Реферат по дисциплине: Высшая математика на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)
Скачать 63.3 Kb.
|
| МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА РЕФЕРАТ по дисциплине: Высшая математика на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения) Выполнила: студентка 1 курса Экономического факультета (вечернее отделение) Козлова М.А. Проверил: Рошаль А.С. Москва 2002 год2 СодержаниеВведение 32. Нахождение асимптоты 4 2.1 Геометрический смысл асимптоты 5 2.2 Общий метод нахождения асимптоты 6 3. Виды 8 3.1 Горизонтальная асимптота 8 3.2 Вертикальная асимптота 9 3.3 Наклонная асимптота 10 Использованная литература 123 ВведениеАсимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной. Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.). 4 2. Нахождение асимптоты Пусть функция f (x) определена для всех x а (соответственно для всех x а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) kx l = 0 при х (соответственно при х ), то прямая y = kx + l называется асимптотой графика функции f (x) при x (соответственно при х ). Существование асимптоты графика функции означает, что при х + (или х ) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.  x 3x 2 Найдём, например, асимптоту графика функции y = x 1 Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,  2 2получим y = x 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х , то прямая y = x-4 является асимптотой графика данной функции как при х + , так и при х . 5 2.1 Геометрический смысл асимптоты Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М  - проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота, - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох,  ,MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1). (рис.1) Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM QM = f (x) – (kx +l), MP = MQ cos . Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos , поэтому условия MQ 0 и MP 0 при х (соответственно при х ) эквивалентны, то есть lim MQ = 0, то и lim MP = 0, и наоборот. х х Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х или, соответственно, х ). 6 2.2 Общий метод отыскания асимптоты Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l. Будем рассматривать для определённости лишь случай х (при х рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х . Тогда, по определению, f (x) = kx + l + 0 Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х . Тогда lim  = k.х Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу l = lim (f (x) – kx).  х Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является х асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем х lim f (x) (kx + l) = 0, х то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim = k. и l = lim (f (x) – kx)х х сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если существует представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim = k. и l = lim (f (x) – kx)х х Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно. Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) =  ,найденную нами выше другим способом: 7  то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты y = x – 4, как при х , так и при х - . В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy. 8 3. Виды 3.1 Горизонтальная асимптота Пусть lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x +) (рис.2)  (рис.2) хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)  (рис.3) 9 3.2 Вертикальная асимптота  (рис.4) Пусть при x a 0 lim f (x) = . Тогда говорят, что прямая x = a является х вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + или . Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид  . Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения  10 3.3 Наклонная асимптота  (рис.5) Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х lim [f (x) – (ax + b)] = 0. x Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина  Но тогда мы имеем  и так как последний предел равен нулю, то  Зная а, можно найти и b из исходного соотношения  Тем самым параметры асимптоты полностью определяются. Пример   то есть асимптота при x + имеет уравнение y=x. 11 Аналогично можно показать, что при x - асимптота имеет вид y = - x. Сам график функции  выглядит так (рис.6) (рис.6) 12 Использованная литература
|
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Реферат по дисциплине «Философия» на тему: «Роль философии в жизни общества» «свести на нет» арифметику, на которой зиждится вся алгебра, геометрия и высшая математика. Казалось бы, что более «приземленной»... | | Реферат по дисциплине «Математика» на тему: «И это ещё не всё о них…... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Знать определение первообразной, основное свойство первообразной, правила нахождения первообразной | | Программа дисциплины «высшая математика» для направления 031600.... Требования к студентам: Учебная дисциплина “Высшая математика” не требует предварительных знаний, выходящих за рамки программы средней... |
| Реферат по дисциплине «Математика» на тему Богатовская средняя общеобразовательная школа «Образовательный центр» муниципального района Богатовский Самарской области | | Реферат по дисциплине «Математика» на тему: «Простые числа» Изучая на уроках математики тему «Простые числа», я узнал из учебника и от учителя много интересных фактов по этой теме и мне захотелось... |
 | Реферат по дисциплине «Математика» на тему : «Число» Целью нашего реферата является изучение истории возникновения числа π, его развития и применения в повседневной жизни | | Реферат по дисциплине «Математика» на тему : «Число» Целью нашего реферата является изучение истории возникновения числа π, его развития и применения в повседневной жизни |
| Реферат по дисциплине «Математика» на тему : «Древние «истоки» геометрии» Муниципальное казённое образовательное учреждение Никольская средняя общеобразовательная школа Новоусманского муниципального района... | | Реферат по дисциплине «Математика» на тему: «История развития математики» Развитие математики началось с создания практического счёта измерения линий, поверхностей и объёмов |
| Реферат по дисциплине «Математика» на тему: «Функции и окружающий нас мир» Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение «Краснооктябрьская средняя общеобразовательная школа» мо «Медведевский муниципальный... | | Программа дисциплины Высшая математика для направления 080500. 62... Требования к студентам: Учебная дисциплина “Высшая математика” не требует предварительных знаний, выходящих за рамки программы средней... |
| Рабочая программа по дисциплине «Высшая математика» составлена по... | | Рабочая программа по дисциплине б высшая математика Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования |
| Высшая математика у преподавателя Темы контрольных работ по дисциплине «Экономическая теория» для специальностей «Менеджмент организации» и «Юриспруденция» | | Реферат по дисциплине: «Математика» на тему: «История возникновения и развития чисел» Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось... |
