требуя от всех умения ее применять. Мож но также использовать метод неопределенных коэффици ентов. Способ решения алгебраического уравнения разложени ем его левой части на множители фактически опирается на следствия из теоремы Безу: «Если хг — корень уравнения Рп(х) = О, то многочлен Рп(х) делится на двучлен х - хг». Изучается теорема Безу, формулируются следствия из нее, являющиеся необходимым и достаточным условием деле ния многочлена на двучлен. Рассматривается первый способ нахождения целых кор ней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, если такие корни есть: их следует искать среди делителей свободного члена. Для учащихся, интересующихся матема тикой, приводится пример отыскания рациональных кор- ней многочлена с первым коэффициентом, отличным от 1. Среди уравнений, сводящихся к алгебраическим, рассмат риваются рациональные уравнения. Хотя при решении ра циональных уравнений могут появиться посторонние кор ни, они легко обнаруживаются проверкой. Поэтому поня тия равносильности и следствия уравнения на этом этапе не являются необходимыми; эти понятия вводятся позже при рассмотрении иррациональных уравнений и неравенств. Решение систем нелинейных уравнений проводится как известными учащимся способами (подстановкой или сло жением), так и делением уравнений и введением вспомога тельных неизвестных. 3. Степень с действительным показателем Действительные числа. Бесконечно убывающая геомет рическая прогрессия. Арифметический корень натураль ной степени. Степень с натуральным и действительным по казателями. Основная цель — обобщить и систематизировать знания о действительных числах; сформировать понятие степени с действительным показателем; научить применять определения арифметического корня и степени, а также их свойства при выполнении вычислений и преобразовании выражений; ознакомить с понятием предела последова тельности1. Необходимость расширения множества натуральных чисел до действительных мотивируется возможностью вы полнять действия, обратные сложению, умножению и воз ведению в степень, а значит, возможностью решать уравне ния х + а = Ь, ах = Ь, ха = Ъ. Рассмотренный в начале темы способ обращения беско нечной периодической десятичной дроби в обыкновенную обосновывается свойствами сходящихся числовых рядов, в частности, нахождением суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Действия над иррациональными числами строго не опре деляются, а заменяются действиями над их приближенны ми значениями — рациональными числами. В связи с рассмотрением последовательных рациональ ных приближений иррационального числа, а затем и степе ни с иррациональным показателем на интуитивном уровне вводится понятие предела последовательности. Формулиру ется и строгое определение предела. Разбирается задача на доказательство того, что данное число является пре делом последовательности с помощью определения преде- ла. На данном этапе элементы теории пределов не изуча ются. Арифметический корень натуральной степени п > 2 из неотрицательного числа и его свойства излагаются тради ционно. Учащиеся должны уметь вычислять значения кор ня с помощью определения и свойств и выполнять преобра зования выражений, содержащих корни. Степень с иррациональным показателем поясняется на конкретном примере: число З^2 рассматривается как после довательность рациональных приближений З1,4, З1,41, .... Здесь же формулируются и доказываются свойства степени с действительным показателем, которые будут использо ваться при решении уравнений, неравенств, исследовании функций. 4. Степенная функция Степенная функция, ее свойства и график. Взаимно обратные функции. Сложные функции. Дробно-линейная функция. Равносильные уравнения и неравенства. Ирра циональные уравнения. Иррациональные неравенства. Основная цель — обобщить и систематизировать известные из курса алгебры основной школы свойства функций; изучить свойства степенных функций и научить применять их при решении уравнений и неравенств; сфор мировать понятие равносильности уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств. Рассмотрение свойств степенных функций и их графи ков проводится поэтапно, в зависимости от того, каким числом является показатель: 1) четным натуральным чис лом; 2) нечетным натуральным числом; 3) числом, про тивоположным четному натуральному числу; 4) числом, противоположным нечетному натуральному числу; 5) по ложительным нецелым числом; 6) отрицательным неце лым числом. Обоснования свойств степенной функции не проводят ся, они следуют из свойств степени с действительным по казателем. Например, возрастание функции у = хр на про межутке х > О, где р — положительное нецелое число, следует из свойства: «Если 0 < х1 < х2, р > 0, то xf < x.f». На примере степенных функций учащиеся знакомятся с понятием ограниченной функции, учатся доказывать как ограниченность, так и неограниченность функции. Рассматриваются функции, называемые взаимно обрат ными. Важно обратить внимание на то, что не всякая функ ция имеет обратную. Доказывается симметрия графиков взаимно обратных функции относительно прямой у = х. Знакомство со сложными и дробно-линейными функ циями начинается сразу после изучения взаимно обратных функций. Вводятся разные термины для обозначения сложной функции (суперпозиция, композиция), но употребля ется лишь один. Этот материал в классах базового уровня изучается лишь в ознакомительном плане. Обращается внимание учащихся на отыскание области определения сложной функции и промежутков ее монотонности. Дока зывается теорема о промежутках монотонности с опо рой на определения возрастающей или убывающей функ ции, что позволяет изложить суть алгоритма доказа тельства монотонности сложной функции. Учащиеся знакомятся с дробно-линейными функция ми. В основной школе учащиеся учились строить график функции у = k/x и графики функций, которые получались сдвигом этого графика. Выделение целой части из дробно-линейного выражения приводит к знакомому учащимся виду функции. Определения равносильности уравнений, неравенств и систем уравнений и свойств равносильности дается в связи с предстоящим изучением иррациональных уравнений, не равенств и систем иррациональных уравнений. Основным методом решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень с целью перехода к рациональному уравнению-следствию данного. С помощью графиков решается вопрос о наличии кор ней и их числе, а также о нахождении приближенных кор ней, если аналитически решить уравнение трудно. Изучение иррациональных неравенств не является обя зательным для всех учащихся. При их изучении на базо вом уровне основным способом решения является сведение неравенства к системе рациональных неравенств, равно сильной данному. После решения задач по данной теме учащиеся выводятся на теоретическое обобщение реше ния иррациональных неравенств, содержащих в условии единственный корень второй степени. 5. Показательная функция Показательная функция, ее свойства и график. Показа тельные уравнения. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств. Основная цель — изучить свойства показательной функции; научить решать показательные уравнения и не равенства, системы показательных уравнений. Свойства показательной функции у = ах полностью сле дуют из свойств степени с действительным показателем. Например, возрастание функции у — ах, если а > 1, следует из свойства степени: «Если хх < х2, то aXl < аХг при а > 1». Решение большинства показательных уравнений и не равенств сводится к решению простейших. Так как в ходе решения предлагаемых в этой теме пока зательных уравнений равносильность не нарушается, то проверка найденных корней необязательна. Здесь системы уравнений и неравенств решаются с помощью равносиль ных преобразований: подстановкой, сложением или умно жением, заменой переменных и т. д. 6. Логарифмическая функция Логарифмы. Свойства логарифмов. Десятичные и нату ральные логарифмы. Логарифмическая функция, ее свой ства и график. Логарифмические уравнения. Логарифми ческие неравенства. Основная цель — сформировать понятие логариф ма числа; научить применять свойства логарифмов при ре шении уравнений; изучить свойства логарифмической функции и научить применять ее свойства при решении логарифмических уравнений и неравенств. До этой темы в курсе алгебры изучались такие функ ции, вычисление значений которых сводилось к четырем арифметическим действиям и возведению в степень. Для вычисления значений логарифмической функции нужно уметь находить логарифмы чисел, т. е. выполнять новое для учащихся действие — логарифмирование. При знакомстве с логарифмами чисел и их свойствами полезны подробные и наглядные объяснения даже в про фильных классах. Доказательство свойств логарифма опирается на его определение. На практике рассматриваются логарифмы по различным основаниям, в частности по основанию 10 (де сятичный логарифм) и по основанию е (натуральный лога рифм), отсюда возникает необходимость формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по друго му основанию. Так как на инженерном микрокалькулято ре есть клавиши lg и In, то для вычисления логарифма по основаниям, отличным от 10 и е, нужно применить форму лу перехода. Свойства логарифмической функции активно использу ются при решении логарифмических уравнений и нера венств. Изучение свойств логарифмической функции проходит совместно с решением уравнений и неравенств. При решении логарифмических уравнений и неравенств выполняются различные их преобразования. При этом час то нарушается равносильность. Поэтому при решении лога рифмических уравнений необходимо либо делать проверку найденных корней, либо строго следить за выполненными преобразованиями, выявляя полученные уравнения-следствия и обосновывая каждый этап преобразования. При решении логарифмических неравенств нужно следить за тем, чтобы равносильность не нарушалась, так как провер ку решения неравенства осуществить сложно, а в ряде слу чаев невозможно. 7. Тригонометрические формулы Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала ко ординат. Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Тригонометрические тождества. Синус, косинус и тангенс углов ос и -а. Формулы сложения. Синус, косинус и тан генс двойного угла. Синус, косинус и тангенс половинного угла. Формулы приведения. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов. Произведение синусов и коси нусов. Основная цель — сформировать понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса числа; научить применять формулы тригонометрии для вычисления значений триго нометрических функций и выполнения преобразований тригонометрических выражений; научить решать простей шие тригонометрические уравнения sinx = a, cosx = а при а = 1, -1, 0. Рассматривая определения синуса и косинуса действи тельного числа а, естественно решить самые простые урав нения, в которых требуется найти число а, если синус или косинус его известен, например уравнения sin a = 0, cos а = 1 и т. п. Поскольку для обозначения неизвестного по традиции используется буква х, то эти уравнения записыва ют как обычно: sinx = 0, cosx= 1 и т. п. Решения этих уравнений находятся с помощью единичной окружности. При изучении степеней чисел рассматривались их свой ства ap + q = ар aq, ap~q = ар : aq. Подобные свойства спра ведливы и для синуса, косинуса и тангенса. Эти свойства называют формулами сложения. Практически они выражают зависимость между координатами суммы или разно сти двух чисел а и Р через координаты чисел а и (3. Фор мулы сложения доказываются для косинуса суммы или разности, все остальные формулы сложения получаются как следствия.. Формулы сложения являются основными формулами тригонометрии, так как все другие можно получить как следствия: формулы двойного и половинного углов (для классов базового уровня не являются обязательными), фор мулы приведения, преобразования суммы и разности в про изведение. Из формул сложения выводятся и формулы за мены произведения синусов и косинусов их суммой, что применяется при решении уравнений. 8. Тригонометрические уравнения Уравнения cosx = a, sinx = a, tgx = а. Тригонометриче ские уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Однородные и линейные уравнения. Методы замены неизвестного и раз ложения на множители. Метод оценки левой и правой час тей тригонометрического уравнения. Системы тригоно метрических уравнений. Тригонометрические неравенства. Основная цель (базовый уровень) — сформировать умение решать простейшие тригонометрические уравне ния; ознакомить с некоторыми приемами решения тригоно метрических уравнений. Основная цель (профильный уровень) — сформиро вать понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа; научить решать тригонометрические уравнения и систе мы тригонометрических уравнений, используя различные приемы решения; ознакомить с приемами решения триго нометрических неравенств. Как и при решении алгебраических, показательных и логарифмических уравнений, решение тригонометриче ских уравнений путем различных преобразований сводится к решению простейших: cosx = a, sinx = a, tgx = a. Рассмотрение простейших уравнений начинается с урав нения cosx = а, так как формула его корней проще, чем формула корней уравнения sin x = а (в их записи часто ис пользуется необычный для учащихся указатель знака (-1)п). Решение более сложных тригонометрических уравнений, когда выполняются алгебраические и тригонометрические преобразования, сводится к решению простейших. Рассматриваются следующие типы тригонометрических уравнений: линейные относительно sinx, cosx или tgx; сводящиеся к квадратным и другим алгебраическим урав нениям после замены неизвестного; сводящиеся к простей шим тригонометрическим уравнениям после разложения на множители. На профильном уровне дополнительно изучаются одно родные (первой и второй степеней) уравнения относи тельно sinx и cosx, а также сводящиеся к однородным уравнениям. При этом используется метод введения вспо могательного угла. При углубленном изучении рассматривается метод предварительной оценки левой и правой частей уравне ния, который в ряде случаев позволяет легко найти его корни или установить, что их нет. На профильном уровне рассматриваются тригономет рические уравнения, для решения которых необходимо применение нескольких методов. Показывается анализ уравнения не по неизвестному, а по значениям синуса и ко синуса неизвестного, что часто сужает поиск корней уравнения. Также показывается метод объединения се рий корней тригонометрических уравнений. Разбираются подходы к решению несложных систем тригонометриче ских уравнений. Рассматриваются простейшие тригонометрические неравенства, которые решаются с помощью единичной окружности. |
