Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №55 с углублённым изучением отдельных предметов имени Александра Невского»
Конспект
урока по математике
в профильном (экономическом) 11 классе
по теме «Применение интегрального исчисления к решению прикладных задач в экономике»
учитель математики
высшей квалификационной
категории Постоева О. А..
Курск, 2011 г.
Тема урока: «Применение интегрального исчисления к решению прикладных задач в экономике»
Цели:
Образовательные:
расширить представления учащихся о применении интеграла, его роли в экономике и современной жизни, а также закрепить, углубить и обобщить имеющиеся знания и умения с помощью решения различных экономических задач.
Развивающие:
способствовать выявлению и развитию математических способностей школьников, повышению уровня математических знаний учащихся и экономической грамотности.
Воспитательные:
способствовать формированию навыков самостоятельной деятельности школьников, их интеллектуальной и познавательной культуры.
Оборудование:
таблица интегралов;
карточки с заданиями домашней работы, самостоятельной работы;
компьютер, проектор, экран, презентация (приложение).
Время: 2часа
Ход урока
Организационный этап. Мотивация учебной деятельности.(слайды1-3)
Здравствуйте, ребята! Кроме здоровья я желаю вам быть активными, внимательными, наблюдательными и помните: вы - самые способные ученики. Присаживайтесь, пожалуйста. Мы начинаем наш урок.
Этап актуализации опорных знаний, умений.
Сегодняшний урок посвящён новым для вас математическим открытиям. Но, прежде чем узнавать что-то новое, нужно повторить опорные, известные вам знания, поэтому объявляем рубрику «Я уже знаю».
Интеграл
F(x)
S кривол. трапеции
Таблица первообразных
Правила вычисления первообразной
Свойства
первообразной
С каким важным понятием в алгебре мы работали на предыдущих уроках? (интеграл) (слайд 4) Что вам известно об этом понятии? (формируется кластер знаний) (слайд 5)
Открытий сделано много, запас знаний по теме большой, скоро подводить итог по теме. Давайте вначале повторим теоретические базовые знания, разгадав кроссворд. (слайд 6)
Кроссворд
2. Что является графиком функции у = ах+b?
3. Самая низкая школьная оценка.
4. Какой урок обычно проходит перед зачётом?
5. Синоним слова дюжина?
6. Есть в каждом слове, у растения и может быть у уравнения.
7. Что можно вычислить при помощи интеграла?
8. Одно из важнейших понятий математики.
9. Форма урока, на котором проводится проверка знаний.
10.Немецкий ученый, в честь которого названа формула,
связывающая площадь криволинейной трапеции и интеграл.
11. Множество точек плоскости с координатами (x, f(x)), где х пробегает область определения функции f.
12.Соответствие между множествами Х и Y, при котором каждому значению множества Х поставлено в соответствие единственное значение из множества Y, носит название ....
1. Как называется функция F(x)?
Ответы: 1. Первообразная. 2. Прямая. 3. Единица. 4. Контроль. 5. Двенадцать. 6. Корень. 7. Площадь. 8. Интеграл. 9. Зачет. 10. Лейбниц. 11. График. 12. Функция.
Молодцы, теоретический багаж ваших знаний по теме «Интеграл» достаточно велик. Давайте теперь посмотрим, как вы умеете применить его на практике. Объявляем рубрику «Найди ошибку». (слайд 7)
Проверить верны ли равенства. (слайд 8 )
а)  ; б)  ; в)  ;
г)  ;
д)  ;
Объявляем рубрику «Сам себе режиссёр». (слайд 9 )
Найти первообразные для функций:
а) f(x) =10х
б) f(x) = х²
в) f(x) =-sin(2x)
г) f(x) = 5cosx
д) f(x) = 6х²
е) f(x) = 3
Найти с помощью интеграла площадь фигуры изображенной на рисунке. (слайд 10 )
3. Этап проверки знаний. Самостоятельная работа.
Учащимся раздаются карточки для самостоятельной работы.
1) Формула Ньютона – Лейбница:
|
1) Формула Ньютона – Лейбница:
|
2) 
|
2)
|
3)  4) 
|
3) 4)
|
5) 
|
5)
|
6) Если функция четная, то 
|
6) Если функция четная, то
|
7) Если функция нечетная, то
|
7) Если функция нечетная, то
|
1. 
|
1.
|
1.
|
1.
|
2. 
|
2.
|
2.
|
2.
|
3. 
|
3.
|
3.
|
3.
|
4. 
|
4. 
|
4.
|
4.
|
5. 
|
5. 
|
5.
|
5.
|
6. 
|
6. 
|
6.
|
6.
|
7. 
|
7. 
|
7.
|
7.
|
8. 
|
8. 
|
8.
|
8.
|
9.
|
9.
|
  
 
 
 
Задания с ответами.
1) Формула Ньютона – Лейбница:
|
      
|
2) 
|
3)  4) 
|
5) 
|
6) Если функция четная, то 
|
7) Если функция нечетная, то 
|
11) Таблица первообразных
|
9. 
|
1. 
|
1.
|
2. 
|
2.
|
3. 
|
3.
|
4. 
|
4. 
|
5. 
|
5. 
|
6. 
|
6. 
|
7. 
|
7. 
|
8. 
|
8. 
|
4. Физминутка.
Представьте, что вы – красивый и стройный знак интеграла. Потянитесь руками к вашему верхнему пределу интегрирования, вдох. Плавно, через стороны, опускаем руки вниз и тянемся к нижнему пределу интегрирования, выдох. А теперь показываем, как широко понятие интеграла, руки в стороны, вдох. Исходное положение, выдох. Движения повторяем.
5. Этап актуализации новых знаний.
Определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Он является мощным средством исследования в математике, физике и других дисциплинах.
Приведите примеры практического применения интеграла в математике. (слайд 11)
Приведите примеры практического применения интеграла в физике. (слайд 12)
6. Постановка темы и цели урока.
А хотите узнать, чем может быть полезен определенный интеграл в вашей будущей профессии? Да? Тогда запишите новую тему урока «Применение интегрального исчисления к решению прикладных задач в экономике». (слайд 13)
7. Изучение нового материала с помощью интеграции экономики с математикой.
Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике. Интегральное исчисление в экономике используют для прогнозирования материальных затрат, нахождения потребительского излишка (разница между той денежной суммой, за которую производитель был бы готов продать 100 единиц товара, и той суммой, которую он реально получает при продаже этого количества товара), определения объема выпуска продукции, определения экономической эффективности капитальных вложений (задача дисконтирования). И это далеко не полный список приложений интегрального исчисления в экономике.
► Прогнозирование материальных затрат. (слайд 14-15)
При прогнозировании материальных затрат часто возникает необходимость вычисления площадей сложных фигур. Приведем соответствующий пример, для решения которого используется определенный интеграл.
Задача. Палуба корабля напоминает две пересекающиеся параболы. Сколько необходимо краски для ее покрытия, если длина корабля 80 м, ширина в центре – 20 м, а на каждый квадратный метр необходимо 0,25 кг краски.
Решение. Введем систему координат следующим образом: начало координат поместим в центре корабля, а ось x вдоль палубы.
Чтобы найти площадь палубы, определим уравнение одной из парабол. Общее уравнение параболы имеет вид . Так как точки (-40;0), (40;0), (0;10) принадлежат параболе, то решением системы уравнений
 ,
являются следующие числа: а = - , b=0, с=10. Таким образом, уравнение искомой параболы имеет вид у = .
Площадь половинки палубы корабля равна
Для окраски половины палубы необходимо 0,25 S =  (кг) краски. Поэтому для покраски всей палубы потребуется
2∙0,25S = 2∙  266,7 (кг).
► Определения объема выпуска продукции. (слайд 16)
Задача. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией
f(t) = 3/(3t +1) + 4.
Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t1 до t2 будет выражаться формулой
В нашем случае
V = = ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4.
|
