1.3 Оценка потоков платежей
Проведение практически любой финансовой операции порождает движение денежных средств. Такое движение может характеризоваться возникновением отдельных платежей, или множеством выплат и поступлений, распределенных во времени.
В процессе количественного анализа финансовых операций, удобно абстрагироваться от их конкретного экономического содержания и рассматривать порождаемые ими движения денежных средств как численный ряд, состоящий из последовательности распределенных во времени платежей CF0, CF1, ..., Cfn. Для обозначения подобного ряда в мировой практике широко используется термин “поток платежей” или “денежный поток” (cash flow – CF).
Отдельный элемент такого численного ряда CFt представляет собой разность между всеми поступлениями (притоками) денежных средств и их расходованием (оттоками) на конкретном временном отрезке проведения финансовой операции. Таким образом, величина CFt может иметь как положительный, так и отрицательный знак.
Количественный анализ денежных потоков, генерируемых за определенный период времени в результате реализации финансовой операции, или функционирования каких-либо активов, в общем случае сводится к исчислению следующих характеристик [7, 9, 13, 15, 16]:
FVn – будущей стоимости потока за n периодов;
PVn – современной стоимости потока за n периодов.
Часто возникает необходимость определения и ряда других параметров финансовых операций, важнейшими из которых являются:
CFt – величина потока платежей в периоде t;
r – процентная ставка;
n – срок (количество периодов) проведения операции. Ниже будут рассмотрены наиболее распространенные виды денежных потоков, их свойства, а также технология автоматизации исчисления перечисленных характеристик и параметров с применением ППП EXCEL.
1.3.1 Финансовые операции с элементарными потоками платежей
Простейший (элементарный) денежный поток состоит из одной выплаты и последующего поступления, либо разового поступления с последующей выплатой, разделенных n - периодами времени (например – лет).
Примерами финансовых операций с подобными потоками платежей являются срочные депозиты, единовременные ссуды, некоторые виды ценных бумаг и др. Нетрудно заметить, что численный ряд в этом случае состоит всего из двух элементов – {-PV; FV} или {PV; -FV}.
Операции с элементарными потоками платежей характеризуются четырьмя параметрами – FV, PV, r, n. При этом величина любого из них может быть определена по известным значениям трех остальных.
Будущая величина элементарного потока платежей
Рассмотрим технологию исчисления будущей величины элементарного потока платежей на следующем примере.
Пример 1.2
Сумма в 10000 помещена в банк на депозит сроком на 4 года. Ставка по депозиту – 10% годовых. Проценты по депозиту начисляются раз в год. Какова будет величина депозита в конце срока?
По условиям данной операции известными величинами являются: первоначальная сумма вклада PV = 10000, процентная ставка r = 10% и срок n = 4 года.
Определим будущую величину вклада на конец первого периода:
FV1 = PV + PV r = PV(1 + r) = 10000(1 + 0,1) = 11000.
Соответственно для второго периода величина FV будет равна:
FV2 = FV1 + FV1 r = PV(1 + r) + PV(1 + r) r = PV(1 + r)2 =
= 10000(1 + 0,1)2 = 12100.
Для последнего периода (n = 4):
FV4 = FV3 + FV3 r = PV(1 + r)4 = 10000(1 + 0,1)4 = 14641.
Общее соотношение для определения будущей величины имеет следующий вид:
 . (1.3)
Нетрудно заметить, что величина FV существенно зависит от значений r и n. Например, будущая величина суммы всего в 1,00 при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1174313,45!
На рис. 1.1 приведен график, отражающий рост суммы в 1,00 при различных ставках сложных процентов.
Рис. 1.1. Рост суммы в 1.00 по ставкам сложных процентов
На практике, в зависимости от условий финансовой сделки, проценты могут начисляться несколько раз в году, например ежемесячно, ежеквартально и т.д. В этом случае соотношение (1.3) для исчисления будущей стоимости будет иметь следующий вид:
 , (1.4)
где m – число периодов начисления в году.
Очевидно, что чем больше m, тем быстрее идет наращение суммы.
Допустим, что в примере 1.2 проценты выплачиваются ежеквартально (т = 4). Определим FV4,4 :
FV4,4 = 10000,00 (1 + 0,10/4)16 = 14845,06, т.е. на 204,06 больше, чем при начислении процентов раз в год.
Часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту:
 , (1.5)
где r – номинальная ставка; m – число периодов начисления.
Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate – EPR) или ставкой сравнения.
Осуществим расчет эффективной процентной ставки и будущей величины вклада для примера 1.2:
ЕPR = (1 + 0,1/4)4- 1 = 0,103813
FV = 10000,00 (1 + 0,103813)4 = 14845,06.
Таким образом, условия помещения суммы в 10000,00 на депозит сроком на 4 года под 10% годовых при ежеквартальном начислении процентов и под 10,3813%, начисляемых раз в год, являются эквивалентными.
Современная величина элементарного потока платежей
Формулу для определения современной величины элементарного потока платежей можно легко вывести из соотношения (1.3), путем деления его обеих частей на величину (1 + r)n. Выполнив соответствующие математические преобразования, получим:
 . (1.6)
Пример 1.3
Выплаченная по 4-х летнему депозиту сумма составила величину в 14641,00. Определить первоначальную величину вклада, если ставка по депозиту равна 10% годовых.
PV = 14641,00 / (1 + 0,1)4 = 10000,00.
На рис 1.2 приведена графическая диаграмма, отражающая процесс дисконтирования суммы в 1,00 при различных ставках сложных процентов.
Рис. 1.2. Дисконтирование суммы в 1,00 при различных ставках r
Как и следовало ожидать, величина PV также зависит от продолжительности операции и процентной ставки, однако зависимость здесь обратная – чем больше r и n, тем меньше текущая (современная) величина.
В случае, если начисление процентов осуществляется m-раз в году, соотношение (1.6) будет иметь следующий вид:
 . (1.7)
Исчисление процентной ставки и продолжительности операции
Формулы для определения величин r и n могут быть получены из (1.3) и приводятся ниже в готовом виде.
При известных величинах FV, PV и n, процентную ставку можно определить по формуле:
 . (1.8)
Пример 1.4
Сумма в 10000,00 помещенная в банк на 4 года составила величину в 14641,00. Определить процентную ставку (доходность операции).
r = (14141,00 / 10000,00)1/4 - 1 = 0,10 (10%).
Длительность операции определяется путем логарифмирования:
 . (1.9)
Приведенные соотношения (1.3 – 1.9) позволяют определить основные количественные характеристики финансовых операций, в результате проведения которых возникают элементарные потоки платежей.
Автоматизация анализа элементарных потоков платежей
Соотношения (1.3 – 1.9) могут быть легко реализованы в виде соответствующих формул ППП EXCEL. Например, соотношение (1.9), могло бы быть задано следующим арифметическим выражением:
=LOG(FV / PV) / LOG(1 + r), где
LOG – имя функции для вычисления логарифма;
FV, PV, r – соответствующие числовые значения.
Однако современные табличные процессоры содержат множество готовых функций, автоматизирующих проведение финансовых расчетов.
В ППП EXCEL для этих целей реализована специальная группа из 52 функций, получивших название финансовых.
Для исчисления характеристик финансовых операций с элементарными потоками платежей удобно использовать функции БЗ(), КПЕР(), НОРМА(), ПЗ() (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Функции для анализа потоков платежей
Наименование функции
|
Формат функции
|
Англоязычная версия
|
Русская
версия
|
|
FV
|
БЗ
|
БЗ(ставка; кпер; платеж; нc; [тип])
|
NPER
|
КПЕР
|
КПЕР(ставка; платеж; нз; бс; [тип])
|
RATE
|
НОРМА
|
НОРМА(кпер; платеж; нз; бс; [тип])
|
PV
|
ПЗ
|
ПЗ(ставка; кпер; платеж; бс; [тип])
|
PMT
|
ППЛАТ
|
ППЛАТ(ставка; кпер; нз; [бс]; [тип])
|
FVSHEDULE
|
БЗРАСПИС
|
БЗРАСПИС(сумма; массив ставок)
|
NOMINAL
|
НОМИНАЛ
|
НОМИНАЛ(эф_ставка; кол_пер )
|
EFFECT
|
ЭФФЕКТ
|
ЭФФЕКТ(ном_ставка; кол_пер)
|
Как следует из табл. 1.1, большинство функций имеют одинаковый набор базовых аргументов :
ставка – процентная ставка (норма доходности или цена заемных средств – r);
кпер – срок (число периодов – п) проведения операции;
выплата – величина периодического платежа (CF);
нз – начальное значение (величина PV);
бс – будущее значение (FV);
[тип] – тип начисления процентов (1 – начало периода, 0 – конец периода), необязательный аргумент.
Как вы уже знаете, любая из 4-х характеристик FV, PV, r и п подобных операций может быть определена по известным величинам трех остальных. Поэтому список аргументов каждой функции состоит из трех известных величин (аргумент “выплата” здесь не требуется, так как денежный поток состоит из единственного платежа), при задании которых мы будем использовать обозначения, введенные выше.
Для простого расчета необходимой характеристики достаточно ввести в любую ячейку электронной таблицы имя соответствующей функции с заданными аргументами.
Напомним, что аргументы функций в русифицированной версии ППП EXCEL разделяются символом “;”, а признаком ввода функции служит символ “=”.
Функция БЗ(ставка; кпер; выплата; нз; [тип])
Эта функция позволяет определить будущее значение потока платежей, т.е. величину FV.
Пример 1.5
Определить будущую величину вклада в 10000,00, помещенного в банк на 5 лет под 5% годовых, если начисление процентов осуществляется:
а) раз в году; б) раз в месяц.
Введите в любую ячейку ЭТ:
=БЗ(0,05; 5; 0; -10000) (Результат: 12762,82)
=БЗ(0,05/12; 5*12; 0; -10000) (Результат: 12833,59).
Обратите особое внимание на способы задания аргументов.
Значение процентной ставки (аргумент “ставка”) обычно задается в виде десятичной дроби: 5% – 0,05; 10% – 0,1; 100% – 1 и т.д.
Если начисление процентов осуществляется m-раз в году, аргументы необходимо откорректировать соответствующим образом:
r = r/m и n = n m.
Аргумент “начальное значение – нз” здесь задан в виде отрицательной величины (-10000), так как с точки зрения вкладчика эта операция влечет за собой отток его денежных средств в текущем периоде с целью получения положительной величины (12762,82) через 5 лет.
Однако для банка, определяющего будущую сумму возврата средств по данному депозиту, этот аргумент должен быть задан в виде положительной величины, так как означает поступление средств (увеличение пассивов):
=БЗ(0,05; 5; 0; 10000) (Результат: -12762,82).
Полученный же при этом результат – отрицательная величина, так как операция означает расходование средств (возврат денег банком вкладчику).
Как уже отмечалось, аргумент "выплата" не используется при анализе элементарных потоков, поэтому здесь и в дальнейшем он имеет нулевое значение. Его также можно задать в виде пустого параметра – ";", например:
=БЗ(0,05; 5; ; 10000) (Результат: -12762,82).
Особо отметим тот факт, что последний аргумент функции – “тип” в данном случае опущен, так как начисление процентов в подобных операциях, как правило, осуществляется в конце каждого периода. В противном случае функция была бы задана с указанием всех аргументов.
Функция КПЕР(ставка; выплата; нз; бс; [тип])
Функция КПЕР() вычисляет количество периодов начисления процентов, исходя из известных величин r, FV и PV.
Пример 1.6
По вкладу в 10000,00, помещенному в банк под 5% годовых, начисляемых ежегодно, была выплачена сумма 12762,82. Определить срок проведения операции (количество периодов начисления).
=КПЕР(0,05; 0; -10000; 12762,82) (Результат: 5 лет).
Соответственно при начислении процентов раз в месяц, число необходимых периодов будет равно:
=КПЕР(0,05/12; 0;-10000;12762,82) (Результат: 60 месяцев).
Следует обратить особое внимание на то, что результатом применения функции является число периодов (а не число лет), необходимое для проведения операции.
Функция НОРМА(кпер; выплата; нз; бс; [тип])
Функция НОРМА() вычисляет процентную ставку, которая в зависимости от условий операции может выступать либо в качестве цены, либо в качестве нормы ее рентабельности.
Определим процентную ставку для примера 1.6.
=НОРМА(5; 0; -10000; 12762,82) (Результат: 0,05 или 5%).
Результат вычисления величины r выдается в виде периодической процентной ставки. Для определения годовой процентной ставки, полученный результат следует умножить на количество начислений в году.
Необходимо помнить, что для получения корректного результата при работе функций КПЕР() и НОРМА(), аргументы "нз" и "бс" должны иметь противоположные знаки. Данное требование вытекает из экономического смысла подобных операций.
Следующие три функции БЗРАСПИС(), НОМИНАЛ() и ЭФФЕКТ() являются вспомогательными. Они предназначены для удобства проведения соответствующих расчетов.
Функция БЗРАСПИС(нз; массив ставок)
Функцию БЗРАСПИС() удобно использовать для расчета будущей величины разовой инвестиции в случае, если начисление процентов осуществляется по плавающей ставке. Подобные операции широко распространены в отечественной финансовой и банковской практике. В частности, доходы по облигациям государственного сберегательного займа (ОГСЗ), начисляются раз в квартал по плавающей купонной ставке.
Пример 1.7
Ставка банка по срочным валютным депозитам на начало года составляет 20% годовых, начисляемых раз в квартал. Первоначальная сумма вклада - $1000. В течении года ожидается снижение ставок раз в квартал на 2, 3 и 5 процентов соответственно. Определить величину депозита к концу года.
Введем ожидаемые значения процентных ставок в смежный блок ячеек электронной таблицы, например: 0,2/4 в ячейку B1, 0,18/4 в ячейку B2, 0,17/4 в ячейку B3 и 0,15/4 в ячейку B4. Тогда функция будет иметь следующий вид:
=БЗРАСПИС(1000; B1.B4) (Результат: 1186,78).
Заметьте, что величина годовой ставки скорректирована на количество периодов начисления.
Функции НОМИНАЛ(эф_ставка; кол_пер), ЭФФЕКТ(ном_ставка; кол_пер)
Функции НОМИНАЛ() и ЭФФЕКТ() вычисляют номинальную и эффективную процентные ставки соответственно.
Эти функции удобно использовать при сравнении операций с различными периодами начисления процентов. При этом доходность финансовой операции обычно измеряется эффективной процентной ставкой.
Пример 1.8
Ставка банка по срочным валютным депозитам составляет 18% годовых. Какова реальная доходность вклада (т.е. эффективная ставка) если проценты выплачиваются:
а) ежемесячно
=ЭФФЕКТ(0,18; 12) (Результат: 0,1956 или 19,56%);
г) раз в год
=ЭФФЕКТ(0,18; 1) (Результат: 0,18 или 18%).
Функция номинал() выполняет обратное действие, т.е. позволяет определить номинальную ставку по известной величине эффективной. Например:
=НОМИНАЛ(0,1956; 12) (Результат: 0,1799 или 18%).
На рис. 1.3 приведен простейший пример шаблона, позволяющий решать типовые задачи по исчислению параметров финансовых операций с элементарными потоками платежей. На рис. 1.4 этот шаблон приведен в режиме отображения формул. Дадим необходимые пояснения.
Шаблон состоит из двух частей. Первая часть занимает блок ячеек А2.В10 и предназначена для ввода исходных данных (известных параметров финансовой операции). Текстовая информация в ячейках А2.А10 содержит наименование исходных параметров финансовой операции, ввод которых осуществляется в ячейки B6.B10. Ячейка В7 содержит принятое по умолчание число начислений процентов, равное 1 (т.е. раз в году). Для получения искомого результата необходимо ввести еще три величины.
Рис. 1.3. Шаблон для анализа элементарных потоков
Рис. 1.4. Шаблон для анализа элементарных потоков (формулы)
Вторая часть таблицы занимает блок ячеек А14.В18 и предназначена для вывода результатов вычислений, т.е. искомой величины. При отсутствии исходных данных, эта часть таблицы содержит нулевые значения в ячейках В14 и В18, а также сообщения об ошибках. Блок ячеек В14.В18 содержит формулы, необходимые для исчисления соответствующих параметров финансовой операции (рис. 1.4).
Величины r (процентная ставка) и n (срок операции) в формулах скорректированы на число начислений процентов в году, путем деления и умножения на значение ячейки В7 соответственно. Поскольку по умолчанию значение ячейки В7 равно 1, для операций с начислением процентов раз в год, корректировка параметров r и n не будет оказывать никакого эффекта. При этом здесь и в дальнейшем подразумевается задание параметра r в виде годовой процентной ставки, а срока проведения операции n – в количестве лет.
Руководствуясь рис. 1.3 – 1.4, подготовьте таблицу для элементарных потоков платежей и сохраните ее на магнитном диске в виде шаблона под именем SINGL_AN.XLT.
Осуществим проверку работоспособности шаблона на решении практических задач.
Пример 1.9
Фирма “Х” предполагает взять кредит в 100000 на 5 лет под 12% годовых. Проценты начисляются ежеквартально и подлежат выплате вместе с основной суммой долга по истечению срока кредита. Определить сумму выплаты на момент погашения кредита.
Прежде всего, осуществим загрузку таблицы-шаблона.
Теперь необходимо ввести в соответствующие ячейки колонки В исходные данные – величины PV, n, m, r.
Введите 0,12 в ячейку В6, 4 в ячейку В7, 5 в ячейку В8 и 100000 в ячейку В9. Полученная таблица должна иметь следующий вид (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Решение примера 1.9
Разработанная таблица-шаблон позволяет быстро и эффективно проводить анализ финансовых операций с элементарными потоками платежей. Так при изменении любой характеристики рассмотренной выше операции, достаточно ввести новое значение в соответствующую ячейку ЭТ. Кроме того, шаблон может быть легко преобразован для одновременного анализа сразу нескольких однотипных ситуаций.
Допустим, что фирма “Х” имеет альтернативную возможность получения кредита в 100000 на 5 лет под 11% годовых, выплачиваемых ежемесячно. Какой вариант получения кредита выгодней?
Для решения задачи просто скопируйте блок ячеек В14.В18 в блок ячеек С14.С18. Введите исходные данные альтернативного варианта в ячейки С6.С9. Полученная таблица должна иметь следующий вид (рис. 1.6).
Рис. 1.6. Анализ двух альтернатив
Из полученных результатов следует, что при прочих равных условиях второй вариант получения кредита более выгодный.
Протестируйте разработанный шаблон на решении примеров 1.2-1.8 и сравните полученные результаты с приведенными.
На практике, при проведении большинства финансовых операций возникают потоки платежей, распределенные во времени.
1.3.2 Денежные потоки в виде серии равных платежей (аннуитеты)
Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом (annuity).
Теоретически, в зависимости от условий формирования, могут быть получены весьма разнообразные виды аннуитетов: с платежами равной либо произвольной величины; с осуществлением выплат в начале, середине или конце периода и др. [13, 16]
В финансовой практике часто встречаются так называемые простые или обыкновенные аннуитеты (ordinary annuity, regular annuity), которые предполагают получение или выплаты одинаковых по величине сумм на протяжении всего срока операции в конце каждого периода (года, полугодия, квартала, месяца и.т.д.).
Выплаты по облигациям с фиксированной ставкой купона, банковским кредитам, долгосрочной аренде, страховым полисам, формирование различных фондов – все это далеко неполный перечень финансовых операций, денежные потоки которых, представляют собой обыкновенные аннуитеты. Рассмотрим их свойства и основные количественные характеристики.
Согласно определению, простой аннуитет обладает двумя важными свойствами:
1) все его n-элементов равны между собой: CF1 = CF2 ...= CFn = CF ;
отрезки времени между выплатой/получением сумм CF одинаковы, т.е. tn - tn-1 = ...= t2 - t1.
В отличии от разовых платежей, для количественного анализа аннуитетов нам понадобятся все выделенные ранее характеристики денежных потоков: FV, PV, CF, r и n.
Будущая стоимость простого (обыкновенного) аннуитета
Будущая стоимость простого аннуитета представляет собой сумму всех составляющих его платежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции.
Методику определения будущей стоимости аннуитета покажем на следующем примере.
Пример 1.10
Финансовая компания создает фонд для погашения своих облигаций путем ежегодных помещений в банк сумм в 10000 под 10% годовых. Какова будет величина фонда к концу 4-го года?
FV4 = 10000(1+0,10)3+10000(1+0,10)2+10000(1+0,10)1+10000 = 46410.
Для n-периодов:
 . (1.10)
Выполнив ряд математических преобразований над (1.10), можно получить более компактную запись:
 . (1.11)
Как уже отмечалось ранее, платежи могут осуществляться j-раз в году (ежемесячно, ежеквартально и т.д.). Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда число платежей в году совпадает с числом начислений процентов, т.е. j = m. В этом случае общее число платежей за n-лет будет равно mn, процентная ставка – r/m, а величина платежа – CF/m. Тогда, выполнив преобразования над (1.11), получим:
 . (1.12)
Пример 1.11
Предположим, что каждый год ежемесячно в банк помещается сумма в 1000. Ставка равна 12% годовых, начисляемых в конце каждого месяца. Какова будет величина вклада к концу 4-го года ?
Общее количество платежей за 4 года равно: 4 12 = 48. Ежемесячная процентная ставка составит: 12 / 12 = 1%. Тогда:
 .
Процентная ставка, равная отношению номинальной ставки r к количеству периодов начисления m, называется периодической.
Следует отметить, что периодическая ставка процентов может использоваться в вычислениях только в том случае, если число платежей в году равно числу начислений процентов.
Текущая (современная) стоимость простого аннуитета
Под текущей величиной (стоимостью) денежного потока понимают сумму всех составляющих его платежей, дисконтированных на момент начала операции.
Определение текущей стоимости денежного потока, представляющего собой простой аннуитет, покажем на следующем примере.
Пример 1.12
Предположим, что мы хотим получать доход, равный 1000 в год, на протяжении 4-х лет. Какая сумма обеспечит получение такого дохода, если ставка по срочным депозитам равна 10% годовых?
PV = 1000/l,10 + 1000/(l,10)2 + 1000/(l,10)3 + 1000/(l,10)4 = 3169,87.
Общее соотношение для определения текущей величины аннуитета имеет следующий вид:
 . (1.13)
Нетрудно заметить, что выражения в квадратных скобках в (1.13) представляет собой множитель, равный современной стоимости аннуитета в 1 денежную единицу. Разделив современную стоимость PV денежного потока любого вида на этот множитель, можно получить величину периодического платежа CF эквивалентного ему аннуитета. Эта математическая зависимость часто используется в финансовом анализе для приведения потоков с неравномерными поступлениями к виду обыкновенного аннуитета.
Для случая, когда выплаты сумм аннуитета и начисления процентов совпадают во времени, т.е. j = m, удобно использовать соотношение вида:
 . (1.14)
Исчисление суммы платежа, процентной ставки и числа периодов
Величину периодического платежа CF и числа периодов проведения операции n для обыкновенного аннуитета можно определить как из соотношения (1.9), так и (1.11).
Если известна будущая стоимость FV, при заданных n и r величина платежа может быть найдена из (1.11):
 . (1.15)
При этом выражение в квадратных скобках часто называют коэффициентом погашения или накопления (sinking fund factor).
Соответственно если неизвестной величиной является n, она определяется по формуле:
 . (1.16) В случае, если известна текущая стоимость аннуитета PV, формулы для определения CF и n примут следующий вид:
 . (1.17)
 . (1.18) Выражение в квадратных скобках в (1.17) называют коэффициентом восстановления или возмещения капитала (capital recovery factor).
Исчисление процентной ставки для денежных потоков в виде серии платежей представляет определенные сложности. Используемые при этом итерационные методы обеспечивают получение лишь приближенной оценки и не рассматриваются в настоящей работе. Как будет показано в дальнейшем, современные табличные процессоры позволяют без особых затруднений определять этот важнейший параметр любой финансовой операции.
Автоматизация исчисления характеристик аннуитетов
Группу функций EXCEL, предназначенную для автоматизации расчетов характеристик аннуитетов, составляют уже хорошо известные вам функции БЗ(), КПЕР(), НОРМА(), ПЗ() (см. табл. 1.1), к которым добавляется функция определения периодического платежа – ППЛАТ().
Функция ППЛАТ(ставка; кпер; нз; [бс]; [тип])
Данная функция применяется в том случае, если необходимо определить величину периодического платежа – CF.
Предположим, что в примере 1.11 требуется определить размер периодического платежа при заданной будущей величине фонда в 46410.
=ППЛАТ(0,1; 4; 0; 46410) (Результат: -10000,00).
Для банка, в котором размещен данный депозит, периодические платежи означают приток средств, а конечная сумма по депозиту – расход:
=ППЛАТ(0,1; 4; 0; -46410) (Результат: 10000,00).
Обратите особое внимание на значение параметра "нз" (PV). Условиями данной операции наличие первоначальной суммы на депозите в момент времени t = 0 не предусмотрено, поэтому значение параметра "нз" равно нулю. Изменим условия примера 1.10 следующим образом.
Пример 1.13
Финансовая компания создает фонд для погашения обязательств путем помещения в банк суммы в 50000, с последующим ежегодным пополнением суммами по 10000. Ставка по депозиту равна 10% годовых. Какова будет величина фонда к концу 4-го года ?
=БЗ(0,1; 4; -10000; -50000) (Результат: 119615,00).
Соответственно изменится и формат функции для определения величины ежегодного платежа:
=ППЛАТ(0,1; 4; -50000; 119615) (Результат: -10000,00).
В случае, если условиями контракта предусмотрено начисление процентов в начале каждого периода, при исчислении любой характеристики финансовой операции необходимо задавать аргумент “тип”, равный 1.
Для предыдущего примера, функции вычисления будущей величины и периодического платежа будут иметь следующий вид:
=БЗ(0,1; 4; -10000; -50000; 1) (Результат: 124256,00).
=ППЛАТ(0,1; 4; -50000; 124256; 1) (Результат: -10000,00).
Отметим, что начисление процентов в начале каждого периода всегда приводит к большему значению будущей величины аннуитета за тот же срок.
При начислении процентов m-раз в году, величины r и n корректируются также, как и в предыдущих примерах.
Попробуйте самостоятельно построить шаблон для определения количественных характеристик денежных потоков, представляющих собой простой аннуитет. Его можно получить путем несложных преобразований предыдущего шаблона, воспользовавшись командами редактирования ППП EXCEL.
На рис. 1.7 приведен один из простейших вариантов подобного шаблона, который может быть взят за основу. Формулы шаблона приведены в табл. 1.3.
Таблица 1.3
Формула шаблона (аннуитеты)
Ячейка
|
Формула
|
В15
|
=БЗ(B5/B6;B7*B6;B10;B8;B11)
|
В16
|
=НОРМА(B7*B6;B10;B8;B9;B11)
|
В17
|
=B16*B6
|
B18
|
=КПЕР(B5/B6;B10;B8;B9;B11)
|
В19
|
=ПЗ(B5/B6;B7*B6;B10;B9;B11)
|
В20
|
=ППЛАТ(B5/B6;B7*B6;B8;B9;B11)
|
Рис. 1.7. Шаблон для анализа аннуитетов
Сохраните разработанный вами шаблон на магнитном диске под именем ANNUI_AN.XLT.
Проверим работоспособность шаблона на решении следующих типовых задач.
Пример 1.14
Корпорация планирует ежегодно в течении 10 лет делать отчисления по 5000 для создания фонда выкупа своих облигаций. Средства помещаются в банк под 12% годовых. Какая сумма будет накоплена к концу срока операции?
Введем в ячейки колонки В необходимые исходные данные. Полученная в итоге таблица будет иметь следующий вид (рис. 1.8).
Рис. 1.8. Решение примера 1.14
Величина фонда погашения к концу срока проведения операции составит 87743,68 при начислении процентов в конце каждого периода и 98272,92 при начислении процентов в начале каждого периода (осуществите проверку этого расчета самостоятельно!).
В случае если при решении задач требуется одновременный анализ нескольких альтернатив, скопируйте в соседние колонки необходимое количество раз блок ячеек, содержащий формулы.
1.3.3 Денежные потоки в виде серии платежей произвольной величины
Денежные потоки в виде платежей произвольной величины, осуществляемые через равные промежутки времени, представляют собой наиболее общий вид аннуитетов.
Типичными случаями возникновения таких потоков являются капиталовложения в долгосрочные активы, выплаты дивидендов по обыкновенным акциям и др. Следует отметить, что анализ аннуитетов с платежами произвольной величины уже представляет определенные вычислительные сложности. Как правило, определяют наиболее общие характеристики таких аннуитетов – их будущую и современную стоимость. При этом предполагается, что все остальные параметры финансовой операции известны.
В случае, если поступления (выплаты) произвольных сумм осуществляются через равные промежутки времени, их будущую величину можно определить из соотношения 1.19.
 . (1.19)
Современная стоимость потока с произвольными платежами определяется по следующей формуле:
 . (1.20)
Как уже было отмечено ранее, любой поток с произвольными платежами может быть приведен к виду аннуитета. Формула приведения может быть задана следующим образом:
 , (1.21)
где CF – периодический платеж по аннуитету, эквивалентному произвольному денежному потоку по величине современной стоимости.
Подобное приведение может полезным при сравнении финансовых операций с произвольными потоками платежей и различной продолжительностью во времени.
Расчет вручную показателей, характеризующих произвольные потоки платежей достаточно трудоемок. В ППП EXCEL для этих целей реализована специальная группа финансовых функций (табл. 1.4).
Таблица 1.4
Функции для анализа произвольных потоков платежей
Наименование функции
|
Формат функции
|
Оригинальная версия
|
Локализован-
ная версия
|
|
NPV
|
НПЗ
|
НПЗ(ставка; платежи)
|
IRR
|
ВНДОХ
|
ВНДОХ(платежи; [прогноз])
|
MIRR
|
МВСД
|
МВСД(платежи;ставка;ставка_реин)
|
XNPV
|
ЧИСТНЗ
|
ЧИСТНЗ(ставка; платежи; даты)
|
XIRR
|
ЧИСТВНДОХ
|
ЧИСТВНДОХ(платежи;даты;[прогноз])
|
Обязательные для задания аргументы функций имеют следующие значения:
ставка – процентная ставка (норма прибыли или цена капитала);
платежи – поток из n - платежей произвольной величины;
ставка_реин – ставка реинвестирования полученных средств;
даты – массив дат осуществления платежей для потоков с произвольными интервалами времени.
Функции данной группы используют сложные итерационные алгоритмы для реализации дисконтных методов исчисления ряда важнейших показателей, широко используемых в инвестиционном анализе.
Первые три функции применяются в том случае, когда денежный поток состоит из платежей произвольной величины, осуществляемых через равные промежутки времени.
Функция НПЗ() вычисляет современную величину потока платежей PV. Две другие функции – ВНДОХ() и МВСД() позволяют определить внутреннюю норму рентабельности инвестиций (internal rate of return – IRR) и модифицированную внутреннюю норму рентабельности инвестиций (modified internal rate of return – MIRR) соответственно.
Функции ЧИСТНЗ( ) и ЧИСТВНДОХ( ) являются самыми мощными в рассматриваемой группе. Они позволяют определить показатели чистой современной стоимости (net present value – NPV) и внутренней нормы рентабельности IRR для потоков платежей произвольной величины осуществляемых за любые промежутки времени. Эти функции удобно использовать для ретроспективного анализа эффективности операций с ценными бумагами, периодический доход по которым выплачивается по плавающей ставке (например – ОГСЗ, ОФЗ и т.д.). Детальное описание технологии их применения для решения различных задач можно найти в [8, 9].
Изложенные теоретические концепции и базовая техника вычислений являются фундаментом, на котором базируются методы анализа долгосрочных ценных бумаг, рассматриваемых в следующей главе.
|
