Учебное пособие по математике «математический анализ в схемах» ( для учеников 11-х классов)

Учебное пособие по математике «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В СХЕМАХ» (для учеников 11-х классов) Г. Каменск-Шахтинский 2012г. Автор: __________________ Мазуренко Н. И., учитель первой категории Пояснительная записка Данное учебное пособие ставит, прежде всего, своей целью оказать помощь учителю при изложении материала ученикам, которые изучают дисциплину «Алгебра и начала анализа», и в частности раздел «Математический анализ». Схемы помогают и ученикам в организации их самостоятельной работы по овладению системы знаний, умений и навыков в объеме действующей программы. Конспекты учащихся, таким образом, имеют определения, общие формулы, схемы, которые предназначены усилить внимание на главных понятиях, их последовательном размещении и связях. Такие опорные конспекты помогают учащимся провести логические связи между основными понятиями через всю тему, что, конечно, помогает учащимся при подготовки к контрольной работе, сдаче ЕГЭ. Учебное пособие «Математический анализ в схемах» может быть использован как при изложении нового материала, то есть на уроках ознакомления с новым материалом, так и на практических, при решении задач, а также при актуализации опорных знаний учащихся в начале урока. Список схем Тема: « Дифференциальное исчисление» Схема №1. Понятие функции. Способы задания, классификация и свойства функций. Схема №2.Предел функции. Замечательные пределы. Схема №3. Производная функции. Правила и формулы дифференцирования. Схема №4. Геометрический, физический и экономический смысл производной. Схема №5.Дифференциал функции, его геометрический смысл. Таблица дифференциалов. Схема №6. Монотонность функции. Экстремумы функции. Схема №7. Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба. Схема №8. Схема исследования функции. Тема: « Интегральное исчисление» Схема №9. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Схема №10. Таблица интегралов. Схема №11. Методы интегрирования. Схема №12. Понятие определенного интеграла. Схема №13. Геометрический смысл определенного интеграла. Схема №14. Применение определенного интеграла. Задания к домашней контрольной работе учащихся (вариант определяется согласно порядковому номеру ученика в журнале) Схема №1 Понятие функции. Способы задания, классификация и свойства функций. Если задано правило, по которому каждому значению ставится в соответствие единственное значение , то говорят, что задана функция, и записывают: словесный табличный Область определения – множество значений переменной , при которых функция имеет смысл Область значений функции – множество значений, которые принимает функция Функция Называется четной (нечетной), если для любых значений из области определения выполняется равенство: () Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Функции, возрастающие и убывающие называются монотонными. Функция называется периодической с периодом , если для любого из области определения . Свойства функции Классификация функций Способы задания функции Алгебраические Трансцендентные 1. Целая рациональная функция. 2. Дробно-рациональная функция. 3. Иррациональная функция. 1.Показательная функция 2.Логарифмичес-кая функция. 3.Тригономет-рические функции. 4.Обратные тригонометрические функции. графический аналитический Схема №2 Предел функции. Замечательные пределы. Предел функции Число А называется пределом функции при х, стремящемся к , если для любого сколь угодно малого положительного числа , найдется такая окрестность точки , что для любых х из этой окрестности выполняется равенство Число А называется пределом функции при х, стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно малого положительного числа , найдется такая окрестность, что для всех х из этой окрестности выполняется равенство: Теоремы о пределах Теорема 1. Если функция имеет предел, то он единственный. Теорема 2. Пусть. Тогда: 1. 2. 3. Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела. , где k – const. Теорема 4. Предел постоянной величины, равен самой величине. Замечательные пределы Первый замечательный предел Второй замечательный предел Схема №3 Производная функции. Правила и формулы дифференцирования Производной функции у точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , где приращение аргумента стремится к нулю, а предел функции существует. Обозначение: , где с- const. , где с const. Правила дифференцирования Формулы дифференцирования Элементарных функций Сложных функций Производной второго порядка Называется производная от производной первого порядка. Обозначения: Схема №4 Геометрический, физический и экономический смысл производной Геометрический смысл Производная является угловым коэффициентом касательной (тангенс кута наклона), проведенной к графику функции в точке с абсциссой . Где - координаты точки касания; - производная функции в точке Физический смысл первой производной Производная пути по времени является скоростью точки в момент времени , где v – скорость материальной точки Экономический смысл производной Пусть затраты производства однородной продукции заданы функцией . Заметим, что количеству продукции соответствуют затраты производства продукции . Итак, дифференциальное отношение, которое характеризует средний прирост затрат производства, имеет вид: . Оно характеризует прирост затрат производства на единицу приращения количества продукции. Предел - называется предельными затратами производства. Физический смысл второй производной Вторая производная пути по времени является ускорением точки в момент времени , где а – ускорение материальной точки Схема №5 Дифференциал функции, его геометрический смысл. Таблица дифференциалов. Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть приращения функции. Обозначения: Правила нахождения дифференциалов Геометрический смысл дифференциала Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной от точки к точке . 0 Формулы нахождения дифференциалов Схема №6 Монотонность функции. Экстремумы функции Промежутки монотонности – это интервалы возрастания и убывания функции. Возрастающая функция Если выполняется неравенство: Убывающая функция Если выполняется неравенство: Достаточное условие монотонности Если производная дифференцированной функции положительна (отрицательна) в середине некоторого промежутка Х, то вона возрастает (убывает) на этом промежутке: ; . Экстремумы функции Это точки максимума и минимума функции Точка локального максимума 0 Точка называется точкой строгого локального максимума функции , если для всех из некоторой - окрестности точки выполняется неравенство: . Точка локального минимума 0 Точка называется точкой строгого локального минимума функции , если для всех из некоторой - окрестности точки выполняется неравенство: . Достаточное условие строгого экстремума Пусть функция дифференцированная, и ее критическая точка. Тогда если при переходе аргумента через точку производная изменяет знак с плюса на минус, то точка является точкой локального максимума функции , если с минуса на плюс – точкой локального минимума, если при переходе через точку знак производной не изменяется, то в точке локального экстремума нет. Критические точки - Точки, в которых производная равна 0 или не существует. Схема №7 Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба График функции называется выпуклым в точке х0, если существует такая окрестность этой точки, что для всех х, которые принадлежат этой окрестности, график функции размещается ниже от касательной к графику функции в точке х0. График функции называется вогнутым в точке х0, если существует такая окрестность этой точки, что для всех х, которые принадлежат этой окрестности, график функции размещается выше от касательной к графику функции в точке х0. Достаточное условие выпуклости (вогнутости) Пусть функция в точке х0 имеет непрерывную вторую производную. Тогда: Если то график функции является вогнутым в точке х0; Если то график функции является выпуклым в точке х0; Точкой перегиба непрерывной функции называется точка, которая делит интервалы, в которых функция имеет выпуклость и вогнутость. 0 х Достаточное условие точки перегиба Если при переходе через критическую точку вторая производная изменяет свой знак, то график функции имеет точку перегиба с координатами Схема №8 Схема исследования функции 1. Найти область определения функции . Множество значений переменной х, при которых функция существует. 2. Проверить функцию на четность (нечетность). Условие четности функции: Условие нечетности функции: 3. Проверить функцию на периодичность. Условие периодичности функции: 4. Найти асимптоты функции. Прямая называется асимптотою к кривой , если расстояние от точки М, которая движется по прямой , к прямой стремится к нулю, когда . Число а может быть как конечным, так и бесконечным. Виды асимптот: вертикальная асимптота - пряма , если наклонная асимптота - прямая , если 5. Найти нули функции. Нули функции – это точки, в которых график функции пересекает ось абсцисс и ось ординат. То есть нужно решить уравнения: 6. Найти интервалы монотонности функции, точки экстремума. Найти Приравнять производную к нулю и найти критические точки: Нанести критические точки на числовую прямую и разделить ее на промежутки. Исследовать знак производной на каждом промежутке. Сделать вывод относительно монотонности функции согласно достаточному условию монотонности. Сделать вывод относительно экстремумов функции согласно достаточному условию экстремума функции. Вычислить значения функции в экстремальных точках. 7. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) функции, точки перегиба. 1. Найти 2. Приравнять вторую производную к нулю и найти критические точки: 3.Нанести критические точки на числовую прямую и разделить ее на интервалы. Исследовать знак второй производной на каждом интервале. 4. Сделать вывод относительно выпуклости (вогнутости) функции согласно достаточному условию выпуклости (вогнутости). 5. Сделать вывод относительно точек перегиба функции согласно достаточного условию точки перегиба. Вычислить значения функции в точках перегиба.. 8. Построить график функции, используя полученные результаты в пунктах 1-7. 9. Найти область значений функции по графику функции - множество значений Схема №9 Понятие первообразной и неопределенного интеграла Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если для каждого х є Х выполняется равенство: . Пример: Дана первообразная F(x) = х2. Найти ее функцию. F(x) = х2 является первообразной для функции f(x) = 2х на промежутке (-; ), т. о. х є R. ; (х2)´ = 2х. Совокупность всех первообразных F(x) +С функции f(x) на рассмотренном промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом: . При этом: функция f(x) называется подынтегральной функцией, f (x)dx – подынтегральное выражение, переменная х – переменной интегрирования. Основные свойства неопределенного интеграла: ; ; ; ; . Схема №10 Таблица интегралов Схема №11 Методы интегрирования Методы интегрирования:

Похожие:

	Учебно-тематические планы лекционных занятий по дисциплине «Математика»... Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. Лекции и практикум: Учебное пособие / Под...		Экзаменационные вопросы по математике для студентов 2 курса гф дистанционно-заочной... Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. Лекции и практикум: Учебное пособие / Под...
	Конспект лекций по высшей математике М, Айрис,2005 Беклемишева Л.... Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. Лекции и практикум: Учебное пособие / Под...		Примерная программа наименование дисциплины Математический анализ Цели и задачи дисциплины: ознакомление с фундаментальными методами дифференциального и интегрального исчислений. Математический анализ...
	Бюллетень новых поступлений за I квартал 2013 года Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. Лекции и практикум: Учебное пособие / Под...		Учебное пособие для обучения монологу на английском языке в шестом классе Ярославль, 2013 Учебное пособие предназначено для учащихся 6-ых классов моу сош №4 г. Ярославля и представляет собой сборник упражнений по обучению...
	Учебное пособие Тамбов 2002 г. Авторы составители: Кузьмина Н. В,... Учебное пособие «Создание Web-сайтов» предназначено для слушателей курсов повышения квалификации на базе Тамбовского рц фио по программе...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Учебное пособие «Опорные конспекты лекций в схемах и таблицах по дисциплине «Русский язык и культура речи» составлено в соответствии...
	Внеклассное мероприятие по математике А арифметика б алгебра в математический анализ г теория чисел 3 Какие бывают современные фотоаппараты?		Литература по математике (алгебра, геометрия, математический анализ,... Математика on line. В помощь студенту. Основные математические формулы по алгебре, геометрии, тригонометрии, высшей математике, исторические...
	Учебное пособие для учеников «Основы светской этики» Цель: дать представление о нравственных понятиях «альтруизм» и «эгоизм», показать их противоположность		Психология Учебное пособие Учебное пособие предназначено для студентов заочного отделения и обучающихся в сокращенные сроки
	Рабочая программа учебного курса по математике для 6Б МОин РФ от 05. 03. 2004г. №1089), примерной программы для общеобразовательных учреждений по математике к умк для 5-6 классов (Математика....		Тематическое планирование факультатива «История мировых религий» в 10 классе 34 часа История религий: Учебное пособие для 10–11 классов общеобразовательных учреждений / Под ред. А. Н. Сахарова. – М.: Ооо «тид «Русское...
	Учебное пособие «Желтухи у новорожденных и детей раннего возраста» Учебное пособие предназначено для послевузовского образования врачей: педиатров и общей практике		Учебное пособие по политологии. Владикавказ: 2015 г Учебное пособие предназначено для студентов очной и заочной формы обучения направления "бакалавр", преподавателей, аспирантов