Дискриминант. Формулы корней квадратного уравнения

Тема урока: Дискриминант. Формулы корней квадратного уравнения. Параметр. Уравнение с параметром (начальные представления) Цель урока: объяснить решение полных квадратных уравнений, показать правила оформления таких уравнений; формировать умение решать квадратные уравнения. знакомство учащихся с новыми понятиями, расширение их математического образования. развитие логического мышления, умения исследовать и рассматривать все возможные способы и случаи в зависимости от поставленных условий; формирование интереса к предмету, получение знаний и навыков, позволяющих сделать сознательный выбор на профильной ступени обучения. Типы учебных занятий – объяснительно-иллюстрированный с применением исследовательской работы Применяемый метод – программированный. Формы работы – коллективная, индивидуальная. Ход урок: Организационный момент. Индивидуальные задания: На «3» 1) Привести уравнения к стандартному виду и выписать их коэффициенты: а)      б)      в)  2) Являются числа 3, 1, 0, – 4 корнями уравнения . На «4» 3) Решить уравнения: а)                         б)  в)      г)  Актуализация знаний. Рассмотреть решение уравнений: а)      б)  Объяснение нового материала. После этого учитель показывает правило решения квадратного уравнения с помощью формулы дискриминанта. Объяснение данной темы проходит согласно параграфу. Все формулы выписываются на доску. Для того чтобы ученики лучше усвоили данную тему, можно приготовить плакат: Для закрепления данного материала рассмотреть решение квадратного уравнения из актуализации знаний через дискриминант, обсудить удобство данного решения. Ответ: . Параметр – величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы. «Словарь русского языка» С.И. Ожегова. Параметр – постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи. «Словарь иностранных слов». Параметр – это величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению или другой задаче меняющая свое значение. «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д.Н. Ушакова. Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, используя какой-то алгоритм или формулы. При решении задач с параметрами надо всегда активно использовать соображения, исходящие из здравого смысла, рассматривать их как задачи исследовательские. Задачи с параметрами традиционно и заслуженно считаются наиболее трудными: а) нехватка времени на них школьной программе; б) исследовательский характер; в) умение решать классические задачи без параметра, умение всесторонне исследовать квадратный трехчлен. Основные типы задач для уравнений с параметром. I. Решить уравнение f (x, a) = 0 при всех а: а) найти все значения переменной а, при которых уравнение имеет решение; б) найти эти решения при каждом таком а; в) в ответе указать, что при остальных значениях а, задача не имеет решений. II. Найти все значения а, при которых уравнение f (x, а) = 0 имеет решение. Задача требует исследования, а не формального применения формул III. Найти все значения а, при которых уравнение f (x, а) = 0 имеет одно (единственное) решение, ровно два или сколько-нибудь еще. Задача: В 7, 8, 9 кл. учится 105 учащихся. В 8 кл. на n больше, чем в 7 кл., а в 9 кл. на 3 меньше, чем в 7 кл. Сколько учащихся в каждом классе, если в каждом их не менее 30 человек, 7 кл. х             x + x + n + x – 3 = 105 8 кл. х + n     3x = 108 – n 9 кл. x – 3 x – неизвестное число; n – известное, натуральное число, параметр. 3x = 108 – n  x = , т.е. 7 кл. 36 –  8 кл. 36 –  + n = 36 +  9 кл. 36 –  – 3 = 33 – . Исходя из условия задачи меньшее количество учащихся в 9 кл., и т.к. не менее 30, то решим неравенство: 33 –  > 30  > 3 n < 9 т.к. количество учащихся в каждом классе это натуральное число, значит n – кратно 3. Учитывая оба условия n < 9 и n кратно 3 можно сделать вывод n = 3; 6; 9. n = 3 n = 6 n = 9 7 кл. 36 – , т.е. 36 –  = 35; 36 –  = 34; 36 –  = 33 8 кл. 36 + , т.е. 36 +   = 38; 36 + = 40; 36 +  = 42 9 кл. 33 – , т.е. 33 –  = 32; 33 –  = 31; 33 –  = 30 Итак, возможны 3 варианта ответа: в 7, 8, 9 классах могло быть соответственно 35; 38; 32 или 34; 40; 31 или 33; 42; 30 учащихся. Рассмотрим самые простые уравнения с параметром, которые сводятся к решению линейного или квадратного уравнения: f (x, a) = 0, т.е. линейное уравнение ax = 0  f (x; a; b; c) = 0, т.е. квадратное уравнение ax2 + bx + c. Решение линейных уравнений с параметром: Пример №1. b(b – 1)x = b2 + b – 2, x – неизвестное число, b – параметр, известное фиксированное число. Придавая b различные значения, будем получать различные уравнения с числовыми коэффициентами. В зависимости от значений параметра мы можем получить 3 разных случая: а) уравнение имеет единственный корень k • x = b  б) уравнение имеет множество корней 0 • x = 0 в) уравнение не имеет корней 0 • x = b Рассмотрим каждый случай отдельно: а) b(b – 1) =/= 0 b =/= 0; b =/= 1 уравнение имеет единственный корень: x =  б)  т.е. b = 1 множество корней в) b(b – 1) = 0 b = 0 и b = 1 при b = 0 получаем уравнение вида 0 . x = b т.е. корней нет.  b2 + b – 2 =/= 0 Таким образом, для данного уравнения выявим различные значения параметра b, для каждого из которых определено соответствующее множество корней: Ответ: при b =/= 0; b =/= 1 x =  при b = 1 множество корней x – любое число  при b = 0 корней нет. Решение квадратных уравнений с параметром При решении таких уравнений необходимо использовать следующие сведения. 1. Зависимость количества корней квадратного уравнения от его дискриминанта. D > 0 (2 корня); D = 0 (1 корень); D < 0 (нет корней). 2. Если D > 0 то аx2 + вx + с = а (x – x1) (x – x2) 3. Если D > 0, то левую часть можно представить в виде полного квадрата или выражения, ему противоположного ax2 + вx + с = а (x – x1)2 4. Если уравнение приведенное то x1 + x2 = – р, аx1 • x2 = q 5. Если а > 0, D > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня а) в < 0, с > 0 оба корня положительны б) в > 0, с > 0 оба корня отрицательны в) в < 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Положителен тот корень, который имеет больший модуль. г) в > 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Отрицателен тот корень, который имеет больший модуль. Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение аx (аx + 3) + 6 = x (аx – 6) является а) квадратным б) неполным квадратным в) линейным Преобразуем: а2x2 + 3 аx + 6 = аx2 – 6x а2x2 – аx2 + 3 аx + 6x + 6 = 0 а (а – 1)x2 + 3 (а + 2)x + 6 = 0 а) уравнение квадратное, если старший коэффициент =/= 0 а (а – 1) =/= 0 а = 0, а =/= 1 т.е. уравнение квадратное при всех а, кроме 0 и 1 б) неполное квадратное, если b = 0; если с = 0; если b = 0 и с = 0. 3 (а + 2) = 0 а = – 2 в) линейное, если коэффициент при x2 равен 0 а (а – 2) = 0 а = 0; 2 Ответ: при а =/= 0; 2 уравнение квадратное при а = – 2 неполное квадратное при а = 0,2 линейное. Пример 2. Решить уравнение x2 – bx + 4 = 0 D = b2 – 16. а) если  > 4, т.е. b < – 4 и b > 4 (b ? ( – ; 4)U(4; + ), то D >0 и уравнение имеет 2 корня x1,2 =  б) если  = 4, т.е. b = ± 4, то D = 0, уравнение имеет один корень x =  в) если  < 4, т.е. – 4 < b < 4, то D < 0 и уравнение корней не имеет. Ответ: если b < – 4 и b > 4, то 2 корня x1,2 =   если b = ± 4, то 1 корень x =   если – 4 < b < 4, то корней нет. Упражнения: 1) Решите относительно x уравнение: а) mx2 – 6x + 1 = 0; б) аx2 = 4;  в) x2 – аx = 0; 2) Решите относительно у уравнение: а) су2 + 8 = 2у2 + 4с;  б) b (у2 + 7) = b (у + 5) + 2b; 3) При каких значениях параметра а уравнение аx2 – 4x + а = 0 имеет: а) положительные корни; б) отрицательные корни; в) корень, равный нулю; г) единственный корень, отличный от нуля? 5. Формирование навыков и умений по теме: Упражнения: аx = 3а + 8 – уравнение с параметром а. Написать уравнение, которое получится при а = 10, а = – 2, а = , а = 0 Каким – линейным или квадратным – является уравнение: 5b(b – 2)x2 + (5b – 20)x – 16 = 0 относительно x при: а) b = 1  б) b = 2 в) b = 0,4 г) b = 0? Выясните вид уравнения: 2аx (x – 1) + x (аx – 12) = 3x2 + 8 относительно x при: а) а = – 2; б) а = – 6;  в) а = 1;  г) а = 0 и решите его для каждого случая. 4. Рассмотреть решение уравнений № в) При каком значении  уравнение  имеет один корень? Решение: Чтобы дробь равнялась нулю, надо чтобы числитель дроби был равен нулю. Решим уравнение: Уравнение  имеет два корня. По условию требуется для данного уравнения только один корень. Чтобы остался только один корень уравнения необходимо, чтобы один из корней не входил в область допустимых значений. Значит  или , так как на ноль делить нельзя. Ответ: . Дополнительные задания: При каких значениях параметра b уравнения: и  не имеют корней? 6. При каких значениях параметра n уравнение (n2 – 4)x = n3 – 2n2 – n + 2: а) имеет единственный корень; б) имеет бесконечное множество корней; в) не имеет корней? При каком значении параметра а уравнение  имеет: а) положительный корень; б) отрицательный корень; в) корень, равный нулю? Итоги урока Задание на дом: теория, карточки. Домашняя работа по теме «Параметр. Уравнения с параметром» Дано уравнение аx = 4x + 5. Найдите множество корней этого уравнения в случае, если: а) а = 4; б) а =/= 4. При какиx значениях параметра а уравнения: аx = 12 и 3x = а имеют общие корни? При каких значениях параметра b уравнение: b(b – 3)x = 10(2b + x) не имеет корней? Решите уравнение относительно у: а) ;  б) у – b = ;  в)  Домашняя работа по теме «Параметр. Уравнения с параметром» Дано уравнение аx = 4x + 5. Найдите множество корней этого уравнения в случае, если: а) а = 4; б) а =/= 4. При какиx значениях параметра а уравнения: аx = 12 и 3x = а имеют общие корни? При каких значениях параметра b уравнение: b(b – 3)x = 10(2b + x) не имеет корней? Решите уравнение относительно у: а) ;  б) у – b = ;  в)  Домашняя работа по теме «Параметр. Уравнения с параметром» Дано уравнение аx = 4x + 5. Найдите множество корней этого уравнения в случае, если: а) а = 4; б) а =/= 4. При какиx значениях параметра а уравнения: аx = 12 и 3x = а имеют общие корни? При каких значениях параметра b уравнение: b(b – 3)x = 10(2b + x) не имеет корней? Решите уравнение относительно у: а) ;  б) у – b = ;  в)  Решение квадратных уравнений с параметром При решении таких уравнений необходимо использовать следующие сведения. 1. Зависимость количества корней квадратного уравнения от его дискриминанта. D > 0 (2 корня); D = 0 (1 корень); D < 0 (нет корней). 2. Если D > 0 то аx2 + вx + с = а (x – x1) (x – x2) 3. Если D > 0, то левую часть можно представить в виде полного квадрата или выражения, ему противоположного ax2 + вx + с = а (x – x1)2 4. Если уравнение приведенное то x1 + x2 = – р, аx1 • x2 = q 5. Если а > 0, D > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня а) в < 0, с > 0 оба корня положительны б) в > 0, с > 0 оба корня отрицательны в) в < 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Положителен тот корень, который имеет больший модуль. г) в > 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Отрицателен тот корень, который имеет больший модуль. Решение квадратных уравнений с параметром При решении таких уравнений необходимо использовать следующие сведения. 1. Зависимость количества корней квадратного уравнения от его дискриминанта. D > 0 (2 корня); D = 0 (1 корень); D < 0 (нет корней). 2. Если D > 0 то аx2 + вx + с = а (x – x1) (x – x2) 3. Если D > 0, то левую часть можно представить в виде полного квадрата или выражения, ему противоположного ax2 + вx + с = а (x – x1)2 4. Если уравнение приведенное то x1 + x2 = – р, аx1 • x2 = q 5. Если а > 0, D > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня а) в < 0, с > 0 оба корня положительны б) в > 0, с > 0 оба корня отрицательны в) в < 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Положителен тот корень, который имеет больший модуль. г) в > 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Отрицателен тот корень, который имеет больший модуль. Решение квадратных уравнений с параметром При решении таких уравнений необходимо использовать следующие сведения. 1. Зависимость количества корней квадратного уравнения от его дискриминанта. D > 0 (2 корня); D = 0 (1 корень); D < 0 (нет корней). 2. Если D > 0 то аx2 + вx + с = а (x – x1) (x – x2) 3. Если D > 0, то левую часть можно представить в виде полного квадрата или выражения, ему противоположного ax2 + вx + с = а (x – x1)2 4. Если уравнение приведенное то x1 + x2 = – р, аx1 • x2 = q 5. Если а > 0, D > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня а) в < 0, с > 0 оба корня положительны б) в > 0, с > 0 оба корня отрицательны в) в < 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Положителен тот корень, который имеет больший модуль. г) в > 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Отрицателен тот корень, который имеет больший модуль. Вывод формул корней квадратного уравнения: Индивидуальные задания: На «3» 1) Привести уравнения к стандартному виду и выписать их коэффициенты: а)      б)      в)  Индивидуальные задания: На «3» 2) Являются числа 3, 1, 0, – 4 корнями уравнения . Индивидуальные задания: На «3» 1) Привести уравнения к стандартному виду и выписать их коэффициенты: а)      б)      в)  Индивидуальные задания: На «3» 2) Являются числа 3, 1, 0, – 4 корнями уравнения . Индивидуальные задания: На «4» 3) Решить уравнения: а)                         б)  в)      г)  Индивидуальные задания: На «3» 1) Привести уравнения к стандартному виду и выписать их коэффициенты: а)      б)      в)  Индивидуальные задания: На «3» 2) Являются числа 3, 1, 0, – 4 корнями уравнения . Индивидуальные задания: На «4» 3) Решить уравнения: а)                         б)  в)      г)  Индивидуальные задания: На «4» 3) Решить уравнения: а)                         б)  в)      г)

Похожие:

	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Обучающая – ввести понятия квадратного уравнения, корня квадратного уравнения; показать решения квадратных уравнений; формировать...		Урок игра «Счастливый случай» 8 класс Тема: Формула корней квадратного уравнения ...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Таблицы “Формула корней квадратного уравнения”, “Формула корней приведенного квадратного уравнения”		И номер урока в теме Цель урока: Показать способ решения полных квадратных уравнений с использованием формулы корней квадратного уравнения
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Обучающая цель: Коррекция умений и навыков; учащиеся должны знать формулы корней квадратного уравнения, теорему Виета, уметь решать...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: ввести понятия квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения; познакомить учащихся с неполными квадратными...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... ...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели урока: а закрепить практические навыки нахождения корней квадратного уравнения по формуле
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: сформулировать определения квадратного уравнения, полного и неполного квадратного уравнения; научить находить коэффициенты...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения», урок №1 темы «Квадратные уравнения»
	«Решение тригонометрических уравнений с ограничениями. Отбор корней» Целью нашего урока является закрепление знаний по отбору корней при решении тригонометрического уравнения		Повторить основные термины данной темы, решив кроссворд. Заготовки... Подвести учащихся к самостоятельному выводу Теоремы Виета, для нахождения корней приведённого квадратного уравнения на основе имеющихся...
	План урока тема урока: Квадратные уравнения (обобщающий урок) Цель урока: Обобщить знания учащихся по данной теме, сформировать алгоритм учебного действия с изученными понятиями, обратить внимание...		Реферат Записка с., 4 табл., 2 приложения, 5 источников Алгебраическое уравнение, корни уравнения, число действительных корней уравнения, теорема штурма, метод лобачевского–греффе, метод...
	Урока «Теорема Виета» Цель урока: изучить теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета; сформулировать приём, позволяющий свести решение уравнения общего...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Тема и номер урока в теме: Формулы корней квадратных уравнений, 2 урок. По плану № урока- 62