6Образовательные технологии
При реализации учебной работы предполагается разбор практических задач в рамках теоретических и практических занятий.
7Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента 7.1Тематика заданий текущего контроля
Контр 1: Предел последовательности.
Контр 2: Предел функции.
Контр 3: Производные.
Контр 4: Исследование графиков функций.
Контр 5: Функции нескольких переменных
Контр 6: Неопределенный интеграл.
Контр 7: Приложения определенного интеграла.
Контр 8: Числовые и функциональные ряды.
Контр 9: Двойные интегралы.
Примерный перечень заданий контрольной работы №4:
Вариант 0
Исследовать поведение функции в окрестностях заданной точки с помощью производных высших порядков: 
Найти асимптоты функции: 
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке 
Найти предел функции:  .
Представить функцию  в виде многочлена третьей степени относительно х.
Проверить, выполняется ли теорема Ролля для функции  на отрезке [-8; -8] и, если выполняется, для каких значений с.
Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции  .
Найти экстремумы функции  .
Используя формулу Маклорена, вычислить предел  .
Провести полное исследование функции  и построить ее график.
7.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины Примерный перечень вопросов к коллоквиуму:
Определение множества, подмножества. Множество, ограниченное сверху (снизу), просто ограниченное.
Определение точной верхней (нижней) грани множества.
Определение простой, сложной, обратной функции.
Определение четной, нечетной и периодической функции.
Определение возрастающей, убывающей, строго монотонной функции в точке, на отрезке  .
Способы задания функции.
Определение последовательности.
Определение последовательности, ограниченной сверху (снизу), просто ограниченной.
Определение бесконечно большой (б.б.) последовательности (бесконечный предел).
Определение бесконечно малой (б.м.) последовательности (нулевой предел).
Доказать теорему о сумме двух б.м. последовательностей.
Доказать теорему о разности двух б.м. последовательностей.
Доказать теорему об ограниченности двух б.м. последовательностей.
Доказать теорему о произведении б.м. на ограниченную последовательность.
Доказать теорему о переходе б.м. в б.б. последовательность и наоборот.
Определение сходящейся последовательности (конечный предел).
Доказать основную теорему о сходящейся последовательности.
Доказать теорему о единственности предела сходящейся последовательности.
Доказать теорему об ограниченности сходящейся последовательности.
Доказать теорему об арифметических действиях со сходящимися последовательностями.
Достаточные условия отсутствия предела последовательности.
Определение расходящейся последовательности.
Доказать отсутствие предела последовательности  ,  ,  ,  .
Определение возрастающей, убывающей, строго монотонной последовательности.
Определение невозрастающей, неубывающей, монотонной последовательности.
Доказать теорему о сходимости монотонной ограниченной последовательности.
Теорема о сходимости последовательности  .
Доказать теорему о пределе промежуточной последовательности.
Определение конечного и бесконечного пределов функции в точке.
Достаточные условия отсутствия предела функции.
Найти предел функции  ,  при  .
Определение б.м. и б.б. функции в точке.
Определение б.м. функций одного порядка.
Определение эквивалентных б.м. функций.
Определение б.м. функции более высокого порядка малости.
Свойства значка  .
Определение б.б. функций одного порядка роста.
Определение б.б. функции более высокого порядка роста.
Доказать первую теорему о существовании предела функции в точке.
Теорема об арифметических действиях с пределами функций.
Определение односторонних (правого и левого) пределов функции в точке.
Вторая теорема о существовании предела функции в точке.
Доказать теорему об арифметических действиях с непрерывными функциями.
Доказать первый замечательный предел.
Доказать второй замечательный предел.
Таблица эквивалентных функций.
Первое и второе определения непрерывной функции в точке.
Исследовать на непрерывность функцию  ,  ,  ,  ,  при  .
Исследовать на непрерывность функцию  при  .
Определение односторонней (левой и правой) непрерывности функции в точке.
Теорема о непрерывности функции в точке.
Классификация точек разрыва функции.
Исследовать на непрерывность функцию  ,  ,  ,  ,  ,  в точке  .
Доказать теорему о непрерывности сложной функции в точке.
Определение производной функции. Её геометрический и физический смысл.
Уравнение касательной и нормали к графику функции.
Определение дифференцируемой функции
Доказать теорему о дифференцируемости функции.
Доказать теорему о непрерывности дифференцируемой функции.
Определение дифференциала функции.
Доказать теорему о производной суммы и разности двух функций.
Доказать теорему о производной произведения двух функций.
Доказать теорему о производной частного двух функций.
Исходя из определения, найти производную функции  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,   ,
Таблица производных элементарных функций.
Доказать теорему о производной сложной функции.
Доказать теорему о производной обратной функции.
Исходя из теоремы о производной обратной функции, найти производную функции  ,  ,  ,  .
Определение параметрически заданной функции.
Первая производная параметрически заданной функции.
Односторонние (левая и правая) производные функции в точке.
Теорема о существовании производной функции в точке.
Найти производную функции  ,  ,  в точке  .
Доказать инвариантность формы первого дифференциала.
Свойства первых дифференциалов.
Таблица первых дифференциалов.
Определение возрастающей, убывающей, строго монотонной функции в точке.
Доказать теорему о достаточных условиях монотонности дифференцируемой функции в точке.
Определение точек локального максимума, минимума, экстремума функции.
Доказать теорему Ферма (о необходимых условиях экстремума дифференцируемой функции).
Определение стационарной точки дифференцируемой функции.
Доказать теорему Ролля (о нуле производной).
Доказать теорему Лагранжа (формула конечных приращений).
Доказать теорему Коши (обобщенная формула конечных приращений).
Правило Лопиталя.
Формула Тейлора.
Написать первые три ненулевых члена ряда Тейлора функции  ,  в точке  .
Формула Маклорена.
Написать первые три ненулевых члена ряда Маклорена функции  ,  ,  .
Дополнительные вопросы
Всякая ли дифференцируемая функция является непрерывной?
Всякая ли непрерывная функция является дифференцируемой?
Всякая ли дифференцируемая в точке функция имеет касательную к графику в этой точке?
Всякая ли стационарная точка является критической?
Всякая ли критическая точка является стационарной?
В любой ли критической точке существует касательная к графику?
В любой ли стационарной точке существует касательная к графику?
|
