Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 248.13 Kb.
|
1 2
► «Кривая Лоренца» и «коэффициент Джини» (слайды17-19)Интересной иллюстрацией возможности применения интегралов для анализа социально-экономического строения общества являются так называемые «кривая Лоренца» и «коэффициент Джини», показывающие, какая доля совокупного дохода приходится на каждую группу населения, что позволяет судить об уровне экономического неравенства в данной стране. Строится кривая Лоренца следующим образом: на оси абсцисс (горизонтальной) откладывается число всех семей, принятое за 100%, на оси ординат – величина их совокупных доходов, составляющая в сумме 100%. Затем число семей делится на 10 равных групп (децилей), вверх откладывается размер дохода каждой децильной группы. |
. (
)
| < 0.25 0.25–0.29 | 0.30–0.34 0.35–0.39 0.40–0.44 | 0.45–0.49 0.50–0.54 0.55–0.59 ≥ 0.60 | нет данных |
Можно придумать много аналогичных характеристик; например, для оценки распределения заработной платы в фирме или акций среди сотрудников и т.п. Соответствующие функции Джини наверняка будут довольно сложными и без интегралов не обойтись.
К сведению. Коррадо Джини (1884—1965) — итальянский экономист, статистик, социолог и демограф. Окончил Болонский университет. Являлся профессором университетов в Кальяри, Падуе и Риме. Основатель и первый директор Центрально го института статистики, президент итальянских Социологиче ского и Статистического обществ. Основным направлением исследований была статистика доходов.
Макс Лоренц (1876—1959) — американский экономист и статистик. Долгое время преподавал экономику. С 1907 по 1911 гг. член комиссии департамента по статистике промышленности и труда, агент Американского бюро перепи сей. С 1911 г. — действительный член Государственной ком мерческой комиссии, а с 1917 по 1944 г. — начальник бюро при этой комиссии. Основным направлением исследований была статистика доходов. Получил широкую известность благодаря тому, что дал графическую интерпретацию неравенства в рас пределении дохода в обществе (кривая Лоренца).
8. Гимнастика для глаз. (слайды 20-21)
9. Изучение нового материала с помощью интеграции экономики с математикой (продолжение)(слайды 22-31)
► Нахождение потребительского излишка и излишка производителя.
В жизни понятие спроса и предложения тесно взаимосвязаны. Ведь, чтобы заключить сделку, продавцу и покупателю необходимо договориться и о цене и о количестве товара, которые устраивали бы обоих. Таким образом, в результате взаимодействия спроса и предложения на рынке возникает ситуация рыночного равновесия – это совпадение интересов продавца и покупателя.
Вспомним несколько экономических понятий и обозначений.
Спрос на данный товар (D–demand) графически изображается в виде кривой с отрицательным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой P (price) единицы этого товара и количеством товара Q (quantity), которое потребители готовы купить при каждой заданной цене. Отрицательный наклон кривой спроса имеет очевидное объяснение: чем дороже товар, тем меньше количество товара, которое покупатели готовы купить, и наоборот.
Другое ключевое понятие экономической теории – предложение (S–supply) товара изображается графически в виде кривой с положительным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой единицы этого товара P и количеством товара Q, которое потребители готовы продать при каждой цене.
Отметим, что экономисты сочли удобным изображать аргумент (цену) по оси ординат, а зависимую переменную (количество товара) по оси абсцисс. Поэтому графики функций спроса и предложения выглядят следующим образом (рис. 1).
И, наконец, вспомним еще одно понятие, играющее большую роль в моделировании экономических процессов – рыночное равновесие (equilibrium). Состояние равновесия характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения, а графически рыночное равновесие изображается точкой пересечения кривых спроса и предложения (рис. 2), E*(p*; q*) – точка равновесия.
Перейдем теперь к рассмотрению приложений интегрального анализа для определения потребительского излишка.
Если покупатель приобретает товар в количестве Q* по равновесной цене P*, то очевидно, что общие расходы на покупку такого товара составят P*Q*, что равно площади заштрихованной фигуры A (рис. 4).
Но предположим теперь, что товар в количестве Q* продается продавцами не сразу, а поступает на рынок небольшими партиями ∆Q. Именно такое допущение вместе с предположением о непрерывности функции спроса и предложения является основным при выводе формулы для расчета потребительского излишка. Отметим, что данное допущение вполне оправдано, потому что такая схема реализации товара довольно распространена на практике и вытекает из цели продавца поддерживать цену на товар как можно выше.
Тогда получим, что сначала предлагается товар в количестве Q1 = ∆ Q (рис. 5), который продается по цене P1 = f(Q1). Так как по предположению величина ∆ Q мала, то можно считать, что вся первая партия товара реализуется по цене P1, при этом затраты покупателя на покупку такого количества товара составят P1 ∆Q, что соответствует площади заштрихованного прямоугольника S1 (рис. 5).
Далее на рынок поступает вторая партия товара в том же количестве, которая продается по цене P2 = f(Q2), где Q2 = Q1 + ∆ Q – общее количество реализованной продукции, а затраты покупателя на покупку второй партии составят P2 ∆Q, что соответствует площади прямоугольника S2.
Продолжим процесс до тех пор, пока не дойдем до равновесного количества товара Q* = Qn. Тогда становится ясно, какой должна быть величина ∆Q для того, чтобы процесс продажи товара закончился в точке Q*:
В результате получим, что цена n-й партии товара Pn = f(Qn) = f(Q*) = P*, а затраты потребителей на покупку этой последней партии товара составят Pn ∆Q, или площадь прямоугольника Sn. Таким образом, мы получим, что суммарные затраты потребителей при покупке товара мелкими партиями Q равны
Так как величина ∆Q очень мала, а функция f(Q) непрерывна, то заключаем, что
приблизительно равна площади фигуры B (рис. 6), которая, как известно, при малых приращениях аргумента ∆ Q равна определенному интегралу от обратной функции спроса при изменении аргумента от 0 до Q*, т. е. в итоге получим, что
Вспомнив, что каждая точка на кривой спроса Pi = f(Qi) (i = 1, 2, ..., k) показывает, какую сумму потребитель готов заплатить за покупку дополнительной единицы продукта, получим, что площадь фигуры B соответствует общей денежной сумме, которую потребитель готов потратить на покупку Q* единиц товара. Разность между площадью фигуры B и площадью прямоугольника A есть потребительский излишек при покупке данного товара – превышение общей стоимости, которую потребитель готов уплатить за все единицы товара, над его реальными расходами на их приобретение (площадь заштрихованной фигуры на рисунке 7
Таким образом, потребительский излишек можно посчитать по следующей формуле
Далее рассмотрим несколько задач на определение излишка потребителя.
Задача. Известно, что спрос на некоторый товар описывается функцией
а предложение данного товара характеризуется функцией q = 500p. Найдите величину излишка потребителя при покупке данного товара.Решение. Для расчета излишка потребителя сначала определим параметры рыночного равновесия (p*; q*). Для этого решим систему уравнений
Таким образом, p* = 2, q* = 1000.Запишем формулу для вычисления потребительского излишка (1), где f(q) – функция, обратная функции
Отсюда
Задача. Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией
предложение – функцией p = q + 11. Определите величину выигрыша потребителя при покупке данного товара.Решение. Выигрыш потребителя есть не что иное, как потребительский излишек. Для того, чтобы найти его, определим сначала равновесные значения количества товара и его цены, решив для этого систему
Решим первое уравнение системы.
(q + 1)(q + 11) = 231,
q2 + 12q – 220 = 0,
(q + 22)(q – 10) = 0.
Учитывая, что q = 0, получим q* = 10. Следовательно, p* = 10 + 11 = 21. Тогда
Подобно излишку потребителя определяется и излишек производителя (PS–producer surplus). Не вдаваясь в детали, отметим, что излишек производителя представляет собой разницу между той денежной суммой, за которую он был бы готов продать Q* единиц товара, и той суммой, которую он реально получает при продаже этого количества товара. Графически он может быть представлен площадью фигуры, ограниченной кривой предложения, осью цен и прямой, параллельной оси абсцисс, проходящей через точку рыночного равновесия (рис. 8).
Очевидно, что
(2)Рассмотрим, как полученная формула может быть применена при решении задач.
Задача. Известно, что кривая предложения некоторого товара имеет вид p = 4q3 + 2, а равновесие на рынке данного товара достигается при объеме продаж Q* = 3. Определите добавочную выгоду производителя при продаже такого количества продукции.
Решение. Сначала из функции предложения найдем равновесное значение цены P* = f(q*) = f(3) = 4*33 + 2 = 110.
Подставим полученное значение в формулу (2)
► Нахождение дисконтированной стоимости денежного потока. (слайд 32)
Еще одним примером приложения определенного интеграла является нахождение дисконтированной стоимости денежного потока.
Допустим вначале, что для каждого дискретного момента времени t = 1, 2, 3, ... задана величина денежного потока R((t). Если ставку процента обозначить через р, то дисконтированную стоимость каждой из величин R(1), R(2), R(3), ... найдем по известным формулам:
R(1)(1 + p)
, R(2)(1 + p)
, R(3)(1 + p)
, … .Тогда дисконтированную стоимость денежного потока найдем, суммируя эти величины:
П =
,где п - общее число периодов времени.
В непрерывной модели время изменяется непрерывно, т.е. для каждого момента времени 0 ≤ t ≤ Т, где [0, T] - рассматриваемый период времени, задана величина I(t) - скорость изменения денеж ного потока (т.е. величина денежного потока за промежуток времени от t до t + dt приближенно равна I(t)dt. Для получения ве личины П изменим формулу П =
.А именно, знак суммирования заменим на знак определенного интеграла, формулы вычисления дисконтированной стоимости в дискретном случае заменим на их непрерывный аналог, и тогда формула П = , примет следую щий вид:П =
.10. Обобщение новых знаний. (слайд 33)
11. Домашнее задание.(слайд 34)
Задача 1. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.
Задача 2. Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией p = 4 – q2, где q – количество товара (в шт.), p – цена единицы товара (в руб.), а равновесие на рынке данного товара достигается при p* = q* = 1. Определите величину потребительского излишка.
Задача 3. (для тех, кто не боится трудностей при изучении математики) Под строительство гидроэлектростанции задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t) = -t2 +20t +5 (млрд руб./год) в течение 20 лет с годовой процентной ставкой р = 5%. Найти дисконтированную стоимость этого потока.
Решение.
Задача 1. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.
Решение. Имеем:
V =
.Задача 2. Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией p = 4 – q2, где q – количество товара (в шт.), p – цена единицы товара (в руб.), а равновесие на рынке данного товара достигается при p* = q* = 1. Определите величину потребительского излишка.
Решение.
Задача 3. (для тех, кто не боится трудностей при изучении математики)
Под строительство гидроэлектростанции задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t) = -t2 +20t +5 (млрд руб./год) в течение 20 лет с годовой процентной ставкой р = 5%. Найти дисконтированную стоимость этого потока.
Решение. По формуле П =
имеемП =
.Чтобы вычислить этот интеграл, выполним сначала замену переменной:
s = -0,05t, t = -20s, dt = -20ds.
При этом новые пределы интегрирования получаются подстановкой старых пределов в формулу замены: s
= 0, s
= -1. ИмеемП = -20
(- 400s2 – 400s + 5)e
= 20 
(- 400s2 – 400s +5)eds.К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям, полагая и = -400s
- 400s + 5, dи = (-800s - 400)ds, dv = eds, v= е. ПоэтомуП = 20 ((-400s2 - 400s + 5)е
+ е(800s + 400)ds .В первом слагаемом подставим пределы интегрирования, а ко вто рому слагаемому еще раз применим формулу интегрирования по частям, полагая и = 800s + 400, dи = 800ds. Имеем
П = 20 (5 – 5e
+ (800s + 400)e
800eds) = = 20(5 - 5е - 1 +400 + (800 - 400)e - 1 - 800 + 800е - 1) =
= 20(1195е- 1 -395).
Окончательно получим П = 892 (млрд руб.).
11. Оценка результативности урока учителем.
Эти два часа были уроками приобретения новых знаний, хотя со многими математическими и экономическими понятиями вы были уже знакомы. Я рада, что вы были активны и внимательны. Надеюсь, что полученные знания и сегодняшний практический опыт помогут вам грамотно вести бизнес, быть успешными в жизни. Выставление оценок. Прошу вас подвести итоги нашего урока. Что понравилось? Какое впечатление об уроке? Какие рекомендации? Какое настроение?
12. Рефлексия результативности и настроения. (слайд 35)
Выводы (выводы делают учащиеся).
Обобщили имеющиеся знания по теме «Интеграл».
Проверили уровень умения применять теоретические знания при вычислении интегралов.
Получили новые знания в области применения интегрального исчисления.
Получили подтверждение о практической взаимосвязи изучаемых предметов – математики и экономики.
13. Заключительный этап урока. (слайд36)
Учитель читает стихотворение Петра Долженкова «Определенный интеграл».
Определенный интеграл,
Ты мне ночами начал сниться,
Когда тебя впервые брал,
Я ощутил твои границы.
И ограниченность твоя
Мне придавала больше силы.
С тобой бороться должен я,
Но должен победить красиво!
Какое счастие познал
Я в выборе первообразной,
Как долго я ее искал,
Как мне далась она не сразу.
Замен и подстановок ряд
Привел к решению задачи.
Ты побежден! Ты мною взят!
Да и могло ли быть иначе…
1 2
