                Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений с ограничениями. Отбор корней»
Цель урока: Закрепить знания по отбору корней при решении тригонометрического уравнения.
Задачи:
образовательная: отработать навыки отбора корней при решении тригонометрических уравнений.
развивающие: развитие умения преодолевать трудности при решении математических задач;
развитие умения давать объективную самооценку;
развитие навыков самостоятельности и работы в группах.
воспитательные: воспитание наблюдательности, внимания, самоконтроля и взаимоконтроля.
Тип урока: урок комплексного применения знаний.
Современные образовательные технологии, применяемые на уроке: ИКТ; проблемная; уровневая дифференциация.
Формы работы: 1) фронтальная
2) индивидуальная;
3) индивидуально – дифференцированная.
Средства обучения: карточки, медиапроектор.
Этапы урока: 1) организационный момент;
2) целеполагание и мотивация знаний;
3) актуализация знаний: устная работа с места;
работа в парах;
взаимопроверка;
4) применение знаний: в знакомой ситуации;
в новой ситуации;
5) домашнее задание;
6) рефлексия (подведение итогов урока, выставление отметок).
Урок проводится с презентацией.
Ход урока.
Организационный момент (проверка готовности к уроку).
Здравствуйте! Садитесь.
Целеполагание и мотивация знаний.
Откройте тетради, запишите число и «Классная работа». Сегодня тема нашего урока «Решение тригонометрического уравнения с отбором корней». Запишите ее в тетрадь.
Данная тема включает в себя прототипы заданий В5 и С1 из ЕГЭ по математике.
Целью нашего урока является закрепление знаний по отбору корней при решении тригонометрического уравнения.
Как сказал всемирно известный американский изобретатель и предприниматель Томас Эдисон: «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий». Поэтому, удачи Вам во время урока.
Актуализация знаний.
Устная работа с места.
Прежде чем приступить к решению тригонометрического уравнения с отбором корней, давайте вспомним табличные значения углов для тригонометрических функций. Для этого устно ответьте на следующие вопросы:
Перед Вами на слайдах простейшие тригонометрические уравнения. Надо указать их решение на отрезке  .
(Уравнения всплывают в хаотичном порядке.)
Ответы ….
Давайте повторим основные типы уравнений и методы их решения, а также решения простейших уравнений в ходе следующих устных упражнений:
Назовите (если можете) вид уравнения и изложите грамотно способ его решения.
а) 2cos2 х - cos x - 5 = 0
б) sin2 х + cos x - 8 = 0
в)  cos х + sin x = 0
г) sin х - cos x = 1
д) 3cos x - 4sin x = 0 (или 5)
е) 5 sin2 х — 8sin x cos x + cos2 x = 0 (или 2)
ж) sin 2х - cosx = 0
з) cos 3х = cos х
3) Взаимопроверка.
А теперь давайте перейдем к изображению корней уравнения на графике соответствующей тригонометрической функции.
Возьмите карточки, на которых изображен график функции : Iвариант y = sin x, II вариант  y = cos x. На каждом графике функции отметьте корни уравнения, которые принадлежат указанному отрезку. На выполнение задания у Вас 2-3 минуты.
Iвариант
sin x =  на отрезке 
|
II вариант
cos x = - на отрезке 
|
Итак, время выполнения задания закончилось. Поменяйтесь с соседом по парте карточками с выполненным заданием и проверьте правильность решения по слайду.
Применение знаний (упражнения).
В знакомой ситуации.
Решите уравнение 2sin2x – 7cosx sinx + 5cos2x = 0. Укажите наименьший положительный корень.
а) Решение тригонометрического уравнения: (ученик выполняет задание у доски с объяснением).
Это однородное уравнение, поэтому разделим обе части уравнения на cos2x (
2tg2x - 7tgx + 5 = 0,
tgx = 
tgx = 1 или tgx =  ,
x =  , x = arctg
б) Выберем наименьший положительный корень:
arctg
 1
Итак, наименьший положительный корень равен 
Решить тригонометрическое уравнение cosx cos3x = - и указать сумму корней ( в градусах), принадлежащие отрезку  .
Для начала нам необходимо решить данное тригонометрическое уравнение.
Кто хочет выполнить это задание с объяснением у доски? (Ученик решает тригонометрическое уравнение с объяснением у доски.)
а) Решение тригонометрического уравнения:
cos3x cosx = -. (Домножаем на 2).
Получаем: 2cos3xcosx = -1.
Применяя формулу суммы косинусов cos ,
имеем cos  + cos = -1,
cos4x+cos2x = -1.
Применив формулы косинуса двойного угла (cos2 cos2 , получим:
2cos2x – 1 + cos2x = -1.
2cos22x + cos2x -1 = -1,
2cos22x + cos 2x = 0.
Решив квадратное уравнение, получили: cos2x = 0 или cos2x = -,
x= , где n Z x = 
Уравнение мы решили. Что надо сделать дальше? (Отобрать корни, записать их значение в градусах и найти их сумму).
Следующий ученик отбирает корни и ,переведя их в градусы, находит сумму корней.
б) Произведем отбор корней по тригонометрической окружности:
 
- -
Учитывая условие, нам подходят четыре значения:  . Переведя их в градусы, получим 450, 600 , 1200 и 1350.
в) Найдем сумму данных корней: 3600.
Скажите, при отборе корней мы пользовались тригонометрической окружностью. Каким способом можно отобрать еще корни?
С помощью графика функции.
Решая двойное неравенство, находя целочисленные значения n и k , при которых корни окажутся в данном отрезке.
Методом подбора.
В новой ситуации.
Для данного уравнения отберите корни, принадлежащие отрезку 
-Какие затруднения у Вас вызвало это задание?
-В каких единицах концы отрезка? (В радианах).
-Как перевести данные значения в градусы? (1рад   570).
Значит, 0 рад 00, а 2 рад 1140.
Самостоятельно отбирают корни из данного отрезка. Далее проверяем с записью на доске. ( 
Проверочная работа.
Возьмите задание для самостоятельной работы. Подпишите листочки, указав соответствующий вариант.
Каждый вариант состоит из трех уравнений разного уровня. Вам необходимо решить одно из трех.
За правильное решение первого уравнения оценка «удовлетворительно», за второе – «хорошо» и за третье – «отлично».
Оценив свои возможности, Вы выбираете соответствующее уравнение. У Вас на работу отведено 10 минут.
-
Iвариант
1) Найдите корень уравнения: cos В ответе укажите наибольший отрицательный корнень.
2) Решите уравнение: sin3x – sinx = 0.
Найдите корни, принадлежащие отрезку  .
Пусть х0 – наибольший отрицательный корень уравнения cos2x + 5 sinxcosx + 5cos2x = 0. Найдите ctgx0.
|
IIвариант
1) Найдите корень уравнения: sin В ответе укажите наименьший положительный корень.
2) Решите уравнение: cos2x - cosx= 0.
Найдите корни, принадлежащие отрезку 
3) Решите уравнение:
5sin2x + 8cosx + 1 =  + cos2x.
|
Домашнее задание на карточках.
Домашние задание я раздала каждому на карточках. Обратите внимание: Вам предложено решить семь заданий разного уровня. Из них три обязательных, а четыре - дополнительных, за верное их решение я поставлю в журнал дополнительную оценку.
Домашнее задание.
Найдите корень уравнения: cos В ответе запишите наименьший положительный корень.
Найдите сумму корней уравнения (в градусах) cos2x + 9sinx + 4 = 0, принадлежащие отрезку 
Найдите все значения х, при которых выполняется равенство: cos3x = 
Решите уравнение:  -  =1 – 
Сколько корней имеет уравнение (cosx – 1 – sin2x) = 0?
Решите уравнение: 
Решите уравнение: (4sin2x + 15sinx +9) 
|
Рефлексия (подведение итогов урока, выставление отметок)
-Мы сегодня решали тригонометрические уравнения с отбором корней.
-Какими способами мы можем отобрать корни? (перечисляют).
-Зависит ли результат от способа отбора?
- Как определить какой способ лучше выбрать?
- Где мы с Вами встретимся с подобными заданиями?
- Спасибо за урок!
Приложение 1.
I вариант.
На рисунке изображен график функции y = sin x. Отметьте на нем корни уравнения sinx = , принадлежащие отрезку  .
II вариант.
На рисунке изображен график функции y = cos x. Отметьте на нем корни уравнения cosx =- , принадлежащие отрезку .
Приложение 2. (Самостоятельная работа).
-
Iвариант
Найдите корень уравнения: cos В ответе укажите наибольший отрицательный корнень.
2) Решите уравнение: sin3x – sinx = 0.
Найдите корни, принадлежащие отрезку .
3) Пусть х0 – наибольший отрицательный корень уравнения cos2x + 5 sinxcosx + 5cos2x = 0. Найдите ctgx0.
|
II вариант
Найдите корень уравнения: sin В ответе укажите наименьший положительный корень.
2) Решите уравнение: cos2x - cosx= 0.
Найдите корни, принадлежащие отрезку
3) Решите уравнение: 5sin2x + 8cosx + 1 = + cos2x.
|
Приложение 3 (домашнее задание).
Домашнее задание.
Найдите корень уравнения: cosВ ответе запишите наименьший положительный корень.
Найдите сумму корней уравнения (в градусах) cos2x + 9sinx + 4 = 0, принадлежащие отрезку
Найдите все значения х, при которых выполняется равенство: cos3x =
4*)Решите уравнение: - =1 –
5*) Сколько корней имеет уравнение (cosx – 1 – sin2x) = 0?
6*) Решите уравнение:
7*) Решите уравнение: (4sin2x + 15sinx +9)
|
|
=
