Урок 4 Извлечение корня из комплексного числа

Урок 4 Извлечение корня из комплексного числа Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа z – это операция обратная возведению в степень n, то есть – это такое комплексное число, n-ая степень которого равна z, то есть wn = z. Запишем числа z и в показательной форме: z = rеi и w = еi, тогда, так как wn = z, то n = r и n = . Откуда находим, что  =  и  = /n, то есть w = еi/n. Но дело в том, что аргумент комплексного числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного 2.. Поэтому кроме значения аргумента  = /n у корня из z могут быть и значения аргумента, равные ( + k2)/n, где k = 0, 1, ... , (n–1). Таким образом, мы получим n различных корней: , где k = 0, 1, ... , (n–1). (9) Заметим, что если брать k > (n – 1), то мы будем повторно получать числа, содержащиеся в (9). Например, при k = n получим . Посмотрим теперь, как расположены на комплексной плоскости числа (9). Во-первых, они все имеют один и тот же модуль , следовательно, они лежат на окружности, радиуса с центром в точке 0. Во-вторых, последующий корень wk+1 получается из предыдущего wk добавлением к аргументу одного и того же числа 2/n, что соответствует повороту (против часовой стрелки) на этот угол. Это говорит о том, что корни wk расположены в вершинах правильного n-угольника. Итак, все корни (z  0) лежат в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность, радиуса с центром в точке 0, причем одна из вершин соответствует корню с аргументом, равным (argz)/n. Пример 7.  Найти все корни уравнения z3 = – 8, записать их в алгебраической форме и построить соответствующие точки на комплексной плоскости. Решение. Очевидно, задача сводится к отысканию . Поэтому, как мы выяснили,w==2; argwk = (arg(–8) + 2k)/3 = ( + 2k)/3, где k = 0, 1, 2. Отсюда получаем, что w0 = 2еi/3 = 2(cos/3 + isin/3) = 1 + i; w1 = 2еi = –2; w2 = 2еi5/3 = 2(сos5/3 + isin5/3) = 1 – i. На рис. 6 показано, что точки комплексной плоскости, соответствующие найденным корням w0, w1 и w2 лежат в вершинах правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиуса 2. Причем одна из вершин этого треугольника лежит на луче, соответствующем значению аргумента /3. y -2 1 – i 1 + i –8 x Рис. 6. Ответ: w0 = 1 + i; w1 = –2; w2 = 1 – i – решения данного уравнения z3 = – 8.

Похожие:

	Учебник Ю. Н. Макарычева Тема урока: «Извлечение квадратного корня из произведения и дроби» Цели: Познакомить со свойствами арифметического квадратного корня и научить применять их к нахождению значений выражений; развивать...		Урок математики. 8 класс. 8 октября 2009 г Повторение определений квадратного корня, арифметического квадратного корня, свойств корня с использованием презентации «Арифметический...
	Разработка урока биологии в 6 классе. Тема : Строение корня. Цель:... Функциями, продолжить формирование понятия о тканях и показать на конкретных примерах зон корня определенные виды тканей		Здравствуйте ребята! Начинаем новую тему «Смешанные числа» «Дробные числа», урок «Неправильные дроби. Смешанные числа», видео урок ( в конце конспекта в дополнительных рекомендациях)
	Тема урока: Зоны корня Цели урока: Образовательные Образовательные: познакомить учащихся с особенностями внутреннего строения корня, зонами корня		Урок обобщения по теме в 8 а классе учитель Зайкова Т. Е Решите уравнения. В соответствии с полученными результатами нанести на координатной плоскости точки и последовательно соединить их,...
	Урок в 6А классе по теме: «Задачи на нахождение дроби от числа и числа по его дроби.» Цели: закрепить и обобщить правила нахождения дроби от числа и числа по значению его дроби; показать применение правил при решении...		Урок (математика + естествознание)) на тему: "Источник жизни на земле.... Образовательная: Выработать (создать) алгоритм сложения и вычитания смешанных чисел на основе знаний записи числа в виде неправильной...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... История появления, развития и запись чисел: в Древней Греции, Египте, на Руси; Фигурные числа, совершенные числа, дружественные числа,...		Здравствуйте ребята! Продолжаем тему «Смешанные числа» «Дробные числа», урок «Неправильные дроби. Смешанные числа», тренажер ( в конце конспекта в дополнительных рекомендациях), 5класс,...
	Строение и функции корня ...		Урок математики в 1 классе. Тема «Вычитание числа 4» Формирование ценностного отношения к совместной познавательной деятельности по определению способов вычитания числа 4
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... ...		1Натуральные числа 1,2,3,4, счёт предметов, указание порядкового... Число 0 тоже целое. Рациональные числа – целые и дроби (+,-) Вид М/N, где (N 0) m и n- взаимно простые целые числа. Иррациональные...
	Урока: Образовательные Внести множитель под знак корня или вынести множитель из-под знака корня (на этом этапе можно обращаться за помощью)		Урок математики в 6 классе. Тема Сегодня я хочу представить вашему вниманию урок-объяснения нового материала 6 классе по теме: «Положительные и отрицательные числа»....