Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 266.59 Kb.
|
Задача Ферма—Торричелли. Эта точка в треугольнике связана с именами сразу трёх выдающихся учёных прошлого. Впервые о ней говорилось в работах французского математика Пьера Ферма, который решал задачу о местоположении в треугольнике АВС такой точки Е, что сумма FА +F В + FС её расстояний до вершин была бы минимальной. швейцарский геометр Якоб Штейнер рассматривал ту же проблему в несколько более общем виде: он пытался найти кратчайшую сеть дорог, соединяющих три пункта. Оказывается, что такая сеть всё равно должна состоять из трёх сходящихся в одной точке прямолинейных дорог, причём одна из этих дорог может сжаться в точку (как и в задаче Ферма). В такой формулировке, но уже для произвольного числа пунктов, задача приобретает и чисто практическое значение. Например, её приходится решать при прокладке кабельных сетей. Разработано несколько алгоритмов построения кратчайших сетей для данного расположения соединяемых пунктов. Но эта задача имеет неприятную особенность: с увеличением числа пунктов чрезвычайно быстро возрастает количество операций, выполняемых компьютером при её решении, — как показательная функция от числа пунктов. В итоге даже на сверх мощных компьютерах за приемлемое время удаётся решить задачу только для двух-трёх десятков точек. Чтобы улучшить имеющиеся алгоритмы, математики и сегодня продолжают исследовать структуру кратчайших сетей. Физическую модель для решения классической задачи Ферма можно сделать так: нарисуем треугольник на какой-нибудь доске, вобьём гвоздики в его вершинах, перекинем через каждый гвоздик нить с одинаковым грузом на конце и, наконец, свяжем свободные концы нитей в один узел . Когда грузы будут отпущены, они натянут нити. При этом общая длина отвесных частей нитей станет наибольшей, а сумма расстояний от узла до гвоздиков — наименьшей. Следовательно, узел установится в искомой точке. Поскольку на него будут действовать три равные по величине и уравновешивающие друг друга силы, направленные вдоль нитей, углы между нитями должны быть равны. Таким образом, стороны треугольника будут видны из точки Г под равными (по 120°) углами. Точку треугольника, положение которой удовлетворяет этим условиям, построил италь янский учёный Эванджелиста Торричелли, известный как изобретатель ртутного барометра.  Рис. 17 Такая точка существует только в треугольниках с углами, не превосходящими 120°, и совпадает с точкой Ферма. Однако сама задача Ферма имеет решение и когда один из углов треугольника больше 120°. В этом случае точка Fсовпадает с вершиной тупого угла. Точку Торричелли можно получить так: построим на сторонах треугольника вне его правильные треугольники (рис. 17) и соединим отрезком каждую вершину исходного треугольника с вершиной правильного треугольника, построенного на противоположной стороне. Полученные отрезки равны, образуют друг с другом равные углы (по 60°) и пересекаются в одной точке Т — точке Торричелли. Занятие 8. Цели: Показать ,что кривые линии привлекают внимание не только изяществом своей формы, но и многими удивительными свойствами Алгебраические кривые Посмотрим еще раз на эти кривые в интересном ракурсе - в театре теней. Форма тени от обруча на плоском экране, освещенного точечным источником света (лампочкой), зависит от взаимного расположения обруча, экрана и источника света. Если весь обруч расположен к экрану ближе, чем источник света, то тень будет эллиптической (рис.18).  Рис 18. Если одна точка обруча находится на таком же расстоянии от экрана, как источник света, а остальная часть обруча - ближе, то тенью служит парабола (рис. 19). Если же одна часть обруча находится к экрану ближе, чем источник света, а другая часть - дальше то тень, будет гиперболической (рис. 20).  Рис 19,20ЗАМЕЧАНИЕ. Может случиться, что тенью обруча будет прямая или отрезок прямой, если источник света лежит в плоскости. Рассмотрим одну из таких кривых -. множество точек, произведение от которых до данных двух точек Рг и Р2 равно данной положительной величине р. Уравнения этих кривых можно записать так: ((х-с)2 + у2)((х + с)2 + у2)=р2, где 2с =F 1F 2. Такие кривые носят название овалов Кассини. Особенно интересную форму - форму «восьмерки» - имеет овал Кассини при р = с2 (рис.21). Такая кривая носит название лемнискаты Бернулли.  Рис 21Рассмотрим еще одну кривую- конхоиду Никомеда. Она определяется так: на плоскости фиксируется точка О и прямая l, задается числе а. Через точку О проводят всевозможные прямые, на каждой из которых от точки пересечения с прямой l в обе стороны откладываются отрезки длины а. Вторые концы этих отрезков и образуют конхоиду (рис. 22).  Рис 22Древнегреческий математик НИКОМЕД (III в. до н. э.) с помощью конхоиды решал задачу трисекции угла. Задача. Поделить угол АОБ на три равные части. Решение, а) Пусть ОА = а. б) АВ II ОО, АВ = l в) Проведем окружность (А;ОА). При ее пересече нии с конхоидой, построенной по прямой l, точке О и числу а = ОА, получим точку С (рис23) г) СВ = ОА = а (по определению конхоиды ) д) ОА= АС = В, значит ∟АОС = ∟АСО =» (АС = СВ)=> ∟ ВАС = ∟АВС е) ∟ АСО = 2 ∟ СВА (по свойству внешнего угла треугольника) ж) ∟ СВА = ∟ВОЦ и значит, ∟АОС = 2∟ СОВ =⅓∟АОО. ∟АОС = ∟АСО,  Рис 23Занятие 9. Цель: Ввести новые понятия кривой : брахистохроны, циклоида, таутохрона, эпициклоида, кардиоида, астроида. Механические кривые. . Декартов лист, гипербола, парабола, эллипс, овал Кассини, конхоида - все это алгебраические кривые. Но уже Галилей и Декарт изучали кривую, описываемую точкой окружности, катящейся по прямой, -циклоиду («механическую кривую»). Слово «циклоида» произошло от греческого слова «сукloеides» - «кругообразный». Так назвал эту кривую в 1590 году Галилей (рис. 24).  рис24А 1А2 - основание циклоиды, А3 - вершина, А 3М -высота циклоиды, и дуга А1 А2 А3- арка циклоиды, прямая l - линия центров. Галилей экспериментально установил, что площадь под одной аркой циклоиды в 3 раза больше площади производящего циклоиду круга, а длина дуги арки равна четырем диаметрам круга. Циклоида имеет ряд замечательных свойств. За одно из них она получила название брахистохроны. Это слово произошло от греческого «,braсhistos», что означает «кратчайший» и «сhгоnоs», что означает «время», т. е. брахистохрона - это кривая наикратчайшего по времени спуска. Другим синонимом циклоиды является таутохрона (от греческих слов «tautos» - тот же самый, «chronos» - время). Такое название циклоиды связано с историей маятниковых часов, с попыткой ученых создать «идеальный» маятник, т. е. такой маятник, период колебаний которого не зависит от его размаха. Христиан ГЮЙГЕНС, голландский ученый, в 1657 году создал такой маятник. Он подвесил маятник в острие перевернутой циклоиды (точка О), сделал длину нити равной половине длины арки циклоиды (АО) и дал возможность нити наматываться на циклоидальные «щеки» (ОА и ОВ). При этих условиях конец маятника (Т) движется по циклоиде (таутохроне), а период колебания не зависит от величины начального отклонения.(рис 25)  Рис 25Древние ученые не знали циклоиду, но они знали и успешно пользовались ее близкой родственницей -эпициклоидой, плоской кривой, описываемой точкой окружности, которая катится без скольжения по другой неподвижной окружности, касаясь ее извне (рис. 26).  Рис 26Если радиус неподвижной окружности равен радиусу подвижной, то эпициклоиду называют кардиоидой (рис27)  Рис 27. Другой «родственницей» циклоиды является гипоциклоида - плоская кривая, описываемая точкой окружности, катящейся внутри и без скольжения по другой неподвижной окружности (рис. 28). В зависимости от соотношения длин радиусов подвижной и неподвижной окружностей, получаются различные формы гипоциклоид. Если радиус неподвижной окружности в 4 раза больше радиуса подвижной, то эта гипоциклоида называется астроидой (рис. 29).   Рис 28, 29 Задачи, приводящие к циклоиде, сыграли огромную роль в становлении механики и математического анализа. Занятие 10. Цель: расширить их математический и общенаучный кругозор. провести круглый стол . Ученик имеет возможность выступить с подготовленным сообщением (презентации, доклады, буклеты): эллипс, циссоида Диоклеса, квадратриса, кривая Гиппия, «Пируэты» окружности, кривая Штейнера. Занятие 11. Цель: помочь учащимся отойти от математических штампов; - обеспечить развитие навыков самообразования через поисковую работу; Подготовленные сообщения (презентации, доклады, буклеты): гипотрохоиды и эпитрохоиды. Специально подобранными математическими зависимостями приготовить математический цветник. В наши дни подобные эксперименты удобно проводить, имея под рукой персональный компьютер . Литература:
ISBN 5-98986-017-x 5. Учебник Геометрии, 10-11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.А. Атанасян , В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др / -15-е изд.- М.: Просвещение, 2006.- 258 с.: ил. .- ISВN 5-09-015051-6. 6. Факультативный курс по математике. Сост. И.Л. Никольская.М.,Просвещение,1991.с. 135-171. |
