Рецензенты: кафедра математического моделирования экономических процессов

2.3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ (ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ) Решить игру - означает найти цену игры и оптимальные стратегии. Рассмотрение методов нахождения оптимальных сме­шанных стратегий для матричных игр начнем с простейшей игры, описываемой матрицей 2х2. Игры с седловой точкой специально рассматриваться не будут. Если получена седловая точка, то это означает, что имеются невыгодные стратегии, от которых следу­ет отказываться. При отсутствии седловой точки можно полу­чить две оптимальные смешанные стратегии. Как уже отмеча­лось, эти смешанные стратегии записываются так: Значит, имеется платежная матрица При этом откуда получаем оптимальные значения и : Зная и находим : Вычислив , находим и : Задача решена, так как найдены векторы и цена игры . Имея матрицу платежей А, можно решить задачу графически. При этом методе алгоритм решения весьма прост (рис. 2.1): 1. По оси абсцисс откладывается отрезок единичной длины. 2. По оси ординат откладываются выигрыши при стратегии А1. 3. На линии, параллельной оси ординат, в точке 1 отклады­ваются выигрыши при стратегии А2. 4. Концы отрезков обозначаются для a11 – b11, a12 – b21, a22 – b22, a21 – b12 и проводятся две прямые линии b11 b12 и b21 b22. 5. Определяется ордината точки пересечения с. Она равна . Абсцисса точки с равна р2 (р1 = 1 – р2). Рис. 2.1. Оптимальная смешанная стратегия Данный метод имеет достаточно широкую область приложе­ния. Это основано на общем свойстве игр тп, состоящем в том, что в любой игре тп каждый игрок имеет оптимальную сме­шанную стратегию, в которой число чистых стратегий не боль­ше, чем min(m,n). Из этого свойства можно получить известное следствие: в любой игре 2п и т2 каждая оптимальная страте­гия и содержит не более двух активных стратегий. Значит, любая игра 2n и т2 может быть сведена к игре 22. Следовательно, игры 2т и т2 можно решить графическим методом. Если матрица конечной игры имеет размерность тп, где т>2 и п>2, то для определения оптимальных смешанных стратегий, как будет показано в приложении, используется линейное програм­мирование. Рассмотрим некоторые практические задачи, в которых ис­пользуются критерии игр для оценки наиболее эффективного поведения оперирующей стороны. Задача 2.1. Выбрать оптимальный режим работы новой систе­мы ЭВМ, состоящей из двух ЭВМ типов А1 и А2. Известны выигрыши от внедрения каждого типа ЭВМ в зависимости от внешних условий, если сравнить со старой системой. При использовании ЭВМ .типов А1 и А2 в зависимости от характера решаемых задач В1 и В2 (долговременные и краткос­рочные) будет разный эффект. Предполагается, что максималь­ный выигрыш соответствует наибольшему значению критерия эффекта от замены вычислительной техники старого поколения на ЭВМ А1 и А2. Итак, дана матрица игры (табл. 2.4), где А1, А2 - стратегии руководителя; В1, В2 - стратегии, отражающие характер решае­мых на ЭВМ задач. Таблица 2.4 Требуется найти оптимальную смешанную стратегию руково­дителя и гарантированный средний результат , т.е. определить, какую долю времени должны использоваться ЭВМ типов А1 и А2. Решение. Запишем условия в принятых индексах: а11 = 0,3; а12 = 0,8; а21 = 0,7; а22 = 0,4 . Определим нижнюю и верхнюю цены игры: 1 = 0,3; 2 = 0,4;  = 0,4; 1 = 0,7; 2 = 0,8;  = 0,7. Получаем игру без седловой точки, так как Максиминная стратегия руководителя вычислительного цен­тра – А2. Для этой стратегии гарантированный выигрыш равен  = 0,4 (40 %) по сравнению со старой системой. Решение для определения , р1 и р2 проведем графически (рис. 2.2). Рис. 2.2. Графическая интерпретация алгоритма решения Алгоритм решения: 1. По оси абсцисс отложим отрезок единичной длины. 2. По оси ординат отложим выигрыши при стратегии А1. 3. На вертикали в точке 1 отложим выигрыши при стратегии А2. 4. Проводим прямую b11 b12, соединяющую точки а11,a21. 5. Проводим прямую b21b22, соединяющую точки а12, а22. 6. Определяем ординату точки пересечения с линий b11b12 и b21b22. Она равна . 7. Определим абсциссу точки пересечения с. Она равна р2, а р1=1–р2 Выпишем решение и представим оптимальную стратегию игры: Вывод. При установке новой системы ЭВМ, если неизвес­тны условия решения задач заказчика, на работу ЭВМ А1 долж­но приходиться 37,5 % времени, а на работу ЭВМ А2 - 62,5 %. При этом выигрыш составит 55 % по сравнению с предыдущей системой ЭВМ.

Похожие:

	Математическое моделирование экономических систем «Основы математического моделирования экономических систем» должно способствовать развитию у студентов более глубокого понимания...		Рефератов Метод математического моделирования экономических процессов и явлений Сравнительная характеристика двух исторических этапов развития экономико-математических исследований — математической школы в политэкономии...
	Учебно-методический комплекс дисциплины Рецензенты: доктор экономических наук, профессор Лоскутов Владислав Иванович; кандидат физико-математических наук, зав кафедрой Математического...		Учебно-методический комплекс дисциплины «Методы математического моделирования» Контрольный экземпляр находится на кафедре информатики, математического и компьютерного моделирования шен двфу
	Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение... «Математические методы и модели в экономике» – освоение студентами поиска оптимальных решений задач оптимизации, методов математического...		Эконометрика Кафедра математического моделирования Башкирского государственного университета, заведующий кафедрой доктор физико-математических...
	Программа вступительных испытаний по направлению подготовки научно-педагогических... «Информационные системы и процессы» разработана профессорско-преподавательским составом кафедры компьютерного и математического моделирования,...		Урока по теме: «Применение производной» ...
	Рабочая программа по дисциплине «Электромагнитные приводы мехатронных систем» Методы исследования и моделирования процессов в электромеханических преобразователях энергии (кафедра эм)		Реферат №1 На тему: «История развития экономико-математического моделирования» Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая...
	Рабочая программа по дисциплине «Техническая диагностика электромеханических устройств и систем» Методы исследования и моделирования процессов в электромеханических преобразователях энергии (кафедра эм)		Кафедра прикладной социологии Количественные и качественные методы в прогнозировании социально-экономических процессов
	«Исследование операций и методы оптимизации» Теоретическая и практическая подготовка в области общенаучных исследований количественной стороны массовых социально-экономических...		Докладе описаны ключевые моменты математического моделирования устройств... В докладе описаны ключевые моменты математического моделирования устройств компенсации реактивной мощности на базе igbt-ключей с...
	Овместное использование функционального и имитационного моделирования... Ого моделирования, обеспечивающая повышение результативности разработки различных этапов жизненного цикла сложной технической системы....		Исследование социально-экономических и политических процессов для... Тема I: Методологический характер дисциплины «Исследование социально-экономических и политических процессов»