Геометрические преобразования
Скачать 446.24 Kb.
|
| Часть II. Подобия пространства. Определение. Подобием  называется такое преобразование пространства, при котором для любых точек пространства X, Y и их образов X´, Y´ выполняется соотношение  , где k – некоторое фиксированное положительное число (называемое коэффициентом подобия).Определение. Фигура Ф называется подобной фигуре Ф´, если существует подобие, переводящее Ф в Ф´. 1. Гомотетия пространства. Вначале рассмотрим важный частный случай подобия – гомотетию. Определение. Гомотетией  с центром О и коэффициентом  называется преобразование пространства, при котором образом каждой точки Х является точка Х´ такая, что  .Свойства гомотетии.
Доказательства свойств. 1 и 2. Следуют из определения гомотетии. 3. Доказывается аналогично соответствующей теореме на плоскости. Действительно, если мы рассмотрим произвольную точку Х пространства, нам будет достаточно доказать нашу теорему для плоскости (АХВ). 4. Доказывается от противного.
2. Свойства подобия. Теорема 2.1. Подобие пространства можно представить композицией гомотетии  и движения f:  или  Доказательство. Произведём гомотетию с центром в произвольной точке. Рассмотрим преобразование f такое, что (существование такого преобразования следует из определения преобразования). Преобразование f будет движением по определению движения. Заметим, что, выбрав за f движение  , мы сможем получить представление нашего подобия и в таком виде .Свойства подобия.
Доказательства свойств. 1 и 2. Следствия из теоремы 2.1. 3. Следует из определения подобия. 4. Для куба теорема, очевидно, верна. Для тела, состоящего из кубов, естественно, тоже. Произвольный многогранник М можно наложить на кубическую решётку. Будем измельчать эту решётку. При стремлении стороны одного кубика нашей решётки к нулю объёмы двух тел: тела I, состоящего из кубиков лежащих полностью внутри М, и тела S, состоящего из кубиков, имеющих общие точки с М, – стремятся к объёму многогранника М (это следует из того, что для каждой грани нашего многогранника М к нулю будет стремиться объём кубиков, пересекающих эту грань). При этом для образа М´ многогранника М при нашем подобии объёмы тел I´, S´ (образов тел I, S) стремятся к объёму многогранника М´. Для тел I и S наша теорема верна, значит, она верна и для многогранника М. Объём произвольного тела определяется через объёмы соответствующих многогранников, поэтому теорема верна и для произвольного тела. Теорема 2.2. (о задании подобия пространства) Если даны два тетраэдра ABCD и A´B´C´D´ такие, что  , то существует ровно одно подобие пространства, при котором А→А´, В→В´, С→С´, D→D´.Доказательство. То, что такое подобие существует, следует из теоремы 2.1 и теоремы о задании движения пространства (часть I, теорема 5.1). Пусть таких преобразований два: P и Р´. Тогда преобразование  – движение, имеющие неподвижные точки A, B, C, D, т.е. f – тождественное преобразование. Отсюда Р=Р´.3. Подобия первого и второго рода. Аналогично движениям I и II рода определяются подобия I и II рода: Определение. Если для упорядоченной тройки некомпланарных векторов подобие сохраняет (меняет) её ориентацию, то такое подобие называется подобием первого (второго) рода. Корректность этого определения следует из теоремы 2.1. и следующей теоремы 3.1: Теорема 3.1. Гомотетия является подобием I рода при k>0 и подобием II рода при k<0.Доказательство. В этом можно убедиться непосредственной проверкой. Теорема 3.2. Подобие при k≠1 можно представить композицией гомотетии и поворота вокруг оси  : Доказательство. В теореме 2.1. выберем род гомотетии совпадающим с родом подобия. Тогда f – движение I рода, т.е. (см. часть I, теорема 6.5.) f – перенос, поворот или винтовое движение (композиция переноса и поворота). Но, как легко проверить, композиция переноса и гомотетии есть гомотетия. Таким образом, можно гомотетию выбрать так, что f – поворот, ч.т.д. Теорема 3.3. Подобие, отличное от движения, имеет ровно одну неподвижную точку. Эта точка называется центром подобия. Доказательство. Зададим подобие композицией (теорема 3.2.). Проведём плоскость α такую, что  ,  . Как легко видеть, в плоскости α задано подобие плоскости. Значит, в этой плоскости есть неподвижная точка (по аналогичной теореме для плоскости).Теорема 3.4. Подобие при k≠1 можно представить композицией гомотетии и поворота вокруг оси , где  . Указанная композиция называется гомотетическим поворотом.Доказательство. В теореме 3.2. выберем за центр гомотетии центр подобия. Тогда .Теорема 3.5. Подобие пространства является движением, гомотетией или гомотетическим поворотом. Доказательство. Следует из теоремы 3.4. Часть III. Аффинные преобразования. 1. Общие свойства аффинных преобразований плоскости. Определение. Аффинным преобразованием плоскости называется преобразование плоскости, переводящее каждую прямую в прямую. Свойство. При аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные. Доказательство. Если бы образы параллельных прямых имели общую точку, то у этой точки было бы два прообраза, что противоречит определению преобразования. Теорема 1.1. (о задании аффинного преобразования плоскости) Для любых данных треугольников АВС и А´В´С´ существует единственное аффинное преобразование, переводящее А в А´, В в В´, С в С´. Полностью эту теорему нам доказать не удастся. Однако покажем, как можно рассуждать, пытаясь её доказать. Построим две решётки параллелограммов: одну – на отрезках ВС и СА (т.е. ВС и СА – стороны одного из параллелограммов решётки), другую – на отрезках В´С´ и С´А´. Если аффинное преобразование переводит А в А´, В в В´, С в С´, то оно переводит одну построенную решётку в другую (по свойству аффинного преобразования). Центры параллелограммов одной решётки перейдут в центры соответствующих параллелограммов другой (т.к. центры параллелограммов являются точкой пересечения их диагоналей). Через эти центры можно провести прямые, параллельные прямым наших решёток. Получим более мелкие решётки параллелограммов, одна из которых переходит при нашем аффинном преобразовании в другую. Для полученных решёток таким же образом можно получить ещё более мелкие и т. д. Каждая точка М определяет последовательность вложенных параллелограммов первой решётки с неограниченно уменьшающимися сторонами, содержащих М. Этой последовательности параллелограммов соответствует последовательность образов этих параллелограммов второй решётки. Эта последовательность имеет единственную общую точку. Эта точка и будет образом точки М (именно это место и сложно доказать строго). Легко проверить, что построенное преобразование будет аффинным. Теорема 1.2. Аффинное преобразование можно представить композицией параллельного проектирования и подобия. Доказательство. Выберем три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, и их образы А´, В´, С´ при аффинном преобразовании. Очевидно, точки А´, В´, С´ не лежат на одной прямой. По известной теореме треугольник А´В´С´ можно получить из треугольника АВС композицией параллельного проектирования и подобия. Такое преобразование, очевидно, будет аффинным, а по теореме 1.1 существует лишь одно аффинное преобразование, переводящее треугольник АВС в треугольник А´В´С´. Поэтому нами получено искомое представление аффинного преобразования композицией параллельного проектирования и подобия. Теперь, представив аффинное преобразование композицией параллельного проектирования и подобия, из свойств параллельного проектирования можно получить следствия (инварианты аффинного преобразования):
Также отметим ещё одно свойство аффинного преобразования, которое сразу следует из теоремы 1.1: преобразование, обратное аффинному, является аффинным. Действительно, аффинное преобразование (что фактически доказано в теореме 1.1) переводит одну косоугольную систему координат в другую, координаты точки и её образа одинаковы в одной системе координат и в её образе. Обратное преобразование, естественно, тоже будет аффинным, т.к. теперь понятно, что прообразом любой прямой является прямая. Любые два треугольника аффинно эквивалентны, т.е. любое аффинное утверждение достаточно доказать для треугольника специального вида, например, правильного. Задача 1. Точки M, N, P расположены на сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС. Точки M´, N´, P´ симметричны точкам M, N, P относительно сторон АВ, ВС, АС. Доказать, что площади треугольников MNP и M´N´P´ равны. Решение. Для правильного треугольника утверждение очевидно. Точно так же любую трапецию можно аффинным преобразованием перевести в равнобедренную, т.е. любое аффинное утверждение достаточно доказать для равнобедренной трапеции. Задача 2. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС через точку В проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая диагональ АС в точке Р, а через точку С – прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая диагональ BD в точке Q. Доказать, что прямая PQ параллельна основаниям трапеции. Решение. Для равнобедренной трапеции утверждение очевидно. 2. Сжатие к прямой. Определение. Сжатием к прямой ℓ с коэффициентом k ( ) называется преобразование, переводящее произвольную точку М в такую точку М´, что  и  , где  .Теорема 2.1. Сжатие к прямой – аффинное преобразование. Доказательство. Непосредственной проверкой убеждаемся, что прямая переходит в прямую. Можно даже заметить, что сжатие к прямой – частный случай параллельного проектирования (когда направление проектирования перпендикулярно линии пересечения плоскостей). Теорема 2.2. Для любого аффинного преобразования существует квадратная решётка, которая при этом преобразовании переходит в прямоугольную решётку. Доказательство. Возьмём произвольную квадратную решётку и рассмотрим один из её квадратиков ОАВС. Он при нашем преобразовании перейдёт в параллелограмм О´А´В´С´. Если О´А´В´С´ – прямоугольник, то наше доказательство закончено. В противном случае положим для определённости, что угол А´О´В´ – острый. Будем поворачивать квадрат ОАВС и всю нашу решётку вокруг точки О. Когда квадрат ОАВС повернётся на  (так что точка А перешла в точку В), точка А´ перейдёт в точку В´, а В´ в вершину параллелограмма, смежного с О´А´В´С´. Т.е. угол А´О´В´ станет тупым. По принципу непрерывности, в какой-то момент он был прямым. В этот момент квадрат ОАВС переходил в прямоугольник, а наша решётка – в прямоугольную решётку, ч.т.д.Теорема 2.3. Аффинное преобразование можно представить композицией сжатия к прямой и подобия. Доказательство. Следует из теоремы 2.2. Теорема 2.4. Аффинное преобразование, переводящее некоторую окружность в окружность, является подобием. Доказательство. Опишем около нашей окружности квадрат и повернём его так, чтобы он переходил при нашем преобразовании в прямоугольник (теорема 2.2.). Наша окружность перейдёт в окружность, вписанную в этот прямоугольник, поэтому этот прямоугольник является квадратом. Теперь мы можем указать квадратную решётку, переходящую при нашем преобразовании в квадратную решётку. Очевидно, наше преобразование – подобие. 3. Аффинные преобразования пространства. Определение. Аффинным преобразованием пространства называется преобразование пространства, переводящее каждую плоскость в плоскость. Свойства.
Доказательства свойств.
Теорема 3.1. (о задании аффинного преобразования пространства) Для любых данных тетраэдров АВСD и А´В´С´D´ существует единственное аффинное преобразование, переводящее А в А´, В в В´, С в С´, D в D´. Доказательство. Доказывается аналогично теореме 1.1. (строятся решётки параллелепипедов). Из доказательства теоремы 3.1 следует, что если у нас есть некоторая косоугольная система координат W, а W´ – её образ при аффинном преобразовании, то координаты произвольной точки пространства в системе координат W равны координатам её образа в системе координат W´. Отсюда сразу вытекают ещё некоторые свойства аффинного преобразования.
Теперь пусть в пространстве задана система координат (О,  ,  ,  ) и аффинное преобразование f переводит О в О´ , а базисные вектора в вектора  ,  ,  соответственно. Найдём координаты x´, y´, z´ образа M´(x´,y´,z´) точки M(x,y,z) при преобразовании f.Будем исходить из того, что точка М в системе координат (О, , , ) имеет такие же координаты, что и точка М´ в системе координат (О´,  ,  ,  ). Отсюда    .Поэтому имеем равенства (*):  Стоит ещё заметить, что  , т.к. векторы , , линейно независимы.Этот определитель  называется определителем аффинного преобразования.Теорема 3.2. Преобразование, заданное равенствами (*), при  является аффинным.Доказательство. Достаточно проверить, что преобразование, обратное преобразованию(*), является аффинным (свойство 4). Возьмём произвольную плоскость Аx´+Вy´+Сz´+D=0, где А, В, С не равны одновременно нулю. Выполняя подстановки (*), получим уравнение её прообраза:  .Остаётся лишь проверить, что в полученном уравнении коэффициенты при x, y, z одновременно не равны нулю. Это действительно так, т.к. иначе система  с неравным нулю определителем имела бы лишь нулевое решение: А=В=С=0, что неверно.Теорема 3.3. Для объёмов V и V´ соответственных при аффинном преобразовании тел имеет место зависимость  .Доказательство. Пусть некомпланарные векторы , , образуют векторный базис пространства, и пусть в пространстве заданы векторы  ,  и  . Вычислив смешанное произведение этих векторов, получим: .Воспользуемся тем, что объём ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах  как на рёбрах, равен смешанному произведению этих векторов: ,где V0 – объём параллелепипеда, построенного на базисных векторах. Аффинное преобразование не изменяет координаты соответственных векторов в соответственных базисах. Поэтому для объёма V´ образа параллелепипеда объёма V имеем:  ,где  – объём параллелепипеда, построенного на векторах  , как на рёбрах.Отсюда получаем:  . Далее  , поэтому для неориентированных объёмов имеем . На все тела это равенство можно распространить аналогично доказательству свойства 4 подобий (часть II, §2).Задача. Вершина параллелепипеда соединена с центрами трёх не содержащих её граней. Найдите отношение объёма полученного тетраэдра к объёму данного параллелепипеда. Решение. Посчитаем данное отношение для куба и, переведя аффинным преобразованием куб в параллелепипед, воспользуемся тем, что аффинное преобразование сохраняет отношение объёмов. Для куба отношение легко считается. Оно равно 1:12. Ответ: 1:12. 4. Родство пространства. Определение. Аффинное преобразование пространства, имеющее плоскость неподвижных точек, называется родственным преобразованием ρ (родством), а плоскость его неподвижных точек называется плоскостью родства. Соответственные при родстве элементы называются родственными. Определение. Направление прямых, соединяющих родственные точки, называется направлением родства. Свойства родства.
Доказательства свойств.
3 и 4. Следуют из доказательства свойства 2. Определение. Поверхность, представляемая уравнением  , называется эллипсоидом. Частным случаем эллипсоида является сфера.Имеет место следующий факт, который мы доказывать не будем, однако, при доказательстве следующих теорем он нам понадобится: Теорема 4.1. Аффинное преобразование переводит эллипсоид в эллипсоид. Теорема 4.2. Произвольное аффинное преобразование пространства представимо композицией подобия и родства. Доказательство. Пусть аффинное преобразование f отображает сферу σ на эллипсоид σ´. Из теоремы 3.1 следует, что f может быть задано этими фигурами. Рассмотрим плоскость α´, содержащую центр эллипсоида и пересекающую его по некоторой окружности ω´ (существование такой плоскости легко доказать из соображений непрерывности). Пусть α – прообраз α´,  – прообраз ω´, β – сфера, имеющая окружность ω´ своей диаметральной окружностью. Существует родство ρ, отображающее β на σ´, и существует подобие P, отображающее σ на β. Тогда  – искомое представление.Из доказательства предыдущей теоремы сразу следует теорема 4.3: Теорема 4.3. Аффинное преобразование, сохраняющее сферу, является подобием. |
.
и 
является гомотетия 
.
и 
будет параллельный перенос, если 
, и гомотетия с центром на прямой АВ и коэффициентом 
, если 
.
. Тогда 
(свойство аффинного преобразования), т.е. АА´||ВВ´, ч.т.д.Похожие:
 | Темы Вашего учебного проекта И они не догадываются что геометрические формы находят свое отражение практически во всех отраслях знаний: архитектура, искусство,... |  | Реферат Геометрические фракталы Целью моего реферата является знакомство с фракталами. Центральным предметом изучения являются фракталы геометрические. Вопрос, который... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Применять на практике: проводить моделирование в среде графического редактора; создавать меню типовых мозаичных форм; создавать геометрические... | | Программа вступительного экзамена в аспирантуру ики ран по специальности... Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Законы Ньютона. Экспериментальные основы теории относительности. Принцип относительности... |
| Рабочая программа по учебной дисциплине Устройства преобразования и обработки Рабочая программа дисциплины «Устройства преобразования и обработки информации (упои)» | | Реферат статьи «Новая интерпретация преобразования Лоренца» Реферат статьи «Новая интерпретация преобразования Лоренца», авторы Корнева М. В., Кулигин В. А., Кулигина Г. А. (исследовательская... |
| Машина постоянного тока электрическая машина для преобразования механической... Машина постоянного тока — электрическая машина для преобразования механической энергии в электрическую постоянного тока (генератор)... | | «Сопряжение» Данный урок является продолжением темы: «Геометрические построения, необходимые при выполнении чертежей» |
| Реферат Отчет: «Развитие культуры позитивного восприятия изменений... Содержание деятельности и результаты мероприятия 1: «Развитие культуры позитивного восприятия изменений рекреационной среды через... | | Анализ посещенного урока Наименование прорабатываемой на занятиях темы геометрические построения и правила вычерчивания контуров технических деталей |
| Анализ посещенного урока Наименование прорабатываемой на занятиях темы Геометрические построения и правила вычерчивания контуров технических деталей | | Решение задачи электронной томографии на основе сверхмасштабируемого... |
| Руководство по лётной эксплуатации самолёта як-52 Москва, 2001 Основные геометрические, регулировочные весовые и центровочные данные самолета 42 | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Оборудование: геометрические фигуры, числовой ряд от 1 до 10, клей, цветной картон |
| Способ мамаева а. И. Преобразования химической энергии в электрическую... | | Преобразования графиков функций Муниципальное общеобразовательное учреждение зато северск «средняя общеобразовательная школа №87» |
