Н. П. Огарёва В. Д. Бочкарева Алгебра в примерах и задачах
Скачать 71.4 Kb.
|
| МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва» В. Д. Бочкарева Алгебра в примерах и задачах. Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены Задача 45. Указать системы показателей и степень следующих одночленов от  неизвестных:
Решение.
Задача 46. Указать компоненты многочлена  .Решение.
Задача 47. Записать многочлен  лексографически. Решение. Одночлен  считается выше (старше) одночлена  , если существует такой номер  , ( ) для которого  ,  ,  . Выбираем из всех одночленов многочлена  самый высокий член:  . Из оставшихся членов – тоже самый высокий член:  , из оставшихся –  , затем –  , затем –  . В итоге запишем многочлен в порядке убывания высоты членов: .Задача 48. В многочлене  выделить переменную  .Решение. Для решения поставленной задачи надо сгруппировать одночлены, имеющие одинаковые степени и в каждой такой группе за скобки вынести соответствующую степень :   .В полученной записи многочлен представляет собой многочлен от одного неизвестного над кольцом  .Задача 49. Является ли многочлен  симметрическим?Решение. Многочлен является симметрическим, если он допускает все  подстановок своих неизвестных. Запишем эти подстановки:
Осуществим подстановку  :  – подстановка допускается многочленом . Осуществим подстановку  : - подстановка не допускается многочленом , то есть многочлен не является симметрическим.Основная теорема. Всякий симметрический многочлен  над полем  может быть представлен над этим полем в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов  , где:
причем это представление единственное. Для однородного симметрического многочлена |
,
.
,
.
,
.
,
.
.
(однородная компонента степени 6),
(однородная компонента степени 4),
(однородная компонента степени 3).
,
,
,
,
,
.
,
равна 
. Тогда строим дополнительные многочлены 
с той же степенью однородности, симметрические.
. Это система неотрицательных целых чисел, удовлетворяющих условиям
.
высшего члена строим многочлен 
.
таких, что
.
строим дополнительный многочлен с неопределенным коэффициентом:
.
.
надо задать неизвестным 
столько вариантов заданий (без соблюдения симметричности), сколько имеется неопределенных коэффициентов 
. Его система показателей: 
. Тогда дополнительный многочлен
.
.
.
.
.  |  |  |  |  |  |  |  |
| 1 | 1 | 0 | 2 | 2 | 1 | 0 |  |
| 1 | 1 | 1 | 3 | 3 | 3 | 1 |  |
Тогда, учитывая, что
, имеем:
или 
, то есть 
.Следовательно,
.Задача 51. Выразить через элементарные симметрические многочлены многочлен
.Решение. Раскрыв скобки, представим многочлен
в виде суммы однородных многочленов:
.Каждую однородную компоненту представляем в виде многочлена от элементарных симметрических функций:
Следовательно,
.Задача 52. Найти сумму кубов корней многочлена
.Решение. Многочлен от одного неизвестного третьей степени с вещественными коэффициентами в поле комплексных чисел имеет в точности три корня
. Требуется найти 
. Рассмотрим многочлен 
– это однородный симметрический многочлен со степенью однородности 3. Его можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических функций 
, 
, 
.Тогда
, где 
, 
, 
можно найти по формулам Виета.
, 
,
.Следовательно,
.Выражение степенных сумм через элементарные
симметрические многочлены
Степенными суммами называются симметрические многочлены
.С элементарными симметрическими многочленами они связаны формулами Ньютона:
.В этих формулах можно последовательно находить выражения
через 
(или наоборот).Задача 53. Выразить симметрический многочлен
через элементарные симметрические многочлены.
Решение. Многочлен
представляет собой степенную сумму, для которой 
, то есть 
. Используем первую формулу Ньютона:
; 
,
.Следовательно,
.ЛИТЕРАТУРА
Бочкарева В.Д. Алгебра. Саранск: СВМО, 2002. – 40 с.
Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960 – 376 с.
Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1974. – 160 с.
Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. Ч.1. М.: Просвещение, 1982. – 79 с.
Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1978. – 144 с.
Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980. – 176с.
Виноградов И.А. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. – 168 с.
Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. М.: Просвещение, 1969. – 276 с.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. – 495 с.
Куликов Л.Я Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959. – 431 с.
Окунев Л.Я. Высшая алгебра. Ч.2. Методические указания. М.: Изд-во МГУ, 1965. – 40 с.
Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964. – 183 с.
Практические занятия по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1986. – 302 с.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1962. – 332 с.
Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. – 416 с.
Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977. – 228 с.
Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1982. – 223 с.
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Н. П. Огарёва В. Д. Бочкарева Математика для студентов географических направлений Обращение к названиям создает ассоциации, необходимые для более глубокого понимания событий и фактов, активизирует интерес к родным... | | Руководство по борьбе с компьютерными преступлениями. М.: Мир, 1999.... Абламская Л. В., Киселев В. В. Методы математического программирования в построении и анализе экономико-математических моделей. –... |
 | Урок №28 Семья Авторы Бочкарева Татьяна Равильевна, учитель мбоу «Чернореченская сош» Бочкарева Татьяна Равильевна, учитель мбоу «Чернореченская сош» Оренбургского района | | Задачи: На конкретных примерах познакомить учащихся с важнейшими... ... |
| Рабочая программа по алгебре (120 часов) для учащихся 7 класса А. Г. Мордковича по алгебре к учебнику «Алгебра 7 класс»: Программы. Математика. 5 – 6 классы. Алгебра. 7 – 9 классы. Алгебра и начала... | | Учебник по физике. Представлены разделы физики в теории, примерах... Открытого колледжа" "Физика". Включает прекрасно иллюстрированный учебник "Открытая физика 5" (все разделы, от Механики до Физики... |
| Рабочая программа «алгебра 8» «Алгебра, 8», авт. Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова, и др. – М.: Просвещение, 2010 | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Решаем задачи из учебника. Алгебра 9 класс» «Алгебра и начало анализа. Итоговая аттестация» |
| Дисциплины «математические методы в инженерных задачах» Кафедра математики Направление Математические методы в инженерных задачах – это прикладная математическая дисциплина, в которой изучаются, способствующая развитию... | | Алгебра Смотреть дополнительный файл «10а,б алгебра» Литература Чтение повести. Письменный ответ на вопрос «Какие черты русского национального характера воплотились в образе Ивана Флягина?» |
| Фролов евгений владимирович Рабочая программа элективных курсов по математике «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» в 10 классе... | | Мордкович А. Г. и др учебник алгебра 9, авт. Мордкович А. Г. Издательство Программа – для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев «Алгебра 8», авторы Мордкович А. Г. и др |
| Рабочая учебная программа дисциплины (модуля) Алгебра и геометрия Дисциплина «Алгебра и геометрия» входит в вариативную часть математического и естественнонаучного цикла подготовки бакалавра по направлению... | | Учебно-методический комплекс дисциплины Разработчики: Бочкарёва А.... Контрольный экземпляр находится на кафедре теории и методики профессионального образования |
| В. Д. Бочкарева Математика для студентов географических направлений Многие задачи естествознания своими моделями имеют системы линейных уравнений с несколькими неизвестными | | Конспект по теме: «Вещественный тип данных» А. Бурмистрова «Программы общеобразовательных учреждений: Алгебра, 7-9 классы». М. Просвещение, 2011. Планирование ориентировано... |
