Геометрические преобразования
Скачать 446.24 Kb.
|
| Часть V. Круговые преобразования пространства. 1. Инверсия пространства. Определение. Пусть в пространстве дана сфера S с центром О и радиусом R. Инверсией относительно сферы S называется преобразование, переводящее произвольную точку А, отличную от О, в точку А´, лежащую на луче ОА такую, что  . S – сфера инверсии, О – центр, R – радиус инверсии.Дополним пространство бесконечно удалённой точкой и поставим её в соответствие точке О (тогда, очевидно, бесконечно удалённая точка перейдёт при инверсии в точку О). Будем считать, что любая прямая и любая плоскость содержат бесконечно удалённую точку пространства. Определение. Углом между двумя пересекающимися сферами называется угол между касательными плоскостями к сферам, проведёнными через любую из точек пересечения сфер. Углом между пересекающимися сферой и плоскостью называется угол между касательной плоскости к сфере, проведённой через любую из точек пересечения сферы и плоскости, и данной плоскостью. Определение. Углом между двумя пересекающимися окружностями (окружностью и прямой) в пространстве называется угол между касательными к окружностям, проведёнными через любую из точек пересечения окружностей. Углом между пересекающимися окружностью и прямой называется угол между касательной к окружности, проведённой через любую из точек пересечения окружности и прямой, и данной прямой. С помощью движений пространства легко доказать корректность этих определений (т.е., что угол не зависит от точки пересечения сфер (окружностей), которую мы рассмотрели). Например, для сфер можно перевести одну точку пересечения в другую, сохранив сферы, поворотом вокруг оси, проходящей через центры сфер. Свойства инверсии.
Доказательства свойств. Свойства 1-5, 7, 9, 10 доказываются аналогично свойствам инверсии на плоскости. Свойство 6 следует из того, что окружность можно представить в виде пересечения двух сфер. Докажем свойство 8. Будем говорить, что окружности (окружность и прямая) касаются, если они лежат на одной сфере (в одной плоскости) и имеют ровно одну общую точку. Как легко видеть, касающиеся окружности (окружность и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности (окружность и прямую) или параллельные прямые. Поэтому угол между образами окружностей равен углу между образами касательных прямых, проведённых через точку касания. Итак, утверждение достаточно доказать для пересекающихся прямых. При инверсии с центром О эти прямые переходят в окружности, проходящие через О. Причём касательные к ним в точке О параллельны этим прямым, т.е. угол между ними сохраняется. Задача. Семь вершин выпуклого шестигранника, все грани которого – четырёхугольники, лежат на одной сфере. Доказать, что и восьмая вершина этого шестигранника лежит на этой сфере. Решение. Пусть ABCDA1B1C1D1 – наш шестигранник, и пусть для определённости вершина D1 – та вершина, про которую не известно, лежит ли она на данной сфере. Сделаем инверсию с центром в точке В. При этой инверсии данная сфера перейдёт в некоторую плоскость α. Точки B1´, C1´, C´, D´, A´, A1´, образы точек B1, C1, C, D, A, A1, лежат в плоскости α, причём точки C1´, D´, A1´ лежат на сторонах треугольника B1´C´A´ (см. рис.).  Плоскости (B1A1C1), (CDC1), (DAA1) перейдут в сферы, описанные около тетраэдров BB1´A1´C1´, BC´D´C1´, BD´A´A1´. Точка D1 перейдёт в точку пересечения этих сфер, отличную от В. Фактически нам надо показать, что эта точка лежит в плоскости α. Для этого достаточно показать, что окружности, описанные около треугольников B1´A1´C1´, C´D´C1´, D´A´A1´, пересекаются в одной точке. А это уже простой факт планиметрии. Действительно, пусть окружности, описанные около треугольников B1´A1´C1´, C´D´C1´, пересекаются в точке О. Тогда, как легко убедиться,  , и окружность, описанная около треугольника D´A´A1´, проходит через точку О. Доказательство завершено.2. Круговые преобразования. Плоскости вместе с бесконечно удалённой точкой будем называть сферами. Определение. Преобразование пространства, сохраняющее сферы, называется круговым. Инверсия является частным случаем круговых преобразований. Теорема 2.1. Круговое преобразование, сохраняющее бесконечно удалённую точку, является подобием. Доказательство. Если круговое преобразование сохраняет бесконечно удалённую точку, то оно сохраняет плоскости, т.е. является аффинным. Но аффинное преобразование, сохраняющее сферу, является подобием (теорема 4.3 части III). Теорема 2.2. Круговое преобразование, не сохраняющее бесконечно удалённую точку, может быть представлено композицией инверсии и движения. Доказательство. Пусть круговое преобразование f переводит бесконечно удалённую точку в некоторую точку О,  – инверсия с центром в точке О. Тогда  сохраняет бесконечно удалённую точку, т.е. является подобием. Коэффициент подобия зависит от радиуса инверсии и может быть сделан равным единице. Тогда будет движением, и f можно будет представить композицией инверсии и движения. |
.Похожие:
 | Темы Вашего учебного проекта И они не догадываются что геометрические формы находят свое отражение практически во всех отраслях знаний: архитектура, искусство,... |  | Реферат Геометрические фракталы Целью моего реферата является знакомство с фракталами. Центральным предметом изучения являются фракталы геометрические. Вопрос, который... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Применять на практике: проводить моделирование в среде графического редактора; создавать меню типовых мозаичных форм; создавать геометрические... | | Программа вступительного экзамена в аспирантуру ики ран по специальности... Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Законы Ньютона. Экспериментальные основы теории относительности. Принцип относительности... |
| Рабочая программа по учебной дисциплине Устройства преобразования и обработки Рабочая программа дисциплины «Устройства преобразования и обработки информации (упои)» | | Реферат статьи «Новая интерпретация преобразования Лоренца» Реферат статьи «Новая интерпретация преобразования Лоренца», авторы Корнева М. В., Кулигин В. А., Кулигина Г. А. (исследовательская... |
| Машина постоянного тока электрическая машина для преобразования механической... Машина постоянного тока — электрическая машина для преобразования механической энергии в электрическую постоянного тока (генератор)... | | «Сопряжение» Данный урок является продолжением темы: «Геометрические построения, необходимые при выполнении чертежей» |
| Реферат Отчет: «Развитие культуры позитивного восприятия изменений... Содержание деятельности и результаты мероприятия 1: «Развитие культуры позитивного восприятия изменений рекреационной среды через... | | Анализ посещенного урока Наименование прорабатываемой на занятиях темы геометрические построения и правила вычерчивания контуров технических деталей |
| Анализ посещенного урока Наименование прорабатываемой на занятиях темы Геометрические построения и правила вычерчивания контуров технических деталей | | Решение задачи электронной томографии на основе сверхмасштабируемого... |
| Руководство по лётной эксплуатации самолёта як-52 Москва, 2001 Основные геометрические, регулировочные весовые и центровочные данные самолета 42 | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Оборудование: геометрические фигуры, числовой ряд от 1 до 10, клей, цветной картон |
| Способ мамаева а. И. Преобразования химической энергии в электрическую... | | Преобразования графиков функций Муниципальное общеобразовательное учреждение зато северск «средняя общеобразовательная школа №87» |
