ТЕМА УРОКА. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК.
Цели урока:
Образовательные: повторение и закрепление учебного материала, коррекция, углубление, расширение знаний по теме «Показательная функция, ее свойства и график», включение в активную познавательную деятельность.
Развивающие: развитие графической культуры, математической речи, формирование алгоритма рефлексивного мышления.
Воспитательные: воспитание активности, самостоятельности, толерантности.
Ход урока.
Некоторые наиболее часто
встречающиеся виды трансцендентных
функций, прежде всего показательные,
открывают доступ ко многим
исследованиям.
Л.Эйлер.
1. Самоопределение к деятельности, стимулирующее начало.
- Здравствуйте, ребята! Поразительна быстрота, с которой размножаются животные и растения, если они попадают в благоприятные условия, т.е. почти не имеют естественных врагов и находят вдоволь пищи. Достаточно было выпустить в Австралии на волю пару кроликов (раньше они там не водились), чтобы через некоторое время их потомство стало национальным бедствием. А когда один южноамериканский ученый выпустил несколько экземпляров выведенного им гибрида африканских и местных пчел, рои новой породы стали занимать одну территорию за другой, распространились по всей Южной Америке и сейчас почти полностью вытеснили ранее существовавшие там виды пчел.
? Неужели это все связано с математикой? Причем здесь показательная функция? На эти и другие вопросы мы узнаем ответ в течение урока.
-Вспомните, чем мы занимались на прошлом уроке. Чему мы научились?
- Вы хорошо работали на прошлых уроках, но вы можете сказать, что у вас, у всех все получалось, вы не допускали ошибок при выполнении заданий? (Нет)
-Сегодня мы продолжим работать с показательной функцией, исследовать ее свойства, применять их для сравнения выражений, учиться строить более сложные графики показательной функции (графики с модулем), узнаем о применении показательной функции в физике, биологии, экономике и других областях. Если кто-то из вас будет допускать ошибки, ваша задача: найти эти ошибки, понять, почему вы их допустили, и исправить их.
-Для успешной работы на уроке повторим основные понятия и алгоритмы, которые мы сегодня будем использовать.
2. Актуализация знаний, локализация затруднений.
Учебный диалог.
Расширение понятия какой функции привело к появлению показательной функции? (степенной функции)
Какая функция называется показательной?
Назовите область определения и множество значений функции  .
Укажите промежутки монотонности функции при а>1, при 0 < а <1.
Устная работа.
Какие из перечисленных функций являются показательными:
у = 2х ; у = х ; у = (-5)х ; у = πх ; у = (2х-7)2 ?
Какие из показательных функций являются возрастающими, а какие убывающими:
 ;  ;  ;  ?
Есть ли среди всех значений функции у = 3х наибольшее?
Сравните значения выражений:
 ;  ; 
Укажите график функции у = 0,5х ; у = 2х
Какие затруднения были при выполнении заданий? Каковы их причины?
3. Включение в систему знаний (отработка имеющихся умений и формирование новых)
Задание 1. Построить графики функций (работа в парах на месте и два ученика у доски работают на откидных досках)
1 вариант у = 2х ; у = 2х+1 ; у = 2х +1
2 вариант  ;  ; 
1 вариант
|
2 вариант
|
Функция
|
График
|
Функция
|
График
|
у = 2х
|
|
|
|
у = 2х+1
|
|
|
|
у = 2х +1
|
|
|
|
По окончании работы проверка правильности построения графиков и обобщение результатов.
- Что произошло с графиками функций?
- Укажите множество значений функций.
- Укажите точку пересечения каждой функции с осью ординат.
- Какой сдвиг испытают графики функций у = 2х-1 ; у = 2х -1 вдоль осей координат ?
Задание 2. Построим график функции у = 2 ׀х׀ (учитель показывает на доске решение)
П о определению модуля
 у = 2х , если х ≥ 0
2 ׀х׀ =
у = 2 -х , если х < 0
Задание 3. (Групповая работа с последующей самопроверкой по образцу) Построить графики функций
1 и 3 группы: у = 3 ׀х׀ ; у = 3 ׀х-2׀ ; у = ׀3х - 2 ׀
1б. 2б. 3б.
2 и 4 группы :  ;  ; 
1б. 2б. 3б.
 
у   = ׀3х - 2׀
4. Расширение информационного поля учащихся, установление межпредметных связей.
Применение показательной функции.
Рост народонаселения. Изменение числа людей в стране на небольшом отрезке времени описывается формулой  , где N0 - число людей в момент времени t=0, N – число людей в момент времени t, a – константа.
Диагностика заболеваний. При диагностике почечных болезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по показательному закону.
Барометрическая формула. При постоянной температуре давление воздуха убывает с убыванием высоты над уровнем моря по закону
 , где p0 – давление на уровне моря (h =0), p – давление на высоте h, H - константа, зависящая от температуры воздуха.
Формула разрядки конденсатора. Если начальное напряжение на конденсаторе равно U0, то конденсатор будет разряжаться по закону
 , где t – время, в течение которого разряжается конденсатор, R – сопротивление, C – электроемкость конденсатора.
Радиоактивный распад.
После открытия радиоактивности в опытах Беккереля и супругов Кюри возник вопрос, по какому закону происходит распад атомов? Оказалось, что количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имеющемуся количеству вещества.
Физики назвали промежуток времени, в течение которого распадается половина всех имеющихся атомов, периодом полураспада данного вещества. Этот период различен для разных веществ: для урана-238 он равен 4,5 млрд лет, для радия – 1620 лет, для полония – 84 года, для цезия-137 – 31 год, для иода-131 – 8 суток.
Например, за время равное 4,5∙109 лет при распаде урана-238 распадается половина от начального числа атомов, т.е. при увеличении времени на 4,5 миллиарда лет число атомов уменьшается в 2 раза.
З адание. Сделать аналитическую запись формулы радиоактивного распада, обозначив начальную массу вещества М. Изобразить схематически график функции.
О твет.  или 
За правильно записанную формулу и верно выполненный график по 0,5б.
0
Потери силы тока. При передаче электроэнергии по подводному кабелю потери в силе тока за счет утечки в воду пропорциональны длине кабеля.
Например, на каждом километре сила тока уменьшается на 0,5%. Тогда при увеличении расстояния от источника энергии на 1 км сила тока будет изменяться в отношении 1: 0,995
Задание. Сделать аналитическую запись формулы, выражающей зависимость силы тока от расстояния. Изобразить схематически график функции.
О твет. 
Органический рост
При искусственном выращивании каких-либо микроорганизмов (например, при разведении дрожжей или кефирных грибков на заводах, при изготовлении пенициллина, при выращивании в лаборатории какого-либо вида клеток для научных исследований), когда обеспечиваются особо благоприятные условия для жизни организмов (постоянная температура, наличие достаточного количества питательных веществ, «жизненное пространство» и т.д.), размножение клеток идет так, что за некоторый определенный промежуток времени (длина митотического цикла) каждая клетка делится на две дочерние клетки.
Поэтому за равные отрезки времени число клеток в колонии увеличивается в одном и том же отношении, рост колонии идет постепенно, причем, когда время увеличивается на длину митотического цикла, число клеток увеличивается в два раза
З адание. Сделать аналитическую запись формулы размножения клеток. Изобразить схематически график функции.
Ответ. 
Если однолетнее растение дает 100 семян и из них прорастает половина, то за каждый год, т.е. при увеличении времени на единицу, число растений увеличивается в 50 раз. (Конечно, в естественных условиях погибает большая часть растений, но в идеальных условиях, которые иногда возникают в природе или создаются искусственно человеком, рост числа особей идет именно так.)
Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения растений. Изобразить схематически график функции.
О твет. 
Рост вклада в банке.
Еще в древнем мире было широко распространено ростовщичество – отдача денег взаймы под проценты. Крестьянин, которого постиг неурожай, ремесленник, имущество которого уничтожил пожар, разорившийся мелкий торговец были вынуждены идти к ростовщику, обещая вернуть на следующий год сумму, значительно большую, чем взятая в долг.
В XIV-XV веках в Западной Европе появляются банки – учреждения, которые давали деньги в рост князьям и купцам, финансировали за большие проценты дальние путешествия и завоевательные походы. Чтобы облегчить расчеты сложных процентов, взимаемых по займам, составили таблицы, по которым сразу можно было узнать, какую сумму надо было уплатить через п лет, если была взята взаймы сумма а по р% годовых.
Эта сумма выражается формулой:
Иными словами, такие таблицы давали значения показательной функции.
Пример. Банк выплачивает вкладчикам проценты по вкладам в размере 4% в год, т.е. за каждый год вклад увеличивается в 1,04 раза.
Задание. Сделать аналитическую запись формулы, выражающей зависимость величины вклада от времени. Изобразить схематически график функции.
О твет. 
За каждую правильно записанную формулу и верно изображенный график ученики получают по 0,5 балла.
5. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу, (контроль знаний и умений).
Предлагается тестовое задание и самостоятельная работа дифференцированного характера с правом выбора вида работы.
ТЕСТ.
Вариант 1.
1б.1. Какие из перечисленных функций являются показательными:
а) у=2х б) (-3)х в) у=х г) у = π х
1б.2.Какая функция является возрастающей?
а) у=0,2х б) у=3х в)  г) у=2-х
1б.3. Найдите область значения функции у = 3х - 6
а) (- ∞; +∞) б) (0; +∞) ; в) [-6; +∞) г) ( -6; +∞)
1б.4. Определите наибольшее из чисел.
а)  б)  в) 1 г) 
1б.5. При каком значении а график функции у = ах проходит через точку Р (1;2)
а) 1 б) 2 в)  г) 
-----------------------------------------------------------------------
3б.6. Построй график функции у = 3х +׀х׀
Вариант 2.
1б.1. Какие из перечисленных функций являются показательными:
а) у=х2 б) у =()х в) у =(х-2)3 г) у = 3 –х
1б.2. Какая функция является убывающей?
а) у=0,2-х б) у=3х в) г) у=22х
1б.3. Найдите область значения функции у = 2х + 2
а) (- ∞; +∞) б) (2; +∞) ; в) (-2; +∞) г) ( 0; +∞)
1б.4. Определите наименьшее из чисел.
а)  б)  в)  г) 1
1б.5. При каком значении а график функции у= ах проходит через точку М (2;9)
а) 3 б) 2 в)  г) 4,5
------------------------------------------------------------------
3б.6. Построй график функции у = 2х -׀х׀
Коды правильных ответов.
1 вариант.
№ задания
|
1 1б.
|
2 1б.
|
3 1б.
|
4 1б.
|
5 1б.
|
Ответ
|
а, г
|
б
|
г
|
в
|
б
|
2 вариант.
№ задания
|
1 1б.
|
2 1б.
|
3 1б.
|
4 1б.
|
5 1б.
|
Ответ
|
б, г
|
в
|
б
|
г
|
а
|
у = 3х +׀х׀ 3б. у = 2х –׀х׀
 3б.
Самостоятельная работа.
Вариант 1.
2б.1. Сравните с единицей:
а)  б)  в)  г) 
1б.2. Сравните значения выражений:
а)  б) 
1б.3. Сравните х и у, если известно, что верно неравенство:
а)  б) 
1б.4. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций f и g , если:
а) f (х) = 2х , g(х) = 2 б) f (х) =  , g (х) =
----------------------------------------------------------------
3б.5. Построй график функции: у = 2- 3х
Вариант 2.
2б.1. Сравните с единицей:
а)  б)  в)  г) 0,212
1б.2. Сравните значения выражений:
а)  б) 
1б.3. Сравните х и у, если известно, что верно неравенство:
а)  б) 
1б.4. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций f и g , если:
а) f (х) = 4х , g(х) = 42 б) f (х) =  , g (х) =
--------------------------------------------------------------
3б.5. Построй график функции: у = 3- 2х
Ответы :
Вариант 1.
2б.1. а) < 1 б) < 1 в) < 1 г) >1
1 б.2. а)  б) 
1б.3. Сравните х и у, если известно, что верно неравенство:
а)  б) 
1б.4. а) х=1 б) х=3
----------------------------------------------------------------
3б.5. у = 2- 3х
Вариант 2.
2 б.1. а)  б) <1 в) >1 г) 0,212<1
1б.2. а)  б) 
1б.3. а)х < у б) х < у
1б.4. а) х=2 б) х=4
--------------------------------------------------------------
3б.5. Построй график функции: у = 3- 2х
Критерии оценки за урок:
«3» - 7-10 баллов
«4» - 11-15 баллов
«5» - 16-19 баллов
ЛИСТ САМОКОНТРОЛЯ.
Фамилия, имя __________________________________________________
Вид задания
|
Групповая работа по построению графиков
|
Применение показательной функции
|
Самостоятельная работа
|
|
Итого баллов
|
Оценка
|
Количество баллов
|
|
|
|
|
|
6. Рефлексия. Подведение итогов.
Какой материал повторяли на уроке?
Что нового узнали?
С какими трудностями столкнулись на уроке?
Дайте оценку своей работы на уроке.
Что необходимо повторить для успешной работы на последующих уроках?
7. Домашнее задание.
Стандарт математического образования. Обязательный уровень усвоения.
Продвинутый уровень. №257(2), №263(3)
Список литературы.
Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобраз. учреждений/ Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.- М.: Просвещение, 2004.
Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклассного чтения IX-X кл. – М.: Просвещение, 1985.
Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе: Сб.статей / сост. Е.Г.Глаголева, О.С. Ивашев-Мусатов. – М.: Просвещение, 1980.
Панишева О.В. Применение показательной функции. Журнал «Математика в школе», №5 2001.
Удальцова А. Диктанты по алгебре и началам анализа. Газета «Математика» №2, 2005 с.21; №3, 2005 с.20
 |
