Министерство Образования Чувашской Республики Ядринская национальная гимназия
Скачать 184.58 Kb.
|
Министерство Образования Чувашской Республики Ядринская национальная гимназия    Выполнили работу ученицы 11-б класса Горбунова Мария, Максимова Наталия. Руководитель: Казанбаева З.З. Ядрин-2004 Содержание:
Введение. Этот реферат посвящен одному из наиболее богатых идейно разделов школьной математики – задачам на отыскание наибольших и наименьших значений величин. Великий русский математик П.Л. Чебышев в своей работе «Черчение географических карт» писал, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды». С такими задачами приходится иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции, конструкторы хотят так спланировать прибор на космическом корабле, чтобы масса прибора была наименьшей, экономисты стараются спланировать прикрепление заводов к источникам сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными. Задачи такого рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от латинского optimum – наилучший). В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с величиной, зависящей от другой величины, и надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает свое наибольшее ил наименьшее (наилучшее в данных условиях) значение. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции можно разделить на несколько групп, которые мы рассматриваем в нашем реферате. Способ 1. Метод оценки. Нам часто приходится сталкиваться с такими задачами, которые решаются с помощью применения свойств ограниченности функции. К таким примерам можно отнести задачи, содержащие  Получив допустимые значения аргумента, оценить с помощью свойств неравенств соответствующие функции. Пример 1: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции  .Решение: Функция  изменяется от –1 до 1. Значит,  - от –3 до 3, из этого следует, что функция изменяется от –2 до 4. Получаем, что наименьшее значение функции равно –2, а наибольшее 4. Ответ:  .Рассмотрим более сложный пример, который часто встречается в ЕГЭ в части «В». Пример 2: Найдите наименьшее целое значение функции  .Решение: Подкоренное выражение  упростим, то получим, что   Получаем функцию  , из этого следует, что  .Ответ: наименьшее целое значение функции равно 3. Пример 3: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции  .Решение: Обратно тригонометрическая функция  изменяется в пределах .  Получаем, что  Ответ:  .Пример 4: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции  .Решение: Выполним следующие преобразования заданного выражения.  . Так как  , то числа  можно считать, соответственно косинусом и синусом некоторого вспомогательного угла  . Тогда получим  .Теперь уже ясно, что, поскольку  , наибольшим значением функции  является число  , и наименьшим  .Ответ:  .Способ 2. Метод применения свойств квадратичной функции . Нам известно, что функция  изменяется в пределах  , если a>0, и если a<0, то -  . Это помогает при решении задач, сводящихся к квадратичной функции.  Пример: Найдите наименьшее значение функции  .Решение: Так как –5<0, то наименьшее значение достигается в вершине параболы, то есть у=  .Ответ: y=81/20. Способ 3. Метод применения свойств непрерывной функции. Говорят, что функция y=f(x) возрастает на промежутке I, если для любых х1 и х2, принадлежащих I, из неравенства х1<х2 следует неравенство f(x1) Функция f(x) убывает на промежутке I там, где f(x)’>0 и возрастает, если f(x)’<0. Если знак производной меняется с + на -, то эта точка перехода является точкой максимума. И наоборот, если знак производной меняется с – на +, то эта точка перехода является точкой минимума. Пример 1: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции  на [-1;1].Решение: Функция  на отрезе [-1;1] возрастает, принимая значения от 3 (в точке x=-1) до 9 (в точке x=1). Функция же  убывает, причем, если t меняется от 3 до 9 (как у нас), то принимает значения от –1 до –2.Что касается функции  , то она тоже убывает на отрезке [-1;1], принимая на концах отрезка значения 1 и 0.Значит, на отрезке [-1;1] функция убывает, поэтому свое наибольшее значение принимает в левом конце отрезка при x=-1, а наименьшее – в правом конце отреза при x=1.Ответ:  .Пример 2: Найдите наибольшее значение функции  при  .Решение: Функция монотонно возрастает, значит, наибольшее значение функция принимает при x=3.Ответ:  .Пример 3: Найдите наименьшее значение функции  , где x>0.Решение: Воспользуемся известным неравенством Коши (  , где  и равенство достигается при a=b), получим  . Значит,  .Ответ: .Способ 4. Метод производной.
Наибольшим (наименьшим) значением функции f(x) на I называется такое число M (m), что существует x0  I такое, что f(x0)=M (f(x0)=m), M f(x) (m f(x)) для всех х на I.  Наибольшее и наименьшее значение на I функция может принимать либо на концах промежутка, либо в критических точках. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего на [a;b] значений функции, непрерывной на [a;b].
Пример:  при х [-1;3]Решение: Найдём значение функции на концах промежутка.  Найдём критические точки функции внутри промежутка (-1;3).  Найдём значение функции в критических точках.  Выберем наибольшее и наименьшее.  Если непрерывная функция имеет на промежутке I единственную точку экстремума и этот экстремум максимум (минимум), то в этой точке достигается наибольшее (наименьшее) значение функции. Пример:  Решение: Найдём значение функции на концах промежутка.  Найдём критические точки функции внутри промежутка.   При к=0 х удовлетворяет условию. Найдём значение функции в критической точке.  Выберем наибольшее и наименьшее.  В условиях многих задач явно не формируется, что требуется найти наибольшее и наименьшее значения. К таким задачам, например, относятся задачи, связанные с нахождением множества значений функций. Пример: Найти образ данного промежутка [-1;3] при отображении, заданной функцией  .Решение: Чтобы найти образ данного промежутка, нужно найти множество значений функции f(x) для  , которое в силу непрерывности исходной функции представляет собой промежуток  . Таким образом, исходная задача сводится к задаче на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на промежутке [-1;3].Критические точки находятся из уравнения  . Следовательно, образом промежутка [-1;3] при отображении, заданном исходной функцией, будет промежуток [-8;72].
Нужно выяснить, как ведет себя функция y=f(x) при приближении аргумента x к концам промежутка. Иными словами нужно вычислить  эти значения заменят нам значения функции на концах промежутка и, в сравнении со значениями функции в критических точках, лежащих внутри рассматриваемого промежутка, позволят сделать правильные выводы о наличии у функции наибольшего или наименьшего значений на рассматриваемом промежутке. Пример: Найти наименьшее и наибольшее (если они есть) значения функции  на интервале (0;8).Решение:
Сравнивая значения в критических точках (7 и –25) с пределами функции на концах промежутка (0 и 56), делаем вывод:  .Способ 5. Метод непосредственных вычислений. В случае, когда область определения содержит лишь несколько значений аргумента или может быть записана с помощью конечного числа формул (например, для тригонометрических функций), множество значений функции находят путём непосредственного вычисления всех возможных значений. Затем делают вывод. Пример 1: Найдите набольшее и наименьшее значение функции  .Решение: Запишем данную функцию в виде  и найдем D(y): . Значит, функция определена при одном значении x и y(3)=7. Таким образом, наименьшее и наибольшее значения равны 7Ответ:  .Пример 2: Найдите набольшее и наименьшее значение функции  .Решение: Найдем  :  .Область определения функции содержит лишь числа вида  . Вычислим значения функции при  . Учитывая, что  , имеем По формуле половинного аргумента  . Тогда  Для чисел вида подвижный радиус может занимать одно из шести положений. Но в этих положениях cosa принимает лишь значения 1, 1/2, -1/2, -1. Тогда множество значений состоит из чисел 0; 0,25; 0,75; 1. Отсюда делаем вывод, что наименьшее значение равно 0,25; а наибольшее – 1.Ответ:  .Способ 6. Метод приведения к уравнению относительно x с параметром y. Возможна следующая схема применения этого метода:
Пример 1: Найдите экстремумы функции  .Решение: D(y)=R. Рассмотрим равенство как уравнение относительно х с параметром у. Так как  , то данное уравнение равносильно уравнению  , или 
В ответе получаем, что наименьшее значение равно 0, а наибольшее – 4/3. Ответ: 0, 4/3. Способ 7.Графический метод. Если функция у=f(x) не является непрерывной на промежутке (а;b), то для отыскания ее наибольшего и наименьшего значений на этом промежутке часто поступают так: строят график функции и делают все необходимые выводы по графику. Впрочем, этот метод вполне реализуем и для непрерывных функций, но поскольку, как правило, построить график сложнее, чем использовать алгоритмы, о которых мы говорили выше, для непрерывных функций обычно предпочитают работу по указанным алгоритмам. Пример 1: Найдите наименьшее значение функции  , где aРешение: Чтобы построить график, есть смысл задать функцию так, чтобы не было знаков модулей. Для этого необходимо рассмотреть аналитическое выражение функции в каждом из следующих четырех возможных случаев:
Заданную функцию можно переписать в следующем виде:   Изобразив графи этой функции, делаем вполне очевидный вывод: у наименьшее достигается при х=b и равняется с-а. Пример 2: Найдите наименьшее значение функции  .Решение: 1. Разобьем функцию на элементарные функции.  2    . Построим графики функций.  3. Составим таблицу монотонности
4. Строим эскиз графика функции. По рисунку получаем, что у наименьшее не существует.  Задачи на оптимизацию. В этом приложении к реферату мы говорим о задачах, в которых требуется найти наибольшее и наименьшее значение какой-либо величины. Мы предлагаем вам при решении задач на оптимизацию придерживаться следующего плана:
Пример: Куб пересекается плоскостью, проходящей через одну из его диагоналей. Докажем, что наименьшую площадь имеет то сечение, которое образует с плоскостью основания угол  .Решение: Оптимизируемая величина S – площадь сечения. Пусть ребро куба равно a , а  - некоторое сечение. Введём независимую переменную  . По смыслу задач ясно, что  - это реальные границы изменения х.     Выразим площадь сечения через x и a. Отметим, прежде всего, что в сечении получается параллелограмм, так как линии пересечения двух параллельных плоскостей с третьей плоскостью параллельны между собой. Площадь параллелограмма можно найти по формуле   . Из треугольника B1C1K находим:  , и из треугольника DKC находим:  . Из треугольника по теореме косинусов получаем  , то есть   откуда после ряда преобразований получаем .Тогда  .В итоге получаем   .Надо найти наименьшее значение функции  на [0;a]. Имеем  .Точек, где  не существует, в данном случае нет, так как знаменатель производной нигде не обращается в нуль: по условию a>x, тогда a2>ax и тем более  , то есть  .Чтобы найти наименьшее значение функции, осталось вычислить значение функции S(x) на концах отрезка [0;a] и сравнить их со значением функции в точке . Имеем  . Наименьшее значение функции S(x) равно  . Оно достигается при .В задаче требуется доказать, что угол, который наименьшее по площади сечение образует с плоскостью основания, равен . Для доказательства этого факта воспользуемся формулой  , где - угол между плоскостями сечения и основания. Имеем  , откуда находим:  , то есть  .Пример: Бревно длиной 20 дм имеет форму усеченного конуса с диаметрами оснований 2 и 1 дм. Требуется вырубить из бревна брус с квадратным поперечным сечением, ось которого был бы наибольшим. Решение: Оптимизируемая величина V – объем бруса, то есть объем прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. В осевом сечении конуса, которое одновременно является диагональным сечением прямоугольного параллелепипеда, получим равнобокую трапецию, в которую вписан прямоугольник. Обозначим буквой x высоту параллелепипеда, то есть высоту прямоугольника в осевом сечении: KM=x. Реальные границы изменения x:  Найдем объем V прямоугольного параллелепипеда. Отрезок FK представляет собой диагональ основания параллелепипеда. Найдем FK. Имеем FK=EM=AD-2MD=2-2MD. Проведем CL  AD. Тогда LD=AD-AL=1-0,5=0,5 дм. Так как треугольники KMD и CLD подобны, то  , то есть  , откуда находим:  , и, значит, FK=2--2MD=2-  . Площадь квадрата, служащего основанием прямоугольного параллелепипеда, можно найти по формуле  , где d –диагональ основания, то есть d=FK. Значит,  . Поскольку высота параллелепипеда равна x, то для объема получаем следующий результат:V= .Для функции V=  надо найти наибольшее значение на промежутке (0;20].Имеем  . =0 при x=40 или при x= . Значение x=40 не принадлежит рассмотренному промежутку. Осталось сравнить между собой значение функции V(x) в точке , 20 и предел функции при  . Имеем  ,  . Наибольшим из этих трех чисел является число  , поэтому наибольшее значение функции равно .Интерпретируем полученный результат для этой задачи. Чтобы вырубить из бревна брус наибольшего объема, нужно удалить верхнюю часть бревна так, чтобы осталось бревно высотой 13  дм, а затем из полученного бревна вырубить брус с квадратным поперечным сечением.Для проверки своих знаний предлагаем выполнить тест на эту туму. Тест. Найдите наибольшие значения функций А1.  , 
А2.  , 
А3.  , 
А4. 
А5.  , 
А6. Найдите наименьшее значение функции 
А7.  , 
А8. Найдите точки минимума функции  ,
А9. Найдите наименьшее значение функции 
А10. Найдите множество, на который отображает луч  производная функции  А11. Найдите образ промежутка [0;0,5] при отображении, заданном производной функции 
В1. Из всех равнобедренных треугольников с постоянной длиной медианы, проведенной к боковой стороне, найти треугольник с наибольшей площадью. Чему равен угол при вершине такого треугольника? В2.Найти набольшее и наименьшее значение функции  , на отрезке  В3. Найти наименьшее значение a, при котором уравнение  имеет на промежутке  хотя бы одно решение.В4. Найдите наибольшее значение функции  В5. Число 18 представить в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. С1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  , С2. Около шара радиуса r описана правильная четырехугольная пирамида. Найдем наименьшее значение площади ее боковой поверхности. Ответы.А1 - 2 В1 |
существует при любых x, найдем точки, в которых f(x)=0. Имеем 
, откуда 
. Обе точки принадлежат заданному интервалу.
. Рекомендуем использовать следующую запись:
имеет корень.
1, то квадратное уравнение имеет корни и только тогда, когда его дискриминант D не меньше нуля, то есть, когда 
. Итак, следует рассмотреть такие значения у, которые удовлетворяют системе: 
.
значит, 
, и получаем 
, значит, 
, значит, 
, значит, 
С1 
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Ядринская районная администрация Чувашской Республики Муниципальное образовательное учреждение «Хочашевская оош» Ядринского района... |  | 1 вариант. I. Союз, связывающий части сложного предложения Разработала учитель русского языка и литературы ргоу «Ядринская национальная гимназия-интернат» Алексеева Ирина Владимировна0 |
| Постановление Кабинета министров чувашской республики о региональной... «О мерах по созданию межотраслевой комплексной геоинформационной системы Чувашской Республики», в целях формирования инфраструктуры... | | Семинар по теме «Работа с текстом. Составление сочинения-рассуждения»... Разработала учитель русского языка и литературы ргоу «Ядринская национальная гимназия-интернат» Алексеева Ирина Владимировна0 |
| Чувашской Республики «асхт» Бюджетное образовательное учреждение Чувашской Республики среднего профессионального образования «Алатырский сельскохозяйственный... | | Доклад «об осуществлении регионального государственного контроля... Министерство экономического развития, промышленности и торговли чувашской республики |
| Министерство юстиции чувашской республики приказ Российской Федерации", Законом Чувашской Республики "О государственной гражданской службе Чувашской Республики" и Указом Президента... | | Программа экологического кружка «Окно в природу» по мбоу «Чувашско... Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики отдел образования и молодёжной политики администрации Аликовского... |
| Публичный доклад директора автономного учреждения Чувашской Республики... Онального образования «Профессиональное училище №28 г. Мариинский Посад» Министерства образования и молодежной политики Чувашской... | | Инфраструктура: влияние на экономический рост и пространственные экстерналии «О мерах по созданию межотраслевой комплексной геоинформационной системы Чувашской Республики», в целях формирования инфраструктуры... |
| Удк 514. 48 : 371. 3 История и развитие начертательной геометрии «О мерах по созданию межотраслевой комплексной геоинформационной системы Чувашской Республики», в целях формирования инфраструктуры... | | Коряковцева И. В.,учитель русского языка и литературы моу сош №30... Разработала учитель русского языка и литературы ргоу «Ядринская национальная гимназия-интернат» Алексеева Ирина Владимировна0 |
| Положение о проведении регионального этапа Учредители и организаторы уфпс республики Коми филиал фгуп «Почта России» и Министерство образования Республики Коми. Содействие... | | Чувашской республики-чувашии Министерства образования и молодежной политики Чувашской Республики, г. Чебоксары к Управлению Федеральной антимонопольной службы... |
| Государственный образовательный стандарт высшего профессионального... На основании статьи 35 Закона Республики Беларусь от 20 июля 2007 года "Об обращении с отходами" Министерство природных ресурсов... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Автономное учреждение Чувашской Республики среднего профессионального образования «Канашский педагогический колледж» Министерства... |
