Тема урока: Иррациональные уравнения и неравенства

Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11 химико-биологическом классе Тема урока: Иррациональные уравнения и неравенства Цель урока – обобщить основные методы решения иррациональных уравнений и неравенств; повторить свойства показательной и логарифмической функций и решение тригонометрических уравнений и неравенств. Ход урока: Вступительное слово учителя (сообщение темы, целей и задач урока). Подготовительная работа к решению более сложных иррациональных уравнений и неравенств (см. Приложение – Диск с презентаций) Актуализация опорных знаний 1. У доски по карточкам: №1. Решить уравнение Решение: ОДЗ: 3 – х ≥ 0 х(–; 3] Пусть , тогда у ≥ 0 и 3 – х = у2, х = 3 – у2. Получим уравнение (3 – у2)у –15 + 5 у2 = 1 + у 3у – у3 – 15 + 5 у2 – 1 – у = 0 у3 – 5у2 – 2у + 16 = 0 у3 – 2у2 – 3у2 + 6у – 8у + 16 = 0 у2(у – 2) – 3у(у – 2) – 8(у–2) = 0 (у – 2)(у2 – 3у – 8) = 0 у – 2 = 0 или у2 – 3у – 8 = 0 у1 = 2 D = 9 + 32 = 41 Но у ≥ 0, поэтому не подходит. Возвратимся к х. Если у = 2, то х = 3 – 22 = 3 – 4 = –1, –1(–; 3] Если , то , Ответ: –1; №2. Решить уравнение Решение: Умножим обе части уравнения на выражение, сопряженное выражению в левой части уравнения. Получим: х2 + 5х + 3 – х2 – 2 = 2х + 1 = 0 или Поскольку мы ищем те корни этого уравнения, которые являются одновременно и корнями исходного уравнения, то эти корни должны удовлетворять уравнению, являющемуся их суммой, то есть уравнению При х ≥ – 1 получим уравнение х2 + 5х + 3 = х2 + 2х + 1 3х = – 2 верно) В данном случае необходимо сделать проверку, так как ни из чего не следует, что подкоренные выражения неотрицательны) Проверка. 1) - верно 2) – верно Ответ: . №3. Решить неравенство Решение. Возведем обе части неравенства в куб. Получим: Пусть . Тогда уравнение примет вид 6у2 + 12у + 18 > 0 у2 + 2у + 3 > 0 – верно при любых у, так как D = 1 – 3 = – 2 < 0, то есть трехчлен у2 + 2у + 3 не имеет действительных корней и а = 1, 1 > 0. Значит, может принимать любые действительные значения при любых действительных х. Решение неравенства можно получить гораздо быстрее: при любых действительных х, то есть , а значит, больше, чем – 2. Ответ: х – любое действительное число. №4. Решить неравенство Решение. Данное неравенство равносильно системе ; Решим второе неравенство системы . При х ≥ 2 оно равносильно неравенству . Его решением при х ≥ 2 являются значения х такие, что х  [3; + ∞). Решим третье неравенство системы . Одним из корней многочлена является число 2. Поэтому получим неравенство (х – 2)(х2 – 4х + 2) ≤ 0 (1) При х > 2 x – 2 > 0. Тогда получим неравенство х2 – 4х + 2 ≤ 0. Его решением при х > 2 будут значения х такие, что х  (2; ], а решением неравенства (1) будут: х = 2 и х  (2; ]. Тогда система принимает вид Ее решением будут значения х такие, что х = 2 и . Ответ: х = 2, . Пока учащиеся у доски готовятся к ответу, с классом (оставшимися учащимися) провожу фронтальную беседу по вопросам: Какие уравнения (неравенства) называются иррациональными? Их примеры. Что значит решить иррациональное уравнение (неравенство)? Что мы будем называть решениями уравнения (неравенства)? Перечислить основные методы решения иррациональных уравнений (неравенств) и устные упражнения: Решить уравнения: 1. Ответ: 3, так как сумма двух неотрицательных чисел равна 0, если каждое из них равно 0. 2. Ответ: корней нет, так как левая часть уравнения есть неотрицательное число. 3. Ответ: 0. 4. Ответ: 4, так как функция возрастает, а g(x) = 5 – х – убывает, значит, их графики пересекаются только в одной точке. 5. Ответ: 1. 6. Ответ: 3. 7. Ответ: – 1. 8. Ответ: корней нет, так как . 9. Ответ: 1. После этого заслушиваем ответы учащихся, работающих по карточкам и после ответа первого из них вызываю к доске ученика по карточке №5. №5. Решить уравнение Решение: Возведем обе части уравнения в куб. Получим: Заменим сумму выражением . Получим . . Возводим в куб обе части (2х + 1)(6х + 1)(2х – 1) = (– 2х – 1)3 (2х + 1)(6х + 1)(2х – 1) = –(2х + 1)3 (2х + 1)(6х + 1)(2х – 1) + (2х + 1)3 = 0 (2х + 1)((6х + 1)(2х – 1) + (2х + 1)2) = 0 2х + 1 = 0 или (6х + 1)(2х – 1) + (2х + 1)2 = 0 12х2 – 4х – 1 – 4х2 – 4х – 1 = 0 8х2 – 8х – 2 = 0 4х2 – 4х – 1 = 0 (2х – 1)2 = 0 2х – 1 = 0 Проверка. Если , то – верно. Если , то – неверно. Ответ: . Решение упражнений. Все учащиеся слушают и записывают решение уравнения на карточке №5. Уравнения: а) б) учащиеся решают самостоятельно, а затем комментируют их решение: Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную задачу, поэтому решение его целесообразно начать с возведения в квадрат обеих частей уравнения. х4 – х = 0 х(х3 – 1) = 0 х = 0 или х = 1 Проверка. Если х = 0, то . Так как не имеет смысла, то х = 0 не является корнем исходного уравнения. Если х = 1, то ; – верно. Ответ: 1. б) В этом уравнении нахождение ОДЗ приносит пользу. Итак, ОДЗ данного уравнения состоит из двух значений: х = 0 и х = 1. Проверка. Если х = 0, то – неверно. Если х = 1, то 0 + 0 = 1 – 1 – верно. Ответ: 1. Решить у доски: а) Решение: . Возведем в куб обе части уравнения. Получим при х ≥ – 1: . Возведем в квадрат х + 1 = 0 или х = – 1 Все найденные значения входят в ОДЗ уравнения. Проверка. Если х = – 1, то – ( – 2) = 2 – верно. Если х = 3, то 2 – 0 = 2 – верно. Если х = 35, то 6 – 4 = 2 – верно. Ответ: – 1; 3; 35. б) Решение: Данное уравнение равносильно системе Решим уравнение системы sin x = 0 или (так как при sin x = 0 второй множитель не теряет смысл) х = 2πn, nZ или Итак, Решениями системы будут такие значения х, что Ответ: . в) Решение: ОДЗ: х > 0. Пусть , тогда уравнение примет вид у2 – 2у < 0 у(у – 2) < 0 у(0; 2), то есть 1 < x < 81 (1; 81)(0; + ∞) Ответ: (1; 81). г) Решение: Найдем ОДЗ: 26 – 25х ≥ 0, 25х ≤ 26, х ≤ log2526 Рассмотрим два случая: 6 – 5х < 0, то есть 5х > 6, x > log56 = log2536. Но log2536 > log2526, значит, все значения х > log56 не входят в ОДЗ неравенства. 6 – 5х > 0. Тогда возведем обе части неравенства в квадрат. Получим: 26 – 25х > 36 – 12∙5x + 25x 2∙25х – 12∙5x + 10 < 0 52х –6∙5x + 5 < 0 1 < 5x <5 0 < x < 1 Итак, все значения х(0; 1) входят в ОДЗ, так как 1 = log2525 < log2526. Имеем систему . Ее решением являются значения х такие, что х(0; 1). Ответ: (0; 1). Далее подвожу итог урока и даю домашнее задание: Решить уравнения: а) б) 2) Решить неравенства: а) б) в) 3)* Найти красивое решение уравнения:

Похожие:

	«Иррациональные уравнения и неравенства» встречаются на егэ и на... Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, занимает значительную часть школьной программы математики. Одна из сложных тем...		Урока календарно-тематическое планирование Умение различат иррациональные уравнения; решать разными способами иррациональные уравнения
	Урок 1-2 Изучение темы: «Степенная функция. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства.»		Тема: «Рациональные и иррациональные уравнения, неравенства и системы» Элективный курс профильного обучения посвящен одному из традиционных разделов элементарной математики: решению рациональных и иррациональных...
	Урок. Содержит фактический материал по теме «Иррациональные уравнения» Урок иссследования, комбинированный урок. Содержит фактический материал по теме «Иррациональные уравнения». План решения, самооценка...		Учебные и образовательные программы на cd и dvd дисках Математика. Часть Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические уравнения и неравенства. Прогрессия, планиметрия,...
	Урок. Тема: «Иррациональные уравнения» Цель: закрепить умение решать уравнения; способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении уравнений;...		Разработка урока по алгебре и началам анализа по теме «Иррациональные...
	Элективный курс Уравнения и неравенства с параметрами (10 класс,... Элективный курс для 10 класса «Уравнения и неравенства с параметрами.» рассчитан на 32 часа		Конспект урока Тема урока: Числовые неравенства. Их запись. Сравнение... Тема и номер урока в теме: Числовые неравенства. Их запись. Сравнение чисел. Урок №1
	Конспект урока в 10-м классе по теме: "Уравнения и неравенства, содержащие модуль" Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №23		Рабочая программа элективного учебного предмета «Уравнения и неравенства.... Рабочая программа по элективному учебному предмету составлена на основе авторской программы элективного учебного предмета «Уравнения...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: формировать понятие «Иррациональные уравнения» и умения решать их основным способом		План урока тема урока: Квадратные уравнения (обобщающий урок) Цель урока: Обобщить знания учащихся по данной теме, сформировать алгоритм учебного действия с изученными понятиями, обратить внимание...
	Уроку сообщает, что сегодня проводится заключительный урок по теме «Иррациональные неравенства» Основное содержание учебного материалаДеятельность учителяДеятельность учащихся		1. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (6 ч) Представление... Курс рассчитан на учащихся 11 классов общеобразовательной школы и предполагает совершенствование подготовки школьников по освоению...