Геометрические преобразования
Скачать 446.24 Kb.
|
| Часть IV. Проективные преобразования. 1. Проективные преобразования плоскости. Определение. Проективная плоскость – обычная (евклидова) плоскость, дополненная бесконечно удаленными точками и бесконечно удаленной прямой, называемыми также несобственными элементами. При этом каждая прямая дополняется одной несобственной точкой, вся плоскость – одной несобственной прямой; параллельные прямые дополняются общей несобственной точкой, непараллельные – разными; несобственные точки, дополняющие всевозможные прямые плоскости, принадлежат несобственной прямой. Определение. Преобразование проективной плоскости, переводящее любую прямую в прямую, называется проективным. Следствие. Проективное преобразование, сохраняющее бесконечно удалённую прямую является аффинным; любое аффинное преобразование является проективным, сохраняющим бесконечно удалённую прямую. Определение. Центральным проектированием плоскости α на плоскость β с центром в точке О, не лежащей на этих плоскостях, называется отображение, которое любой точке А плоскости α ставит в соответствие точку А´ пересечения прямой ОА с плоскостью β. При этом, если плоскости α и β не параллельны, то в плоскости α найдётся прямая ℓ такая, что плоскость, проходящая через точку О и прямую ℓ, параллельна плоскости β. Будем считать, что ℓ при нашем проектировании переходит в бесконечно удалённую прямую плоскости β (при этом каждая точка B прямой ℓ переходит в ту точку бесконечно удалённой прямой, что дополняет прямые параллельные ОВ). В плоскости β найдётся прямая ℓ´ такая, что плоскость, проходящая через точку О и прямую ℓ´, параллельна плоскости α. Будем считать ℓ´ образом бесконечно удалённой прямой плоскости α. Прямые ℓ и ℓ´ будем называть выделенными. Мы можем говорить, что задано просто преобразование проективной плоскости (если совместить плоскости α и β). Из определения сразу вытекают свойства центральной проекции:
Определение. Пусть точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Двойным отношением (АВ; СD) этих точек называется величина  . Если одна из точек является бесконечно удалённой, то длины отрезков, концом которых является эта точка, можно сократить.Теорема 1.1. Центральная проекция сохраняет двойные отношения. Доказательство. Пусть О – центр проектирования, А, В, С, D – четыре точки, лежащие на одной прямой, A´, B´, C´, D´ – их образы. Тогда  .Аналогично  .Поделив одно равенство на другое, получим  . Аналогично, вместо точки С рассматривая точку D, получим  .Отсюда  , т.е.  . Чтобы доказательство было полным, осталось заметить, что все отрезки, площади и углы можно считать ориентированными. Теорема 1.2. Пусть даны четыре точки A, B, C, D плоскости π, не лежащие на одной прямой, и четыре точки M, N, P, Q плоскости π´, не лежащие на одной прямой. Тогда существует композиция центральной (параллельной) проекции и подобия, переводящая A в M, В в N, С в Р, D в Q. Доказательство. Будем для удобства говорить, что ABCD и MNPQ – четырёхугольники, хотя на самом деле это не обязательно (например, могут пересекаться отрезки АВ и CD). Из доказательства будет видно, что мы нигде не используем, что точки A, В, С, D и M, N, P, Q в указанном порядке образуют четырёхугольники. I. Если наши четырёхугольники – трапеции (АD||BC и MQ||NP), то доказательство совсем простое. Рассмотрим четырёхугольник A´B´C´D´, подобный четырёхугольнику MNPQ, такой, что AD=A´D´. Расположим плоскости π и π´ так, чтобы совпали точки А с А´ и D с D´. Теперь, если  , то нужный нам результат даст центральная проекция с центром О (см. рис.), а если ВВ´||CC´, то нужный нам результат даст параллельная проекция с направлением ВВ´. II. Теперь докажем утверждение, если четырёхугольники произвольные. Пусть  ,  . Отметим точки Х1, Х2, Z1, Z2 на прямых АВ, CD, MN, PQ соответственно так, что  ;  ;  ;  .Проведём теперь через точки A, B, C, D прямые АK, BL, CF, DG, параллельные X1X2 (K, L лежат на DC; G, F – на АВ), а через точки N, M – прямые NT, MS, параллельные Y1Y2 (T, S лежат на PQ). Переведём центральной (параллельной) проекцией f трапецию АВLK в трапецию А´В´L´K´ плоскости π´, подобную трапеции MNTS (это возможно по части I нашего доказательства). При этом из выбора точек Х1, Х2 следует, что прямая Х1Х2 – выделенная прямая плоскости π´. Отметим на прямой L´K´ точки С´, D´ такие, что трапеция ABCD подобна трапеции A´B´C´D´. Проведём прямые C´F´, D´G´, параллельные прямой B´L´ (F´, G´ лежат на А´В´), и отметим на прямой А´В´ точку Y1´ такую, что  ,  . На прямой C´D´ отметим точку Y2´ такую, что Y1´Y2´||A´K´ (см. рис.). Из выбора точек Y1´ и Y2´ следует, что прямая Y1´Y2´ – выделенная прямая плоскости π´. При преобразовании f точка Е переходит в точку Е´ пересечения прямых A´B´ и L´K´. Точка С переходит в некоторую точку С0´ прямой С´D´.  Докажем, что С0 совпадает с С´. Из того, что Х2 при преобразовании f переходит в бесконечно удалённую точку прямой C´D´, а Y2´ - образ бесконечно удалённой точки прямой CD и центральная проекция сохраняет двойные отношения, следует, что  , откуда  . Теперь рассмотрим преобразование g, композицию центральной проекции и подобия, переводящее трапецию CDGF в трапецию C´D´G´F´. Для преобразования g аналогично можно показать, что  . Отсюда будет следовать, что точки С0 и С´ совпадают. Аналогично можно показать, что D0 – образ точки D при преобразовании f – совпадает с D´. Итак, преобразование f переводит четырёхугольник ABCD в четырёхугольник A´B´C´D´, подобный четырёхугольнику MNPQ, что и требовалось.Теорема 1.3. Пусть даны четвёрки точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой: A, B, C, D и A´, B´, C´, D´. Тогда существует единственное проективное преобразование, переводящее А в А´, В в В´, С в С´, D в D´. Существование такого преобразования следует из теоремы 1.1. Единственность можно доказывать так же, как и единственность аффинного преобразования (теорема 1.1, часть III): рассматривать квадратную решётку, строить её образ, а затем измельчать. Обойти те трудности, с которыми мы столкнулись при доказательстве аффинной теоремы, нам опять не удастся. Из теорем 1.1, 1.2, 1.3 сразу следуют некоторые важные утверждения: Следствия.
Задача 1. Даны две прямые a и b и не лежащая на них точка Р. Через Р проводятся различные пары прямых, пересекающих прямые a и b в точках А, С и B, D соответственно. М – точка пересечения AD и ВС. Доказать, что все такие точки М лежат на одной прямой, проходящей через точку пересечения прямых a и b. Решение. Пусть О – точка пересечения прямых a и b. Переведём прямую ОР в бесконечно удалённую. Тогда четырёхугольник ABDC будет параллелограммом; М, точка пересечения его диагоналей, будет лежать на прямой, параллельной прямым a и b и отстоящей от них на равные расстояния. Задача 2. Можно ли окрасить 2006 точек плоскости в красный цвет и 1003 – в синий так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки разных цветов, содержала ещё одну из окрашенных точек и все окрашенные точки не лежали на одной прямой. Решение. Рассмотрим проективную плоскость и правильный 2006-угольник на ней. Все вершины 2006-угольника покрасим в красный цвет, а точки пересечения сторон с бесконечно удалённой прямой покрасим в синий цвет. Легко проверить, что этот набор точек обладает требуемым свойством. Осталось лишь сделать проективное преобразование так, чтобы на бесконечно удалённой прямой не осталось отмеченных точек… Ответ: можно. Теорема 1.4. Дана окружность и точка M внутри неё. Существует центральная проекция, при которой данная окружность переходит в окружность, а точка M – в её центр. Доказательство. Пусть АВ – тот диаметр нашей окружности, на котором лежит точка M. Рассмотрим косой круговой конус, основанием которого является наша окружность, а вершиной такая точка О, что  . На прямых ОА и ОВ за точку О отложим точки В´ и А´ соответственно так, что ОВ=ОВ´ и ОА=ОА´: Пусть С´ – середина А´В´ и  . Применяя теорему синусов к треугольникам ОАС, ОВС, ОВ´С´ и ОС´А´, нетрудно получить соотношение  , т.е. точка С в точности совпадает с точкой М. Теперь осталось заметить, что из соображений симметрии сечение нашего конуса плоскостью α, проходящей через прямую А´В´ перпендикулярно плоскости (АОВ), является окружностью, поэтому центральная проекция с центром О на плоскость α является искомой. Из доказательства этой теоремы следует также Теорема 1.5: Любое проективное преобразование сохраняет какую-то окружность. Теорема 1.6. Дана окружность и не пересекающая её прямая ℓ. Существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а ℓ – в бесконечно удалённую прямую. Доказательство. Пусть А, В – произвольные точки прямой ℓ, АK, AL, BM, BN – касательные к окружности из точек А и В,  . По теореме 1.4 существует преобразование, сохраняющее нашу окружность, переводящее Р в её центр. При этом преобразовании отрезки KL и MN перейдут в диаметры окружности, поэтому А и В перейдут в бесконечно удалённые точки, а ℓ - в бесконечно удалённую прямую.Задача 3. Доказать, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон и вписанной окружности, пересекаются в одной точке. Решение. Пусть АВС – наш треугольник, А´, В´, С´ – точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника,  . Проведём проективное преобразование, сохраняющее вписанную окружность и переводящее точку Т в её центр. Тогда AA´ и ВВ´ станут одновременно и высотами, и биссектрисами треугольника АВС, т.е. треугольник АВС перейдёт в правильный, а точка Т – в его центр. Значит СС´ проходит через Т.2. Проективные теоремы. Ниже приводятся известные теоремы геометрии, которые легко доказываются применением проективного преобразования: Теорема 2.1. (теорема Дезарга) Если прямые, содержащие соответственные стороны треугольников ABC и A´B´C´ (т.е. AB и A´B´, BC и B´C´, AC и A´C´), пересекаются в точках P, Q, R лежащих на одной прямой ℓ, то прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников, пересекаются в одной точке. Теорема 2.2. (теорема Паппа) Если точки А, В, С лежат на прямой ℓ, точки А´, В´, С´ - на прямой ℓ´, то точки P, Q, R пересечения прямых АВ´ и А´В, АС´ и А´С, ВС´ и В´С соответственно лежат на одной прямой. Теорема 2.3. (теорема Паскаля) Точки пересечения противоположных сторон вписанного шестиугольника лежат на одной прямой. Теорема 2.4. (теорема Брианшона) Главные диагонали описанного шестиугольника пересекаются в одной точке. Не будем подробно проводить доказательство этих теорем, покажем лишь, какое преобразование сводит каждую из этих задач к очевидной: Теорема 2.1 – проективное преобразование, переводящее прямую ℓ в бесконечно удалённую; Теорема 2.2 – проективное преобразование, переводящее прямую PQ в бесконечно удалённую; Теорема 2.3 – проективное преобразование, сохраняющее описанную окружность, переводящее прямую PQ в бесконечно удалённую, где P, Q – точки пересечения двух пар противоположных сторон шестиугольника; Теорема 2.4 – проективное преобразование, сохраняющее вписанную окружность, переводящее точку пересечения двух диагоналей в центр этой окружности. 3. Полярное соответствие, принцип двойственности. Определение. Полярное соответствие на плоскости относительно окружности с центром О и радиусом r ставит в соответствие каждой точке А, отличной от О, прямую а, перпендикулярную ОА и пересекающую луч ОА в такой точке А´, что  . Прямая а называется полярой точки А, а точка А – полюсом прямой а. Полярой точки О является бесконечно удалённая прямая, а полярой бесконечно удалённой точки – прямая, содержащая диаметр, перпендикулярный проходящим через неё параллельным прямым.Свойства.
Первое свойство является очевидным, а каждое следующее свойство сразу вытекает из предыдущих. Следствие. (принцип двойственности) Пусть доказано некоторое проективное утверждение. Тогда верным будет и утверждение, полученное из доказанного взаимной заменой следующих терминов: (точка)↔(прямая) (лежать на прямой)↔(проходить через точку) (лежать на окружности)↔(касаться окружности) Двойственны, например, теоремы Паскаля и Брианшона. Теорема 3.1. (теорема обратная теореме Дезарга) Если прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников ABC и A´B´C´, пересекаются в одной точке, то прямые, содержащие соответственные стороны этих треугольников, пересекаются в точках, лежащих на одной прямой. Доказательство. Эта теорема двойственна теореме 2.1. (теореме Дезарга). |
Похожие:
 | Темы Вашего учебного проекта И они не догадываются что геометрические формы находят свое отражение практически во всех отраслях знаний: архитектура, искусство,... |  | Реферат Геометрические фракталы Целью моего реферата является знакомство с фракталами. Центральным предметом изучения являются фракталы геометрические. Вопрос, который... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Применять на практике: проводить моделирование в среде графического редактора; создавать меню типовых мозаичных форм; создавать геометрические... | | Программа вступительного экзамена в аспирантуру ики ран по специальности... Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Законы Ньютона. Экспериментальные основы теории относительности. Принцип относительности... |
| Рабочая программа по учебной дисциплине Устройства преобразования и обработки Рабочая программа дисциплины «Устройства преобразования и обработки информации (упои)» | | Реферат статьи «Новая интерпретация преобразования Лоренца» Реферат статьи «Новая интерпретация преобразования Лоренца», авторы Корнева М. В., Кулигин В. А., Кулигина Г. А. (исследовательская... |
| Машина постоянного тока электрическая машина для преобразования механической... Машина постоянного тока — электрическая машина для преобразования механической энергии в электрическую постоянного тока (генератор)... | | «Сопряжение» Данный урок является продолжением темы: «Геометрические построения, необходимые при выполнении чертежей» |
| Реферат Отчет: «Развитие культуры позитивного восприятия изменений... Содержание деятельности и результаты мероприятия 1: «Развитие культуры позитивного восприятия изменений рекреационной среды через... | | Анализ посещенного урока Наименование прорабатываемой на занятиях темы геометрические построения и правила вычерчивания контуров технических деталей |
| Анализ посещенного урока Наименование прорабатываемой на занятиях темы Геометрические построения и правила вычерчивания контуров технических деталей | | Решение задачи электронной томографии на основе сверхмасштабируемого... |
| Руководство по лётной эксплуатации самолёта як-52 Москва, 2001 Основные геометрические, регулировочные весовые и центровочные данные самолета 42 | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Оборудование: геометрические фигуры, числовой ряд от 1 до 10, клей, цветной картон |
| Способ мамаева а. И. Преобразования химической энергии в электрическую... | | Преобразования графиков функций Муниципальное общеобразовательное учреждение зато северск «средняя общеобразовательная школа №87» |
