Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 222.1 Kb.
|
1 2
Целью государственного экзамена по математике является определение уровня
Программа государственного экзамена по математике включает в себя основные и наиболее важные вопросы, имеющие теоретическое и практическое значение в профессиональной деятельности будущего учителя математики. Выпускники должны иметь ясное представление о межпредметных связях математического анализа, алгебры и теории чисел, геометрии и методики преподавания математики. Экзаменующиеся должны владеть основными понятиями теории множеств, предела, непрерывности, производной и дифференциала, первообразной функции, определенного интеграла, сходимости рядов, владеть техникой дифференцирования и интегрирования, решать дифференциальные уравнения, знать основные свойства элементарных аналитических функций; владеть основными понятиями алгебры и теории чисел, иметь представление об основных числовых системах и их построении, владеть навыками решения систем линейных уравнений; знать аксиоматический метод построения геометрии, различные группы преобразований плоскости, владеть векторными и координатными методами на плоскости и в пространстве, знать определение и примеры топологических многообразий; основные свойства линий и поверхностей в евклидовом пространстве. Вопросы по дисциплине «Математический анализ» Числовые последовательности (основные понятия; предел, свойства). Число е. Критерий Коши. Теоремы Вейерштрасса и Теорема о вложенных отрезках. Функции. Предел функции (определения и свойства). Степенная функция в R. Логарифмическая функция в С. Разложение функций sinx и cosx в степенной ряд. Производная и дифференциал функции. Применение дифференциального исчисления к построению графиков функций. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование иррациональных выражений и выражений, содержащих тригонометрические функции. Определенный интеграл. Основные свойства. Интегрирование рациональных выражений. Дифференцирование функций нескольких переменных. Полный дифференциал. Дифференциал высших порядков. Производные сложных функций. Производная по направлению, градиент. Двойной интеграл (определение, вычисление, замена переменных). Тройной интеграл (цилиндрические и сферические координаты). Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка (линейные уравнения, однородные уравнения). Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Несобственные интегралы (определение, свойства, вычисление, признаки сходимости). Числовые ряды (основные понятия, признаки сходимости, теорема Лейбница.) Абсолютно сходящиеся ряды. Теорема Римана. Степенные ряды (основные понятия). Разложение функций в степенной ряд (y=ln(1+x)). Счетные множества и их свойства. Мощность континуума. Теорема о мощности промежуточного множества. Теорема Кантора-Бернштейна. Производная функции комплексной переменной. Условия дифференцируемости. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Понятие аналитической функции. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Классификация изолированных особых точек. Вычеты. Понятие о вероятности. Случайные события: теорема сложения и умножения вероятностей. Понятие дискретной и непрерывной случайной величины. Предмет математической статистики. Понятие выборки; ее репрезентативность и характеристики. Представление выборочных данных. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ «Математический анализ»
Вопросы по дисциплине «Теория и методика обучения математике» Цели обучения математике в средней школе. Анализ программ по математике для 1-4, 5-9, 10-11 классов средней школы. Методы обучения математике. Индукция и дедукция, анализ и синтез в обучении математике. Метод математической индукции. Урок как основная форма организации учебного процесса. Методика организации и проведения урока математики. Формы, способы и средства контроля и оценки знаний, умений и навыков учащихся. ЕГЭ – современное средство оценивания результатов обучения. Индивидуализация и дифференциация обучения математике в школе. Технологии обучения (технология проблемного обучения, технология поэтапного формирования умственных действий и др.). Использование передового педагогического опыта и современных технологий обучения математике (Шаталов В.Ф., Москаленко К.А. и др.). Основные положения концепции модернизации математического образования. Ведущие идеи национального проекта «Образование» и их реализация. Элективные курсы по математике: содержание занятий и методика их проведения. Математические понятия и методика их введения в средней школе. Методика изучения теорем и аксиом. Логическая структура теоремы. Задачи в обучении математике. Методика изучения числовых систем (обыкновенные и десятичные дроби, арифметические действия над ними). Методика изучения числовых систем (положительные и отрицательные числа, арифметические действия над ними). Методика изучения действительных чисел в школьном курсе математики. Методика изучения тождественных преобразований в средней школе (тождественные преобразования рациональных, целых, дробных и иррациональных алгебраических выражений). Уравнения и неравенства в курсе математики 1-4, 5-6, 7-9, 10-11 классов средней школы и методика из изучения. Методика введения понятия функции. Методика изучения линейной функции, квадратичной функции. Методика изучения показательной, логарифмической и степенной функций. Методика изучения тригонометрических функций в курсе математики средней школы. Понятие последовательности в школьном курсе математики, арифметические и геометрические прогрессии. Методика введения понятия производной. Производные основных элементарных функций. Приложения производной. Методика введения понятия интеграла. Приложения интеграла. Методика изучения геометрических построений в курсе планиметрии. Методика изучения тем: «Равенство фигур», «Метод координат». Методика изучения темы «Многоугольники». Методика изучения темы «Векторы» (на плоскости и в пространстве). Методика изучения геометрических преобразований (осевая симметрия, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос, преобразование подобия). Методика изучения первых разделов систематического курса стереометрии. Методика изучения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Методика изучения длин, площадей и объемов в школьном курсе математики. Вопросы по дисциплине «Алгебра» Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение на классы, фактор-множество. Группа. Примеры групп. Простейшие свойства группы. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел. Примеры полей. Упорядоченное поле. Система действительных чисел. Поле комплексных чисел. Числовое поле. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа. Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Равносильные системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Подпространства. Линейные многообразия. Полиномы над полем. Наибольший общий делитель двух полиномов и алгоритм Евклида. Разложение полинома в произведение неприводимых множителей и его единственность. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Сопряженность мнимых корней многочлена (полинома) с действительными коэффициентами. Неприводимые над полем действительных чисел полиномы. Вопросы по дисциплине «Теория чисел» Теорема о делении с остатком в кольце целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность. Основные свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. Линейные сравнения с одной переменной. Приложение теории сравнений к выводу признаков делимости. Обращение обыкновенной дроби в десятичную и определение длины периода десятичной дроби. Типовые задачи «АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ» а) На множестве Z бинарное отношение задано правилом: x G y  x  y (mod 5). Доказать, что G – отношение эквивалентности. Постройте классы эквивалентности и фактор-множество  .б) На множестве R бинарное отношение задано правилом: x G y x  y. Покажите, что G – отношение нестрогого линейного порядка на R.в) Бинарное отношение G задано графом. Найдите D(G), E(G). Является ли G отношением эквивалентности? b      а d с а) Докажите, что всякая группа с тремя элементами является абелевой. б) Докажите, что множество М невырожденых матриц порядка n является группой относительно умножения. в) Докажите, что множество А = x x = a + b  , где a, b Q и a2 + b2 0 является мультипликативной группой.а) Докажите, что множество К = x x = a + b  , где a, b Q относительно сложения и умножения действительных чисел является кольцом.б) Докажите, что множество К = x x = a + bi, где a, b Z относительно сложения и умножения комплексных чисел является кольцом. в) Будет ли множество пар (a, b), где a, b Z относительно операций: (a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2) и (a1, b1) (a2, b2) = (a1 a2, b1 b2)?
а) n N, (n2 + 5) n  6;б) n N, (10n2 + 18n -28) 27;в) n ≥ 10  2n > n3 , n N.
а) 91, 21, 39; б) 91, 247; в) 153, 63. а) Докажите, что кольцо классов вычетов по модулю 5 является полем. б) Докажите, что Р = x x = a + b , где a, b Q относительно сложения и умножения действительных чисел является полем.в) Используя свойства упорядоченного поля, докажите, что а R, с1, с2, r а, а 0, с1 r с2, (аr – а ) ≤ (а – а ).
а) ( + i)12;б)  ;в)  .
а)  = (1, -1, 2, 3),  = (1, 0, 2, -1),  = (-1, -2, -2, 9);б) = (1, 2, 3), = (4, 5, 6), = (7, 8, 9);в) = (1, 2, 1), = (2, -1, 2), = (-2, 0, 2).
а)  ; б)  ; в)  .а) Проверьте, является ли система векторов  = (2; 3; 0);  = (0; 5; 6);  = (7; 0; 8) базисом для R3 ?б) Векторное пространство порождено системой (1; 1; 0); (0; 2; 3); (3; 0; ); (0; 5; 0) из R3. Найдите базис и размерность этого пространства. в) Найдите базис и размерность векторного пространства  = (L, +, R) над полем R, если L = 0, , , 0 , R.а) Составьте таблицу простых чисел, не превосходящих 40, методом решета Эратосфена. Решите и обоснуйте. б) Являются ли числа 157 и 187 простыми? в) Найдите каноническое разложение числа 8840. а) Является ли полной системой вычетов по модулю 6 система чисел: 15, -6, 2, 34, 25, -19? б) Найдите остаток от деления 11802 на 1000. Использовать теорему Эйлера. в) Решите сравнение: 21x = 51 (mod 54). а) Докажите, что при любом нечетном числе n N верно (n3 - n) 24.б) Найдите длину периода дроби  в десятичной системе счисления. Результат проверьте вычислением.в) Докажите, что остаток при делении квадрата целого числа на 4 равен 0 или 1.
а) f (x) = x4 + 6x3 +17x2 + 24x + 12; g (x) = x3 - 2x2 - 13x – 10;
а) f(х) = х4 + 4; б) f(х) = х4 - 4; в) f(х) = х4 + 3х2 + 9.
а)  ;б)  , если 3 - 3 + 1 = 0;в)  . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.
; б) 
.
; б) 
.
от функций: а) 
; б) 
; в) 
и 
. В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй точки?
в точке 
.
.
.
; б) 
.
; б)
; в) 
.
, 
, 
, 
.
до 
.
.
.
; б) 
.
; б) 
.
в окрестности точки 
.
.
; б) 
.
, если область интегрирования (S) ограничена линиями 
, 
, 
.
; б) 
; в) 
; г) 
. 1 2
Добавить документ в свой блог или на сайт
