Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 48.81 Kb.
|
Урок 2Правило дифференцирования сложной функцииСложная функция — это не обязательно очень длинная формула длиной. Например, достаточно взять функцию f(x) = cos x, производную которой мы нашли на прошлом уроке, и заменить переменную x, например, на ln x. Получится f(x) = cos ln x — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным на прошлом уроке, не получится. Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции: Если функции y = f(x) и z = g(y) дифференцируемы соответственно в точках x0 и y0, где y0 = f(x0), то сложная функция z = g(f(x)) дифференцируема в точке x0, причем z(x0) = g (y0) f (x0). Найдем с помощью этой формулы производную функции f(x) = cos ln x :  Производная обратной функцииПусть требуется найти производную функции y = arctg x. Найти ее по определению будет не так то просто. Заметим, что функция y = arctg x является обратной к функции y = tgx. Если функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна в некоторой δ-окрестности Uδ(x0) точки x0. и имеет в точке x0. производную f '(xo) , тогда обратная к ней функция x = g(y) дифференцируема в точке уо = f(xо), причем  Вычислим производные функций y = arctg x, y = arсctg x, y = arsin x и y = arcos x по правилу дифференцирования обратной функции:     Логарифмическая производнаяЕсли функция y = f(x) дифференцируема в точке x0 и f(x0) 0, то логарифмической производной называется  Функция вида y = (u(x))v(x) (u(x) > 0), где и основание и показатель изменяются вместе с независимой переменной x, называется показательно-степенной. Простейшим примером такой функции является функция y = xx, x > 0.. Для дифференцирования показательно-степенной функции y = (u(x))v(x) можно применить формулу  Например, найдем производную от функции y = xx:  Найти производную функции y = (u(x))v(x) можно также с помощью следующих свойств логарифмической функции:  Тогда    Для функции y = xx имеем:  Тогда  Формулу y ′ = y(lny)′ можно использовать для дифференцирования некоторых сложных функций. Например, для нахождения производной от произведения  удобно применить логарифмическую производную, что позволит быстрее найти результат. Тогда     Далее для усвоения всего сказанного ранее рассмотрим примеры с подробным описанием каждого шага решения. Пример 1. Найти производную функции  в точке x0 = 0.Решение Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции: (f(g(x)) = f ′ (g(x))g(x). Тогда    Пример 2. Найти производную функции  в точке x0 = 1.Решение Преобразуем функцию  Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции: (f(g(x)) = f ′ (g(x))g(x). Тогда   ; Пример 3. Найти производную функции  в точке x0 = 1.Решение Воспользуемся правилом нахождения производной произведения двух функций: (uv) = uv + uv. Тогда    Пример 4. Найти производную функции  .Решение Воспользуемся правилом нахождения производной частного:  Тогда   Пример 5. Найти производную функции  .Решение Преобразуем функцию  По правилу нахождения производной сложной функции:   Пример 6. Найти производную функции  .Решение По правилу дифференцирования сложной функции:   Пример 7. Найти производную функции  .Решение По правилу дифференцирования сложной функции:       Пример 8. Найти производную функции  .Решение Данная функция не является ни показательной, ни степенной. Поэтому для нахождения производной этой функции воспользуемся формулой: Тогда      Контрольные вопросы. 1) Как выяснить является ли функция сложной? 2). Чему равна производная сложной функции? 3) Найти производные следующих функций: а) y = sin (2x); б)  в) y = tg2x.4) Найти производные следующих функций: а)  б) y = arcsin2(4x2 – 1); в)  5) Дать определение логарифмической производной. 6) Найти производные следующих функций: а) y = cosxarcsin x, б) y = (4x2 – 1)x |
Добавить документ в свой блог или на сайт
