Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 159.55 Kb.
|
| Геометрия 8 класс Тема: «Теорема Пифагора» (урок изучения нового материала) Цели изучения:
Содержание: теорема Пифагора, применение теоремы Пифагора в решении задач. Прогнозируемый результат:
План урока
Оборудование:
Ход урока Слайд №1 Учитель: Прежде чем приступить к изучению нового материала, вспомним определение косинуса угла и решим несколько устных задач. — Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Слайд №2  Рис. 1 Слайд №3 — Чему равен cos А на рисунке 1 ? cos А =  .cos B = ?  Слайд №4 Рис.2 — Чему равен cos В на рисунке 2? cos В =  .сos C = ? cos D = ?  Рис.3 — Чему равны косинусы острых углов треугольника CDE на рисунке 3? (cos С =  , cos D =  .)Сегодня на уроке мы приступаем к изучению одной из важнейших теорем геометрии - теоремы Пифагора. Она является основой для решения множества геометрических задач и базой для дальнейшего изучения теоретического материала. Докажем эту теорему и решим несколько задач с её применением. Но сначала послушаем рассказ о математике, именем которого она названа. Сообщение и презентацию подготовила (называется Ф.И. ученика). Слайд №5-6 Учитель: Из рассказа вы узнали, что союз пифагорейцев был тайным. Эмблемой или опознавательным знаком союза являлась пентаграмма - пятиконечная звезда (рис. 4). Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов.  Рис.4 Слайд №7 У немецкого поэта Гёте в трагедии «Фауст», которую вы будете изучать на уроках литературы, описывается случай, когда дьявол Мефистофель проник в жилище учёного Фауста, потому что пентаграмма на его доме была плохо начерчена и в уголке остался промежуток. (Зачитывается эпизод) Мефистофель: Нет, трудновато выйти мне теперь, Тут кое-что мешает мне немного: Волшебный знак у вашего порога. Фауст: Не пентаграмма ль этому виной? Но как же, бес, пробрался ты за мной? Каким путем впросак попался? Мефистофель: Изволили ее вы плохо начертить, И промежуток в уголку остался, Там, у дверей, - и я свободно мог вскочить. Слайд №8 Этот пятиугольник обладает интересным геометрическим свойством: поворотной симметрией пятого порядка, т.е. имеет пять осей симметрии, которые совмещаются при каждом повороте на 72°. Именно это тип симметрии наиболее распространён в живой природе у цветков незабудки, гвоздики, колокольчика, шиповника, лапчатки гусиной, вишни (рис. 5), груши, яблони, малины, рябины и т.д. Поворотная симметрия пятого порядка встречается и в животном мире, например у морской звезды (рис. 6) и панциря морского ежа.  Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя. Откройте тетради, запишите число и тему урока - «Теорема Пифагора».
Действительно, это шуточная формулировка теоремы. В современных учебниках теорема сформулирована так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Слайд №9 — Как записать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 7)?  Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». Действительно, с2 - площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а2 и b2 – площади квадратов, построенных на катетах (рис. 8).  Рис. 8Слайд №10 Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка 9 видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.  Рис.9 Смотрите, а вот и «Пифагоровы штаны во все стороны равны» (рис. 10).  Рис.10Слайд №11 Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении теоремы, и даже рисовали шаржи. Вот такие, например (рис. 11, рис. 12).   Рис. 11, 12На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. Большинство способов её доказательства сводятся к разбиению квадратов на более мелкие части. На стенде вы можете познакомиться с двадцатью тремя такими доказательствами. А сейчас докажем теорему Пифагора в современной формулировке. Слайд №12 Теорема: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Начертите треугольник ABC с прямым углом С (рис. 13). Дано: ABC, ∟С = 90°. Доказать: АВ2 = АС2 + ВС2.  Рис. 13 Доказательство Проведём высоту CD из вершины прямого угла С. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому в Δ ACD cos A =  a в Δ ABC cos =  . Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно, = . Отсюда, по свойству пропорции, получаем: AC2 = AD *AB. (1)Аналогично, в Δ BCD cos B =  , а в Δ ABC cos B =  Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно,  Отсюда, по свойству пропорции, получаем:BC2 = BD * AB (2) Сложим полученное равенство (1) и (2), вынесем общий множитель за скобки: AC2 +BC2 = AD *AB+ BD * AB = AB*( AD + BD) AC2 +BC2 = AB* AB = AB2. Получили, что AB2 = AC2 +BC2 Слайд №13 Итак: Если дан нам треугольник, И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим – И таким простым путем К результату мы придем. Ч.т.д. Теорема Пифагора - одна из главных теорем геометрии, потому что с её помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач. Особенностью теоремы Пифагора является то, что она неочевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно увидеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что его стороны находятся в соотношении  Слайд №14 Решим устно несколько задач по готовым чертежам. Задача №1  Рис. 15 Решение Δ АВС - прямоугольный, с гипотенузой АВ. По теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2, АВ2 = 82 + б2, АВ 2 = 64 + 36, АВ 2 = 100, АВ = ±√1оо, АВ = ± 10. Замечание Из курса алгебры известно, что уравнение АВ2 =100 имеет два корня: АВ =±√100 . АВ = - 10 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит, АВ = 10. Давайте договоримся, что в дальнейшем, при решении уравнений в подобных задачах, будем ограничиваться только положительными корнями, и каждый раз не будем пояснять, почему отрицательные корни отбрасываются. Слайд №15 Задача № 2  Рис. 16 Решение Δ DCE - прямоугольный, с гипотенузой DE (рис. 16), по теореме Пифагора: DE2=DC2 + CE2, DC2 = DE2-CE2, DС2 = 52-32, DC2 = 25 -9, DC2 = 16, DC = 4. Получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Они использовали этот треугольник в «правиле верёвки» для построения прямых углов при закладке зданий, храмов, алтарей. Об этом вы прочитаете дома в § 64. Слайд №16 Карточка на «4» и «5» Задача №3  Рис. 17 Решение ∟KLМ вписан в окружность и опирается на диаметр КМ (ряс. 17). Так как вписанные углы, опирающиеся на диаметр, - прямые, то ∟KLM- прямой. Значит, Δ KLM- прямоугольный. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника KLM с гипотенузой КМ: KM2=KL2 + KM2, КМ2 = 52+ 122, КМ= √25 + 144, КМ= √l69 , КМ= 13. А теперь письменно решим следующую задачу. Слайд №17 Карточка на «4» и «5» Задача № 4 Высота, опущенная из вершины В Δ ABC, делит сторону АС на отрезки, равные 16 см и 9 см. Найдите сторону ВС, если сторона АВ равна 20 см (рис. 18).  Рис. 18 Дано: ΔABC, BD┴AC, АВ = 20 см, AD=16см, DC = 9 см. Найти: ВС. Решение
BD2=AB2-AD2, BD 2 = 202 - 162, BD 2 = 400 - 256, BD 2 = 144, BD =12см. 3. По теореме Пифагора для Δ CBD: BC2 = BD2+DC2, отсюда BС2 = 122 + 92, ВС2 = 144 + 81, BС2 = 225, BС=15см. Ответ: ВС =15 см. Итак, сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем геометрии - теоремой Пифагора и её доказательством; с некоторыми сведениями из жизни учёного, имя которого она носит; решили несколько простейших задач. Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. К следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством, так как мы будем учиться применять её при решении более сложных задач. Популярность теоремы столь велика, что её доказательства встречаются даже в художественной литературе, например в рассказе известного английского писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона «Менон». Этой теореме даже посвящены стихи. О теореме Пифагора Суть истины вся в том, что нам она - навечно, Когда хоть раз в прозрении её увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас, как для него, бесспорна, безупречна... (Отрывок из стихотворения А. Шамиссо) Для тех, кто желает больше узнать о Пифагоре, прочитать о нём легенды, выяснить, почему союз пифагорейцев был тайным, почему авторство работ приписывалось учителю, советую прочитать книгу А.В. Волошинова «Пифагор». А познакомившись с материалами «раскладушки», вы можете узнать о нравственных заповедях пифагорейцев, прочитать несколько легенд, связанных с именем Пифагора, попробовать решить несколько исторических задач и разгадать пифагорову головоломку. Запишите домашнее задание: выучить материалы § 63-64, ответить на контрольный вопрос № 3 на стр. 113, решить задачи № 4, 7 на стр. 114. Слайд № 19 Приложение № 1 Легенды, связанные с именем Пифагора По одной из легенд, отцом Пифагора был сириец Мнесарх. Однажды по торговым делам он прибыл из своего родного Тира на остров Самос. Год был неурожайным, население голодало, и Мнесарх устроил бесплатную раздачу хлеба народу. В благодарность его удостоили самосского гражданства. По словам историка Апулея, «Мнесарх славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы, но стяжал скорее славу, чем богатство». Сохранилось предание, согласно которому Мнесарх вместе со своим учеником вырезал перстень дивной красоты. Этот перстень перешёл к правителю острова Самос Поликрату и ценился им превыше всего на свете. Однажды египетский фараон Амасис, состоящий с самосским тираном в дружеских отношениях, встревожился его великим преуспеванием и написал Поликрату письмо, в котором говорил так: «Приятно узнать, что друг мой счастлив. Но всё те твои успехи не радуют меня, так я знаю, сколь ревниво божество к человеческому счастью. Поэтому я желал бы, чтобы и у меня самого, и моих друзей одно удавалось, а другое - нет, чтобы лучше на своём веку мне непременно сопутствовали успехи и неудачи, чем быть счастливому всегда. Ведь мне не приходилось слышать ещё ни об одном человеке, кому бы всё удавалось, а в конце концов он не кончил плохо. Поэтому послушайся моего совета теперь и ради своего счастья поступи так: обдумай, что тебе дороже всего на свете и потеря чего может больше всего огорчить тебя. Эту вещь ты закинь так, чтобы она не попадалась никому в руки. И если и тогда успехи у тебя не будут сменяться неудачами, то и впредь применяй то же средство по моему совету». Поликрат нашёл совет Амасиса мудрым. «Посадив людей на корабль, он сам поднялся на борт и приказал затем выйти в море. Когда корабль отошёл далеко от острова, Поликрат снял перстень и на глазах у всех своих спутников бросил в море. После этого, опечаленный потерей, он вернулся во дворец. А спустя пять или шесть дней какой-то рыбак поймал большую красивую рыбу и решил, что это достойный подарок Поликрату. Он принёс рыбу во дворец, а слуги, выпотрошив её, нашли в брюхе тот Поликратов перстень. Поликрат понял тогда, что это божественное знамение, и написал Амасису обо всём. Амасис же, прочтя послание Поликрата, убедился, что ни один человек не может уберечь другого от предречённой ему участи и что Поликрат не кончит добром, так как он преуспевает во всём и даже находит то, что забросил». Пророчество Амасиса сбылось. Опасаясь владычества Поликрата на море, персы хитростью выманили Поликрата из Самоса и зверски убили его. Легенда о Поликратовом перстне, в котором нашла отражение вечная тема непостоянства земного счастья, стала популярным литературным сюжетом. Вспомним «Поликратов перстень» Шиллера: На кровле он стоял высоко И на Самос богатый око С весельем гордым преклонял. «Сколь щедро взыскан я богами! Сколь счастлив я между царями!» Царю Египта он сказал. Имя матери Пифагора не сохранилось. Некоторые называли её Пифаидой, дочерью рода Анкея - основателя Самоса. Другие утверждали, будто бы сам Мнесарх назвал жену Пифаидой, а сына -Пифагором в честь дельфийской прорицательницы Пифии. Сделал же так Мнесарх после того, как получил от Дельфийского оракула весть о том, что жена подарит ему необыкновенного сына. Наконец, многие, имея на то основания, считали, что Пифагор - это не имя, а прозвище, данное в знак того, что мудрый учитель высказывал истину столь же постоянно и авторитетно, как и дельфийская Пифия. Слово «Пифагор» можно перевести как «вещающий (прорицающий), как Пифия». Версия о том, что Пифагор - это не собственное имя, а прозвище, представляется наиболее правдоподобной. Ведь и знаменитый философ Аристокл известен нам не по своему настоящему имени, а по прозвищу, которое он получил за свою мускулатуру гимнаста: «широкий», «широкоплечий», по-гречески -«платой». ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок. 580 - ок. 500 г. до н.э.) Ученик: О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, а когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове. Пифагор перебрался в город Мйлет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам когда-то изучал науки. Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в людском обличий, а египетские боги - в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру ,прежде чем ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки. Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду. Однако по дороге домой Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели в Египте. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при счёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, ученый поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне. Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз новых членов принимали с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учение основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю. Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:
Известно также, что, кроме духовного и нравственного развития, учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Сам ученый не только сам неоднократно участвовал в Олимпийских игpax и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев. Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе, и в возрасте восьмидесяти лет, по одной из версий, Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд. Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам - даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «... когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста». |
Добавить документ в свой блог или на сайт
