Условные вероятности и независимые события

Скачать 47.33 Kb.

Название	Условные вероятности и независимые события
Дата публикации	23.06.2014
Размер	47.33 Kb.
Тип	Задача

Урок 5

УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ

Условные вероятности

Если вероятность P(B)>0, то условной вероятностью P(A|B) события А при условии В называется отношение

Если обычная вероятность показывает, какую "долю" событие А составляет от достоверного события , то условная вероятность показывает, какую "долю" событие А (точнее общая часть А и В ) составляет от события В.

Условная вероятность обладает теми же свойствами, что и обычная вероятность, только для Р(А|В) роль достоверного события играет событие В. Таким образом условная вероятность соответствует ситуации, когда событие В уже произошло.
Задача 1. Один раз подбрасывается игральная кость. Найти вероятность того, что выпало число 2 при условии, что выпало четное число.

Решение. Пусть A = {выпало число 2}, B = {выпало четное число}.

I способ.

= {выпало число 2}. Очевидно, P(B) = 3/6 = 1/2, P(

) = 1/6. Следовательно,

II способ. Так как событие B произошло, то множество равновероятных элементарных исходов Ω = {число 2, число 4, число 6}, а {число 2} – исход, благоприятный событию A|B. Поэтому, P(A|B) = 1/3.

Ответ. 1/3.

Независимость событий

События А и В называются независимыми, если

Для независимых событий Р(A|B) = Р(A), то есть условная вероятность равна обычной (безусловной) вероятности. Это равенство отражает наше обыденное представление о независимости событий.

Можно показать, что если события A и B независимы, то независимы события

и B, A и

.
Задача 2. При изготовлении изделия необходимо выполнить две операции. Вероятность появления брака при первой равна 0,01, а при второй – 0,02, причем появление брака при каждой из операции – независимые события. Найти вероятность того, что в итоге будет получено качественное изделие.

Решение. Рассмотрим события:

А = {брак не появился при первой операции}, Р(А) = 0,99;

В = {брак не появился при второй операции}, Р(В) = 0,98.

Изделие будет качественным, если брак не произойдет при обеих операциях , то есть при пересечении событий А и В:

= {получено качественное изделие}.

Так как событий А и В независимые, то

Ответ. 0,9702.
Система событий А₁, А₂,.., А_n называется независимой, если для любой ее подсистемы

выполняется равенство:

.

Так, например, система трех элементов А, В, С называется независимой, если выполняются четыре равенства:

Следует отметить, что попарная независимость событий не влечет независимости всей системы. Это можно проиллюстрировать на следующем примере.
Задача 3. Из четырех студентов студент S₁ владеет английским языком, студент S₂ – немецким, S₃ – французским, а S₄ – всеми этими тремя языками (полиглот). События: А = {выбранный наудачу студент владеет английским языком}, В = {выбранный наудачу студент владеет немецким языком}, С = {выбранный наудачу студент владеет французским языком}. Выяснить, зависимы или нет события А и В, A и С, B и C, события А, В, С в совокупности.

Решение. Число возможных равновероятных исходов при выборе студента 4: S₁, S₂, S₃, S₄. Имеем следующие благоприятные исходы для событий: А={S₁, S₄}, В={S₂, S₄}, С={S₃, S₄},

={S₄}.

Следовательно, события А, В, С попарно независимы, так как

но вся система А, В, С не является независимой, так как

Ответ. События А, В, С попарно независимы но вся система А, В, С не является независимой.
Задача 4. Релейная схема состоит из трех последовательно соединенных элементов. Выразить событие A = {отказ схемы} через события A_i= {отказ i-ого элемента} (i = 1, 2, 3) и найти вероятность события A при условии, что отказы отдельных элементов независимы, а вероятность отказа элемента с номером i равна p_i.

Решение. Так как событие A_i – отказ элемента с номером i, то

– противоположное событие, состоящее в том, что элемент с номером i работает. Заметим, что схема не работает при условии, что не работает хотя бы один элемент, и работает при условии, что работают все три элемента, поэтому

. Так как система событий A_i независимая, то

.

Ответ. , P(A) = 1 – (1 – p₁) (1 – p₂) (1 – p₃).
Задача 5. Релейная схема состоит из трех параллельно соединенных элементов. Выразить событие A = {отказ схемы} через события A_i= {отказ i-ого элемента} (i = 1, 2, 3) и найти вероятность события A при условии, что отказы отдельных элементов независимы, а вероятность отказа элемента с номером i равна p_i.

Решение. Будем пользоваться теми же обозначениями, что и в предыдущей задаче. Заметим, что схема. не работает при условии, что не работают все элементы, и работает при условии, что работает хотя бы один элемент, поэтому

. Так как система событий A_i независимая, то

.

Ответ.

, P(A) = p₁p₂p₃.
Задача 6. Релейная схема состоит из пяти элементов. Найти вероятность события В = {схема работает}, при условии, что отказы отдельных элементов независимы, а вероятность отказа элемента с номером i равна .

Решение. Разобьем нашу схему на блоки I₁, I₂, I₃ .

Введем обозначения: событие B_j= {блок I_j работает} (j = 1, 2, 3), q_i = 1 – p_i – вероятность работы элемента с номером i. Так как блоки I₁и I₂ соединены последовательно, то схема работает, если работают оба блока, то есть на языке событий:

. В силу независимости отказов отдельных элементов события В₁ и В₂ также независимы, поэтому P(B) = P(B₁)∙P(B₂). В блоке I₁ элементы 1 и 2 соединены параллельно, поэтому блок I₁ откажет, если откажут оба элемента 1 и 2, то есть P(B₁) = 1 – p₁p₂. аналогично, блок I₂ откажет, если откажут блок I₃ и элемент 5, то есть

; в свою очередь I₃ откажет, если откажет хотя бы один из элементов 3 или 4, то есть

. Следовательно, P(B) = (1 – p₁p₂)(1 – (1 – q₃q₄)p₅).

Ответ. P(B) = (1 – p₁p₂)(1 – (1 – q₃q₄)p₅).

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

	Урок 5. Формула полной вероятности События В1,В2ˌˌˌˌВn – несовместимы и образуют полную группу. Событие а может наступить при условии появления одного из Вi. Известны...		5 Закон распределения Пуассона. Биномиальный закон распределения случайной дискретной величины Основные понятия теории вероятностей. Различные определения вероятности события
	Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая статистика... Математическая статистика и теория вероятности [Текст]: рабочая учебная программа. Тюмень: гаоу впо то «тгамэуп». 2013. – 22 с		Установление хронологической последовательности Установите в хронологической последовательности события. Запишите цифры, которыми обозначены события, в правильной последовательности...
	Феноменология иммунного ответа на т-независимые антигены 2-го типа... В этом плане явились мероприятия, проведенные в 9-11 классах «Нет – наркотикам», «Мы за здоровый образ жизни» с приглашением мед...		Феноменология иммунного ответа на т-независимые антигены 2-го типа Защита состоится 17 мая 2012г в 12 часов на заседании диссертационного совета д 001. 035. 01 при фгбу «ниивс им. И. И. Мечникова»...
	Основные понятия теории вероятности: Определение Фундаментальное и прикладное значение нейропсихологии для медицины, психологии, педагогики и дефектологии. Нейропсихология индивидуальных...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Жертвам, принесли значительный экономический, политический и социальный ущерб стране, представляли прямую угрозу здоровью людей,...
	1 Аудит учета, отчетности и использования основных средств Аудит имеет уже достаточно большую историю. Первые независимые аудиторы появились еще в XIX веке в акционерных компаниях Европы....		Лингвистика Грызина О. В. Варианты оценки фразеологизмов с семой вероятности Дроботун А. В Тема: «Физиологическое взросление и его влияние на формирование познавательных и личностных качеств ребёнка»
	Вероятностный подход к определению количества информации Сформировать у учащихся понимание вероятности, равновероятных событий и событий с различными вероятностями		Приказ от 28. 10. 2009г. №500 п. Парфино Об итогах районного историко-... Отечеству; формирования чувств ответственности за сохранение и развитие российской государственности 23 октября 2009 года в центре...
	Тема: «Вложенные условные операторы» Задача. Записать условие, которое является истинным, когда точка с координатами X, y попадает в заштрихованную область		Предисловие 7 Условные обозначения места хранения издания: 8 У05 Управление экономикой. Экономическая статистика. Учет. Аудит. Экономический анализ. Планирование. Прогнозирование 25
	Тема урока «Смысловые отношения между предложениями и последовательность предложений в тексте» Обучать соблюдать порядок следования предложений в тексте, обосновывать смысловые отношения от предложения к предложению, различать...		Тюменский государственный университет «утверждаю»: Проректор по учебной работе Новые независимые государства Центральной Азии в международных отношениях: Учебно-методический комплекс. Рабочая учебная программа...

Школьные материалы