– –
Программа курса «Алгебра и геометрия»,
прикладная математика и информатика, 1-2 группы 1 курса, 1 семестр,
2012/13 уч. год.
Декартова прямоугольная и полярная система координат на плоскости. Преобразование декартовых координат на плоскости. Деление отрезка в заданном отношении. Понятие об уравнении линии на плоскости, способы задания. Общее уравнение прямой линии на плоскости. Взаимное расположение прямых. Нормальное уравнение прямой, отклонение и расстояние от точки до прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки, параметрическое уравнение. Угол между прямыми. Пучок прямых.
Кривые второго порядка. Эллипс. Определение. Вывод уравнения эллипса. Исследование формы эллипса, эксцентриситет. Директрисы эллипса, условие принадлежности точки эллипсу. Параметрическое уравнение эллипса. Касательная к эллипсу, уравнение и условие касания.
Гипербола. Определение. Уравнение гиперболы (первую половину вывода провести самостоятельно). Исследование формы гиперболы, эксцентриситет, асимптоты. Равнобочная гипербола. Директрисы гиперболы, условие принадлежности точки гиперболе. Касательная к гиперболе, уравнение и условие касания.
Парабола. Определение. Вывод уравнения параболы. Исследование формы параболы. Касательная к параболе, уравнение и условие касания.
Полярные уравнения кривых второго порядка.
[5], [6], [7], [8],.[9].
Матрицы. Определение матрицы, примеры и виды матриц. Сложение матриц, умножение матрицы на число, свойства. Знак суммирования и его свойства. Сумма всех элементов матрицы и всех элементов верхней (нижней) треугольной матрицы. Произведение матриц; особенности операции умножения матриц. Ассоциативность и дистрибутивность операции умножения матриц. Делители нуля. Натуральная степень матрицы, многочлен от матрицы. Обратимая матрица; обратная матрица. Свойства обратимых матриц. Транспонированная матрица; свойства операции транспонирования, симметричная матрица.
[11], [1], [2], [3], [4].
Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Равносильность систем линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Матрица приведенной формы. Преобразование системы линейных уравнений к равносильной с матрицей приведенной формы. Исследование системы линейных уравнений приведенной формы.
[11], [1], [2], [3], [4].
Определители. Определение перестановки. Инверсии, их число. Четные и нечетные перестановки, их число. Подстановка, их произведение. Группа подстановок. Сигнатура подстановки, ее свойства. Транспозиция, простая транспозиция. Разложение подстановки в произведение транспозиций, четность числа транспозиций в произведении.
Определение определителя. Определители 1, 2, 3 порядков.
Свойства определителя: определитель транспонированной матрицы; определитель матрицы с нулевой строкой; умножение строки матрицы на произвольное число; произвольная перестановка строк матрицы; перестановка двух строк; определитель матрицы с двумя одинаковыми строками; определитель с двумя пропорциональными строками; сумма определителей;прибавление к строке матрицы другой ее строки, умноженной на произвольное число; определитель произведения матриц.
Минор; алгебраическое дополнение. Определитель матрицы, все элементы строки которой, кроме одного, равны нулю, следствия. Теорема (Лапласа) о разложении определителя по элементам строки, следствие. Определитель Вандермонда. Присоединенная матрица, ее произведение с исходной матрицей. Критерий обратимости матрицы, следствия. Теорема Крамера; следствие о существовании нетривиального решения однородной системы линейных уравнений.
[10], [1], [2], [3], [4].
Комплексные числа. Определение комплексного числа. Анализ свойств комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа, его модуль и аргумент, показательная форма. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме и в форме Эйлера. Геометрическая интерпретация действий с комплексными числами. Формула Муавра. Извлечение корня второй степени в алгебраической форме. Извлечение корня из комплексного числа. Сопряженное комплексное число; свойства операции сопряжения, теорема. Неравенства для модуля комплексного числа. [1].
Многочлены, определение. Условие равенства многочленов. Степень многочлена, свойства. Кольцо многочленов. Отсутствие делителей нуля. Отношение делимости, свойства. Деление с остатком Множество (общих) делителей, их свойства. Наибольший общий делитель двух многочленов, единственность и существование (алгоритм Евклида). Линейное представление наибольшего общего делителя.
Взаимно простые многочлены, их свойства.
Корень многочлена. Теорема Безу, кратность корня; простой корень. Производная многочлена, свойства. Теоремы о кратности корня многочлена и его производной.
Основная теорема алгебры комплексных чисел (без док-ва). Разложение на линейные множители. Каноническое разложение. Число корней многочлена.
Каноническое разложение наибольшего общего делителя. Критерий простоты корней. «Отделение» кратных корней. Формулы Виета.
Разложение над R на неприводимые множители. Каноническое разложение. Существование вещественного корня многочлена нечетной степени с вещественными коэффициентами.
Алгоритм Горнера. Рациональные корни многочленов с рациональными коэффициентами.
[12-13], [1], [2], [3], [4].
Векторы. Операции с векторами, свойства. Проекция вектора на ось, ее свойства. Декартова прямоугольная система координат, декартовы координаты вектора в пространстве, свойства, разложение вектора по базису i, j, k. Скалярное произведение векторов, свойства. Скалярное произведение в координатах, вычисление угла, длины. Тройка векторов. Правые и левые тройки. Векторное произведение векторов, его простейшие свойства. Смешанное произведение векторов. Смешанное произведение как ориентированный объем. Критерий компланарности векторов. Свойства смешанного и векторного произведений. Векторное и смешанное произведения в координатах. Условия коллинеарности и компланарности в координатах.
[5], [6], [7], [8].
Литература
А.Г. Курош. Курс высшей алгебры, изд. 6–11. М.: Наука, 1958–1975.
А.И. Кострикин. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. (Физ.-мат. лит., 2000, часть 1.)
И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра, изд. 1–3. М.: Наука, 1974–1984.
Н.В. Ефимов. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Наука, 1969.
М.М. Постников. Аналитическая геометрия.
И.И.Привалов. Аналитическая геометрия.
П.С. Моденов. Аналитическая геометрия. М.: Изд. МГУ, 1969.
Методические указания А.В. Козак, В.С. Пилиди:
Аналитическая геометрия на плоскости. Ростов н/Д. УПЛ РГУ. 1984. Определители. Ростов н/Д. УПЛ РГУ. 1984. Методические указания. Матрицы и системы линейных уравнений. Ростов н/Д. УПЛ РГУ. 1984.
Многочлены. Часть 1. Алгоритм Евклида. Ростов н/Д. РГУ. 1985.
Многочлены. Часть 2. Разложение на неприводимые множители. Ростов н/Д. РГУ. 1985.
|
