3. Реляционная алгебра. Реляционная замкнутость. Основные операции реляционной алгебры. Особенности операций над мультимножествами. Дополнительные операции реляционной алгебры: удаления дубликатов, агрегирования, группирования, сортировки, внешние соединения. Ассоциативность и коммутативность операций реляционной алгебры
Обзор реляционной алгебры
Третья часть реляционной модели, манипуляционная часть, утверждает, что доступ к реляционным данным осуществляется при помощи реляционной алгебры или эквивалентного ему реляционного исчисления.
В реализациях конкретных реляционных СУБД сейчас не используется в чистом виде ни реляционная алгебра, ни реляционное исчисление. Фактическим стандартом доступа к реляционным данным стал язык SQL (Structured Query Language). Язык SQL представляет собой смесь операторов реляционной алгебры и выражений реляционного исчисления, использующий синтаксис, близкий к фразам английского языка и расширенный дополнительными возможностями, отсутствующими в реляционной алгебре и реляционном исчислении. Вообще, язык доступа к данным называется реляционно полным, если он по выразительной силе не уступает реляционной алгебре (или, что то же самое, реляционному исчислению), т.е. любой оператор реляционной алгебры может быть выражен средствами этого языка. Именно таким и является язык SQL.
В данной главе будут рассмотрены основы реляционной алгебры.
Замкнутость реляционной алгебры
Реляционная алгебра представляет собой набор операторов, использующих отношения в качестве аргументов, и возвращающие отношения в качестве результата. Таким образом, реляционный оператор  выглядит как функция с отношениями в качестве аргументов:
Реляционная алгебра является замкнутой, т.к. в качестве аргументов в реляционные операторы можно подставлять другие реляционные операторы, подходящие по типу:
Таким образом, в реляционных выражениях можно использовать вложенные выражения сколь угодно сложной структуры.
Каждое отношение обязано иметь уникальное имя в пределах базы данных. Имя отношения, полученного в результате выполнения реляционной операции, определяется в левой части равенства. Однако можно не требовать наличия имен от отношений, полученных в результате реляционных выражений, если эти отношения подставляются в качестве аргументов в другие реляционные выражения. Такие отношения будем называть неименованными отношениями. Неименованные отношения реально не существуют в базе данных, а только вычисляются в момент вычисления значения реляционного оператора.
Традиционно, вслед за Коддом [43], определяют восемь реляционных операторов, объединенных в две группы.
Теоретико-множественные операторы:
Объединение
Пересечение
Вычитание
Декартово произведение
Специальные реляционные операторы:
Выборка
Проекция
Соединение
Деление
Не все они являются независимыми, т.е. некоторые из этих операторов могут быть выражены через другие реляционные операторы.
Отношения, совместимые по типу
Некоторые реляционные операторы (например, объединение) требуют, чтобы отношения имели одинаковые заголовки. Действительно, отношения состоят из заголовка и тела. Операция объединения двух отношений есть просто объединение двух множеств кортежей, взятых из тел соответствующих отношений. Но будет ли результат отношением? Во-первых, если исходные отношения имеют разное количество атрибутов, то, очевидно, что множество, являющееся объединением таких разнотипных кортежей нельзя представить в виде отношения. Во-вторых, пусть даже отношения имеют одинаковое количество атрибутов, но атрибуты имеют различные наименования. Как тогда определить заголовок отношения, полученного в результате объединения множеств кортежей? В-третьих, пусть отношения имеют одинаковое количество атрибутов, атрибуты имеют одинаковые наименования, но определенны на различных доменах. Тогда снова объединение кортежей не будет образовывать отношение.
Определение 1. Будем называть отношения совместимыми по типу, если они имеют идентичные заголовки, а именно,
Отношения имеют одно и то же множество имен атрибутов, т.е. для любого атрибута в одном отношении найдется атрибут с таким же наименованием в другом отношении,
Атрибуты с одинаковыми именами определены на одних и тех же доменах.
Теоретико-множественные операторы
Объединение
Определение 2. Объединением двух совместимых по типу отношений  и  называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений и , и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих или , или , или обоим отношениям.
Синтаксис операции объединения:
Замечание. Объединение, как и любое отношение, не может содержать одинаковых кортежей. Поэтому, если некоторый кортеж входит и в отношение , и отношение , то в объединение он входит один раз.
Пример 2. Пусть даны два отношения и с информацией о сотрудниках:
Табельный номер
|
Фамилия
|
Зарплата
|
1
|
Иванов
|
1000
|
2
|
Петров
|
2000
|
3
|
Сидоров
|
3000
|
Таблица 1 Отношение A
Табельный номер
|
Фамилия
|
Зарплата
|
1
|
Иванов
|
1000
|
2
|
Пушников
|
2500
|
4
|
Сидоров
|
3000
|
Таблица 2 Отношение B
Объединение отношений и будет иметь вид:
Табельный номер
|
Фамилия
|
Зарплата
|
1
|
Иванов
|
1000
|
2
|
Петров
|
2000
|
3
|
Сидоров
|
3000
|
2
|
Пушников
|
2500
|
4
|
Сидоров
|
3000
|
Таблица 3 Отношение A UNION B
Замечание. Как видно из приведенного примера, потенциальные ключи, которые были в отношениях и не наследуются объединением этих отношений. Поэтому, в объединении отношений и атрибут "Табельный номер" может содержать дубликаты значений. Если бы это было не так, и ключи наследовались бы, то это противоречило бы понятию объединения как "объединение множеств". Конечно, объединение отношений и имеет, как и любое отношение, потенциальный ключ, например, состоящий из всех атрибутов.
Пересечение
Определение 3. Пересечением двух совместимых по типу отношений и называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений и , и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих одновременно обоим отношениям и .
Синтаксис операции пересечения:
Пример 3. Для тех же отношений и , что и в предыдущем примере пересечение имеет вид:
Табельный номер
|
Фамилия
|
Зарплата
|
1
|
Иванов
|
1000
|
Таблица 4 Отношение A INTERSECT B
Замечание. Казалось бы, что в отличие от операции объединения, потенциальные ключи могли бы наследоваться пересечением отношений. Однако это не так. Вообще, никакие реляционные операторы не передают результатирующему отношению никаких данных о потенциальных ключах. В качестве причины этого можно было бы привести тривиальное соображение, что так получается более просто и симметрично - все операторы устроены одинаково. На самом деле причина более глубока, и заключается в том, что потенциальный ключ - семантическое понятие, отражающее различимость объектов предметной области. Наличие потенциальных ключей не выводится из структуры отношения, а явно задается для каждого отношения, исходя из его смысла. Реляционные же операторы являются формальными операциями над отношениями и выполняются одинаково, независимо от смысла данных, содержащихся в отношениях. Поэтому, реляционные операторы ничего не могут "знать" о смысле данных. Трактовка результата реляционных операций - дело пользователя.
Вычитание
Определение 4. Вычитанием двух совместимых по типу отношений и называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений и , и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих отношению и не принадлежащих отношению .
Синтаксис операции вычитания:
Пример 4. Для тех же отношений и , что и в предыдущем примере вычитание имеет вид:
Табельный номер
|
Фамилия
|
Зарплата
|
2
|
Петров
|
2000
|
3
|
Сидоров
|
3000
| |
