Примеры решённых задач.
Задача 1:. В марте рабочий выработал 250 000 изделий, из которых 375 изделий второго сорта. В апреле он выработал 300 000 изделий, из которых 360 изделий второго сорта. На сколько процентов снизился выпуск изделий второго сорта?
Решение:
Для сравнения чисел 375 и 360 надо каждое из них выразить в процентах всей выработки («Удельный вес» изделий второго сорта).  .  . Процент уменьшения удельного веса изделий 2-го сорта: 
Ответ: выпуск снизился на 20%.
Задача 2: За два года завод снизил объём выпускаемой продукции на 51%. При этом каждый год объём продукции снижался на одно и то же число процентов. На сколько?
Решение:
Пусть ежегодно выпуск продукции снижался на х%. Примем исходный объём за 1, тогда через год будет выпущено  , а через два года  . С другой стороны, выпуск составил 0,49.
= 0,49
х = 30
Ответ: на 30% в год
Задача 3: Студент М.В.Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены ещё раз вырастут на 20%?
Решение:
До повышения цен: денежка = хлеб + квас.
После повышения цен: денежка = (0,5 хлеба + квас) · 1,2.
Из этих уравнений: 2 хлеба = квасу.
Выразим денежку через квас: денежка = 1,5 кваса.
После второго повышения цен: квас · 1,2 · 1,2 = 1,44 кваса.
Значит, денежки хватит на квас.
Ответ: хватит на квас.
Задача 4: Буратино и папа Карло планировали положить свои капиталы на общий счет в банк «Навроде» под 500% годовых, рассчитывая через год забрать вклад величиной 900 золотых. Крах банка изменил их планы. Папа Карло положил свои деньги в банк «Вампириал» под 50% годовых, а Буратино - в банк «Обирон», даже не поинтересовавшись процентной ставкой. Ровно через год они забрали свои вклады. Оказалось, что папа Карло получил 150 золотых, а Буратино - в три раза меньше. Какой процент годовых дает банк «Обирон»?
Решение:
Прибыль в 500% годовых означает увеличение вклада в 6 раз, поэтому у Буратино и папы Карло вначале было 900 : 6 = 150 золотых. Прибыль в 50% означает увеличение вклада в 1,5 раза, следовательно, у папы Карло вначале было 150 : 1,5 = 100 золотых, а у Буратино 150 - 100 = 50 золотых. После вклада в банк Юбирон» он получил 150 : 3 = 50 золотых, т.е. столько же, сколько положил. Таким образом, банк «Обирон» дает 0% годовых.
Ответ: 0% годовых.
Задача 5: Управдом Остап Бендер собрал с жильцов деньги на установку новых квартирных номеров. Адам Козлевич заинтересовался, почему у них в третьем подъезде надо собрать денег на 20% большe, чем во втором, хотя квартир во всех подъездах поровну. Не растерявшись, Остап объяснил, что за двухзначные номера приходится платить вдвое, а за трехзначные - втрое больше, чем за однозначные. Сколько квартир в подъезде?
Решение:
Пусть количество квартир в подъезде равно х. Рассмотрим случаи:
х<9;
9 х< 99;
99 х < 999 и т.д. Будем считать стоимость одной цифры равной 1 рублю.
В первом случае стоимость дверных номеров во 2-м подъезде равна сумме стоимости однозначных номеров (9 - х) и стоимости двузначных номеров 2(х - (9 - х)) = Зх - 9. А в третьем подъезде в этом случае все номера будут двузначными, и их стоимость равна 2х. По условию задачи
|откуда 4х = 27, что невозможно, т.к. х - целое число.
Во втором случае номера квартир во 2-м подъезде двузначные и трёхзначные, а в 3-м трёхзначные. Стоимость номеров во 20м подъезде будет равна сумме удвоенного количества двузначных номеров 2(99-х) и утроенного количества трёхзначных номеров 3(х – (99 – х)) и это составляет  стоимости номеров в 3-м подъезде, которая равна 3х.
х = 66
Ответ: в подъезде 66 квартир.
Задача 6: Сравните числа. Известно, что 2% положительного числа А больше, чем 3% положительного числа В. Верно ли, что 5% числа А больше, чем 7% числа В?
Решение:
Так как 2% числа А больше, чем 3% числа В, то 4% числа А больше чем 6% числа В, кроме того 1% числа А больше, чем 1% числа В. "Сложив" два последних утверждения, получим, что 5% числа А больше, чем 7% числа В. Или: 0,02А>0,0ЗВ, откуда 0,05А>0,075В>0,07В.
Ответ: верно
Задача 7: Петя купил две книги. Первая из них на была 50% дороже второй. На сколько процентов вторая книга дешевле первой?
Решение:
Вторая книга на треть дешевле первой, то есть на 33 %.
Ответ: на 33 %.
Задача 8: В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке вначале уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке, наоборот, вначале увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды?
Решение:
Пусть вначале в каждой из бочек было по х литров воды, тогда в первой бочке, после всех изменений, стало х · 0,9 · 1,1=0,99х литров воды, а во второй х · 1,1 · 0,9 - то есть тоже 0,99х: литров воды.
Ответ: поровну.
Задача 9: Где дешевле? В одном магазине; молоко подешевело на 40%, а в другом сначала на 20%, а затем еще на 25%. Где молоко стало стоить дешевле? Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же.
Решение:
Пусть вначале молоко стоило х руб. В первом магазине оно стало стоить на 40% дешевле, то есть 0,6х руб. Во втором магазине после первого понижения она была 0,8х, после второго 0,8х · 0,75 =0,6х руб. Таким образом, молоко в каждом из магазинов вновь стоит одинаково.
Ответ: одинаково.
Задача 10: . Как изменилась покупательная способность населения?
Товар подешевел на 20%. На сколько процентов больше можно купить товара за те же деньги?
Решение:
Товар подешевел на 20% .Следовательно, весь ранее купленный товар можно было бы купить истратив 80% денег, а на оставшиеся 20% можно купить еще  часть товара, что составляет 25%.
Ответ: на 25%
Задача 11: Сушеные грибы. Влажность свежих грибов - 99%, сушёных - 98%. Как изменился вес грибов после подсушивания?
Решение:
Пусть вес свежих грибов 100х кг, тогда вес сухого вещества в них х кг. После подсушивания, вес сухого вещества не изменился и стал составлять 2% (на одну пятидесятую) от веса грибов. Вес сухих грибов – 50х кг, а значит уменьшился в два раза.
Ответ: уменьшился в два раза.
Задача 12: На конференции. 85% делегатов конференции знают английский язык, а 75% - испанский. Какая часть делегатов знает оба языка?
Решение:
Заметим, что 85%+75% = 160%, что на 60% превышает общее число делегатов конференции. За счет кого образовался излишек? За счет тех людей, которые знают оба языка - их мы посчитали дважды. Таким образом, оба языка знают не менее 60% делегатов конференции.
Ответ: не менее 60%.
Задача 13: На туристском слете собрались все участники двух туристических походов (некоторые были в двух походах, некоторые только в одном). В первом походе было 60% мужчин, во втором - 75%. Докажите, что на встречу пришло не меньше мужчин, чем женщин.
Решение:
Пусть в первый поход ходило а человек, а во второй b человек. Тогда, в первый поход ходило 0,6а мужчин и 0,4а женщин, а во второй - 0,75b мужчин и 0,25b женщин. При этом, количество женщин не превышает 0,4а + 0,25b, а количество мужчин не меньше, чем наибольшее из чисел 0,6а и 0,75b. Пусть 0,6а>0,75b. Тогда 0,6а>0,4а+0,25b (так как 0,2а>0,25b). Случай, когда наибольшее - 0,75b, разбирается аналогично
Задача 14: Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы держание соли составляло 2%?
Решение:
. В 40 кг морской воды содержится 40·0,05 = 2(кг) соли, что в новом растворе составляет 2%, следовательно, раствора должно быть 2:0,02 = 100 (кг).
Ответ: следует добавить 60 кг пресной воды.
Задача 15: Вера и Аня посещают математический кружок, в котором больше 91% мальчиков. Найти наименьшее возможное количество участников кружка.
Решение:
.Пусть х - число участников кружка, а у - число девочек. Тогда, согласно условиям задачи, 0,09x>y или 9х>100у, где х и у - натуральные числа. Решая задачу перебором, убедимся, что наименьшее возможное решение при у=2 достигается при х=23. Таким образом, в кружке не менее 23 человек.
Ответ: в кружке не менее 23 человек.
Задача 16: Объём строительных работ увеличивается на 80%. На сколько процентов нужно увеличить число рабочих, если производительность труда будет увеличена на 20%?
Решение:
100% + 80% = 180 = 1,8 (объём строительных работ по сравнению с первоначальным).
100% + 20% = 120 = 1,2 – производительность труда по сравнению с первоначальной.
1,8 : 1,2 = 1,5 = 150% - составляет количество рабочих, необходимых теперь по сравнению с первоначальным, т.е. на 50% надо увеличить число рабочих.
Ответ: на 50%
Задача 17: В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, потребное для заполнения бассейна?
Решение:
100% - 60% = 40% = 0,4 – такую часть составляет оставшийся приток воды.
1 : 0,4 = 2,5 (раза) – во столько раз увеличится время, необходимое для наполнения бассейна, т.е. увеличится на 150%
Ответ: на 150%.
Задача 18: Заработок рабочего повысился на 20%, а цены на продукты и другие товары снизились на 15%. На сколько процентов рабочий теперь на свой заработок может купить больше продуктов и товаров, чем прежде?
Решение:
Примем для простоты вычислений прежний заработок рабочего за 10 руб., и пусть он покупает только один какой-то продукт по 1 руб. за килограмм, т.е. 10 кг. После повышения на 20% заработок рабочего стал 12 руб., а цена продукта после снижения цены на 15% - 0,85 руб. за 1 кг. Теперь рабочий может купить уже 12 : 0,85  14,1 кг, т.е. на 4,1:10 = 0,41 = 41% больше, чем прежде.
Ответ: на 41%.
Задача 19: На утреннем концерте 40% всех посетителей были школьники, 36% - женщины и остальные посетители – мужчины. На вечерний концерт пришло мужчин на 75 % больше, чем на утренний, женщин на 37,5% больше, а школьников на 75% меньше, чем на утренний концерт. Как и на сколько процентов число посетителей на вечерний концерт изменилось по сравнению с числом посетителей на утреннем концерте?
Решение:
40% + 36% = 76% - составляют женщины и дети.
100% - 76% = 24% - составляют мужчины.
24% + 24%  = 42% - составляют мужчины на вечернем концерте.
40% - 40% = 10% - составляют школьники на вечернем концерте.
36% + 36%  = 49,5% - составляют женщины на вечернем концерте.
42% + 49,5% + 10% = 101,5% от числа посетителей на утреннем концерте составляет число посетителей на вечернем концерте, т.е. на вечернем концерте посетителей было больше, чем на утреннем, на 1,5%.
Ответ: на вечернем концерте посетителей было больше, чем на утреннем на 1,5%.
Задача 20: 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20-процентных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?
Решение:
5 · 0,35 = 1,75 (л) жира в 5 л сливок.
4 · 0,2 = 0,8 (л) жира в 4 л сливок.
1,75 + 0,8 = 2,55 (л) жира в смеси.
5 + 4 + 1 = 10 (л) – вес смеси.
2,55 : 10 = 0,255 = 25,5% - жирность смеси.
Ответ: 25,5%.
Задача 21: Когда 40 рабочих цеха включились в молодёжную бригаду, продукция цеха увеличилась на 20%; когда же 60% всех рабочих цеха стали работать по-новому, продукция цеха увеличилась в 2,5 раза. Сколько рабочих в цехе и во сколько раз увеличится продукция цеха, когда все рабочие станут передовиками производства?
Решение:
250% - 100% = 150% - на столько процентов увеличится продукция.
40 рабочих увеличивают продукцию на 20%
х рабочих увеличивают продукцию на 150%
3)  рабочих увеличивают продукцию на 150%, они же составляют 60% числа всех рабочих.
4) 300 : 0,6 = 500 рабочих было в цехе.
5) 500 рабочих – увеличение на у%
300 рабочих – увеличение на 150%
у = 250%
6) 250% + 100% = 350%, т.е. продукция увеличилась бы в 3,5 раза.
Ответ: 500 рабочих, продукция увеличилась бы в 3,5 раза.
Задача 22: Цена за вход на стадион 150 руб. с человека. Когда цену понизили, количество посетителей увеличилось на 50%, а сбор увеличился на 25%. На сколько рублей понижена плата?
Решение:
Входная плата за двух человек была 300 руб., теперь вместо каждых двух человек стадион посещают трое (число посетителей увеличилось на 50%) и платят 300 + 75 = 375 рублей (общий сбор увеличился на 25%), т.е. один билет стоит теперь 125 руб. (375 : 3), значит, плата понижена на 25 руб.
Ответ: на 25 рублей.
Задача 23: За 1 квартал завод выполнил 26% годового плана, а количество продукции, выполненное за 2, 3 и 4 кварталы, пропорционально числам 6,5:7,8:9,1. Определить, на сколько процентов перевыполнил завод план, если во 2 квартале завод дал продукции в  раза больше, чем в первом.
|
