Задача 1.Несколько учеников отвечали на уроке, и двоек не было. Аня получила отметку, которая на 10 меньше, чем сумма отметок остальных; Боря получил отметку, которая на 8 меньше, чем сумма отметок остальных; Вера – отметку, которая на 6 меньше, чем сумма отметок остальных. Сколько человек отвечало на уроке и какие отметки они получили? С обоснованием.
Ответ: отвечало 4 человека; один получил «5», двое – «4», один – «3».
Решение. Из условия следует, что удвоенная Анина оценка на 10 меньше, чем сумма всех оценок, а удвоенная Борина оценка на 8 меньше, чем сумма всех оценок. Отсюда Боря получил оценку на 1 выше, чем Аня. Аналогично можно сказать про Веру, а так как двоек не было, то Вера получила 5, Боря – 4, Аня – 3. Тогда сумма всех оценок равна 10+6 = 16 (например, удвоенная оценка Веры плюс 6), и есть еще один ученик, который получил 16–3–4–5 = 4.
Задача 2 Разрежьте эту фигуру на 2 части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник, и покажите, как надо их перекладывать. Пример.
Задача 3 Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алёше Поповичу за верную службу дали 6 монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Алёше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец ответит "да", "нет" или "не знаю", и по ответу на который Вы сможете понять, какие монеты ему достались. Пример.
Задача 4 Тилли, Вилли и Дилли участвовали в легкоатлетическом забеге. В какой-то момент времени оказалось, что они бегут рядом друг с другом, впереди них бежит половина участников забега и позади них - треть участников забега. Сколько спортсменов участвовало в забеге? Ответ.
Ответ. 18
Задача 5 Разрежьте фигуру (прямоугольник с прорезью) на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат 8x8 и покажите, как его складывать. Пример
Задача 6 Вифсла, Тофсла и Хемуль играли в снежки. Первый снежок бросил Тофсла. Затем в ответ на каждый попавший в него снежок Вифсла бросал 6 снежков, Хемуль — 5, а Тофсла — 4. Через некоторое время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если мимо цели пролетели 13 снежков. (В себя самого снежками не кидаются и один снежок не может попасть в двоих.) С обоснованием.
Ответ. По одному разу.
Задача 7 Винни-Пух и Пятачок поделили между собой торт. Пятачок захныкал, что ему досталось мало. Тогда Пух отдал ему треть своей доли. От этого у Пятачка количество торта увеличилось втрое. Какая часть торта была вначале у Пуха и какая у Пятачка? С обоснованием.
Ответ: Треть доли Пуха была равна двум долям Пятачка, поэтому доля Пятачка составляла одну шестую от доли Пуха. Поэтому вначале у Пуха было 6/7, а у пятачка – 1/7
Задача 8 Найдите все решения ребуса Я +ОН +ОН +ОН + ОН+ ОН +ОН +ОН +ОН =МЫ. (Одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, раз-ными –– разные.) Только ответ
Ответ. 0+ 12+12+ 12+12+ 12+12+ 12+12= 96.
Решение. Так как 8 · ОН < 100, то ОН 6 12, то есть О = 1, а Н равно 0 или 2. Но Н не может быть равно 0, так как тогда Я и Ы означали бы одну и ту же цифру. Значит, Н = 2. Таким образом, 8 · ОН = 8 · 12 = 96, значит, МЫ может быть равно 96, 97 или 98. Два последних случая не подходят, так как для них Я должно быть равно 1 или 2, а эти цифры уже использованы. Значит, МЫ=96, а Я =0.
Задача 9 Вдоль дорожки между домиками Незнайки и Синеглазки росли в ряд цветы: 15 пионов и 15 тюльпанов вперемешку. Отправившись из дома в гости к Незнайке, Синеглазка поливала все цветы подряд. После 10-го тюльпана вода закончилась, и 10 цветов остались неполитыми. Назавтра, отправившись из дома в гости к Синеглазке, Незнайка собирал для неё все цветы подряд. Сорвав 6-й тюльпан, он решил, что для букета достаточно. Сколько цветов осталось расти вдоль дорожки? Только ответ
Ответ. 19 цветов.
Решение. Неполитыми осталось 10 цветов, значит, полито было 30−10=20 цветов. Рассмотрим последний политый Синеглазкой тюльпан. Так как всего тюльпанов 15, за этим тюльпаном идёт ещё 15− 10=5 тюльпанов. Поэтому Незнайка сорвёт эти 5 тюльпанов и закончит рвать цветы как раз на последнем политом Синеглазкой тюльпане. Но это значит, что все остальные политые цветы уцелели. То есть уцелело 20− 1= 19 цветов.
Задача 10. Числа от 1 до 16 расставлены в таблице 4×4. В каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали (включая диагонали из одной клетки) отметили самое большое из стоящих в ней чисел. (Одно число может быть отмечено несколько раз.) Могли ли оказаться отмечены все числа? Ответ с обоснованием.
Ответ. нет.
Решение. Заметим, что числа в углах будут отмечены в лю бом случае –– это числа, стоящие на диагоналях длины 1. Среди остальных чисел есть хотя бы одно неотмеченное. Действительно, рассмотрим наименьшее из чисел, не стоящих в углах. Оно не отмечено, так как на каждой линии вместе с ним есть и другие неугловые числа. Значит, все числа отмечены быть не могут.
Задача 11. Каждое из четырёх слагаемых на 4 меньше их суммы. Чему равны слагаемые? Ответ объясните.
Решение. То есть одно число на 4 меньше суммы четырёх таких же чисел, или сумма трёх таких чисел равна четырём. Значит, каждое число равно 4/3=1 1/3.
Задача 12. Найдите наименьшее составное число, которое не делится ни на одно из натуральных чисел от двух до десяти. Ответ.
Ответ:121
Задача 13. Разрежьте фигуру на две части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник 6x8 и покажите, как складывать. Пример.
Задача 14.В ряд выложены несколько апельсинов, мандаринов, яблок и бананов. Оказалось, что рядом с каждым из фруктов можно найти фрукт любого другого вида. Какое наименьшее число фруктов могло быть выложено? Ответ.
Ответ: 8
Задача 15.На олимпиаде было 100 участников и 4 задачи. Первую задачу решило 90 участников, вторую – 80, третью – 70, а четвертую – 60. Никто не решил все четыре задачи. Победителями (то есть, решившими наибольшие число задач) оказались все участники, решившие третью и четвертую задачи и только они. Сколько их было? Ответ.
Ответ 30
Задача 16. Сколько кубиков использовано для построения башни? Только ответ. 44
Задача 17. 100 конфет были разложены по нескольким кучкам. Пришел хулиган Вася и переложил некоторые конфеты в другие кучки. Он говорит, что после этого в каждой кучке количество конфет либо увеличилось, либо уменьшилось ровно вдвое. Может ли это быть правдой? Ответ с обоснованием.
Ответ: Нет. Решение. Обозначим через a количество конфет, лежащих в кучках, где их число удвоилось. Тогда, в оставшихся кучках 100–a конфет. По условию, 2a+(100–a)/2 = 100. Отсюда, 3a = 100, что невозможно.
Задача 18. По кругу написаны 15 целых чисел, причем сумма никаких двух соседних и никаких трех идущих подряд чисел не делится на 3. Сколько из написанных чисел делятся на 3? Найдите все ответы
Ответ: 5, 6 или 7
Задача 19. Три ребенка сидят на весах. Если с весов спрыгнет Аня, то весы покажут 30 кг. Если спрыгнет Ваня, то весы покажут 40 кг, а если спрыгнет Таня, то весы покажут 50 кг. Сколько весит каждый ребенок? Только ответ
Аня – 30 кг, Ваня – 20 кг, Таня – 10 кг
Задача 20. У нескольких ребят было поровну яблок. Если бы ребят было на два меньше, то каждому досталось бы на одно яблоко больше. А если бы ребят было на три меньше, то каждому досталось бы на два яблока больше. Сколько было ребят? Только ответ
Ответ: шестеро
Задача 21.Директор вошел в комнату, где вокруг круглого стола стояло 60 стульев и на некоторых из них сидели гости. Оказалось, что он не может сесть так, чтобы рядом с ней никто не сидел. Какое наименьшее число людей могло в этот момент сидеть за столом? Ответ с обоснованием
Ответ: 20
Задача 22 . Найдите отношение закрашенной площади к незакрашенной. Ответ
Ответ: 5:3
Задача 23.Один странный мальчик по средам и четвергам говорит только правду, по понедельникам всегда лжет, а в остальные дни недели может и соврать, и сказать правду. Шесть дней подряд его спрашивали, как его зовут, и получили такие ответы: Дима, Боря, Дима, Боря, Петя, Боря. Как он ответит на этот вопрос на следующий день? Только ответ
Ответ: Дима
Задача 24. Пятачок съедает горшочек меда за 10 минут, миску малины – за 13 минут и выпивает банку сгущенного молока за 14 минут. Винни-Пух съедает горшочек меда за 6 минут, миску малины – тоже за 6 минут и выпивает банку сгущенного молока за 7 минут. За какое наименьшее время Винни-Пух и Пятачок могут управиться с завтраком, состоящим из горшочка меда, миски малины и банки сгущенного молока? Ответ с примером.
12 минут. Сначала Пятачку – мед, Пуху – малину. Через 6 минут закончится малина, дадим Пуху молок. Еще через 4 минуты закончится мед. Осталась часть молока, которую Пух допивает за 3 минуты, а вместе с Пятачком – за 2.
Задача 25. У Кощея есть семечко. Если его полить мёртвой водой, из него начинает расти дерево со скоростью 1 м/час. Если это дерево полить живой водой, оно начинает расти со скоростью 2 м/час. Кощей сделал на стене отметку на высоте между 1 и 2 метрами от земли, дал Ивану-царевичу семечко, фляги с живой и мёртвой водой и сказал: «Посади семечко в 10 утра, и чтобы к 11 утра дерево доросло точно до моей отметки». Есть ли у Ивана возможность справиться с заданием Кощея?
Ответ: Да. Решение. Пусть Кощей отметил точку A. Проведём из неё вертикальный отрезок до земли и отметим на нём точку B на расстоянии 1 м от земли и такую точку C, что BC = AB. В 10 утра Иван посадит семечко и польёт его мёртвой водой, а когда дерево дорастёт до отметки C, польёт его живой водой. Без живой воды дерево к 11 утра доросло бы до точки B, а с нею, растя вдвое быстрее, оно дорастёт как раз до точки A.
Задача 26. На бирже Цветочного города 1 лимон и 1 банан можно обменять на 2 апельсина и 23 вишни, а 3 лимона — на 2 банана, 2 апельсина и 14 вишен. Что дороже: лимон или банан? Ответ с обоснованием.
Ответ: Лимон. Решение. Из условия следует, что 5 лимонов = 2 лимона + 3 лимона = 2 лимона + 2 банана + 2 апельсина + 14 вишен = 2(2 апельсина + 23 вишни) + 2 апельсина + 14 вишен = 6 апельсинов + 60 вишен. Значит, 1 лимон = 6/5 апельсина + 12 вишен, а 1 банан = 2 апельсина + 23 вишни – (6/5 апельсина + 12 вишен) = 4/5 апельсина + 11 вишен. Понятно, что 6/5 апельсина + 12 вишен больше, чем 4/5 апельсина + 11 вишен.
Задача 27. Найдите все делящиеся на 37 пятизначные числа, у которых первая, третья и пятая цифры одинаковы. Только ответ
Ответ: Все числа вида: X0X0X, X4X7X и X7X3X, где X — произвольная цифра. Решение. Заметим, что число 10101 делится на 37, поэтому 1000a+10b должно делиться на 37 (a — количество тысяч, а b — количество десятков в пятизначном числе). Это равносильно делимости на 37 числа 100a+b или 26a+b. Подставляя вместо a всевозможные значения от 0 до 9, находим соответствующие b. В диапазоне от 0 до 9 получаются три значения: a = b = 0, a =4, b = 7, a =7, b = 3. |
