РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ
Факультет физико-математических и естественных наук
РЕФЕРАТ
по истории науки на тему:
История развития теории случайных процессов
Аспирант
кафедры Прикладной информатики и теории вероятностей
специальность 09.06.01 Информатика и вычислительная техника
Прядеин Роман Борисович
Научный руководитель д.ф.-м.н., профессор Рыков В.В.
Москва 2015
СОДЕРЖАНИЕ
Оглавление
Введение 3
1.Введение в теорию случайных процессов. 4
2. Краткий обзор истории развития теории вероятности 8
3.История развития теории случайных процессов 11
Заключение 19
Библиография 20
Введение
Понятие случайного процесса в современном мире является одним из основных не только в теории вероятностей, но также в экономике, физике, естествознании, инженерном деле, организации производства, теории связи, теории управления сложных систем и многих других. Теория случайных процессов – одна из наиболее динамично развивающихся математических дисциплин. Безусловно, стремительное развитие теории определяет широкий спектр ее прикладного применения.
Таким образом, выбранная тема представляется актуальной и достаточно интересной для исследования.
Цель исследования – изучение истории развития теории случайных процессов.
Задачи исследования:
раскрытие понятия случайных процессов;
краткий обзор истории развития теории вероятностей;
анализ истории развития теории случайных чисел как одного из разделов теории вероятностей;
краткий обзор истории развития цепей Маркова.
Объект исследования – теория случайных процессов
Предмет исследования – история развития теории случайных процессов, как раздела теории вероятностей.
Теоретической базой исследования послужили работы отечественных и зарубежных ученых, в частности, Колмогорова А.Н., Вентцель Е. С., Гнеденко Б. В., Соколова Г.А., Реньи А., Гихман И. И., Скороход А. В., Дынкина Е.Б., Юшкевич А.А., Григорян М.Э., Болдыревский П.Б. и других авторов в области теории вероятностей и теории случайных процессов, истории развития этих наук. Также использованы справочные издания и специальная литература.
Теоретическая значимость работы состоит в том, что она исследует историю развития теории случайных процессов с ее зарождения до настоящего времени и предопределяет дальнейшие исследование в рамках современного уровня развития науки.
Работа представляет собой теоретическое исследование, состоящее из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
Введение в теорию случайных процессов.
Теория случайных процессов является математической наукой и вполне закономерным представляется исследование истории ее развития в контексте развития науки математики.
К.А. Рыбников определяет историю математики как науку об объективных законах развития математики. По его мнению, на историю математики возлагается решение большого круга задач. В работах историко-математического характера освещается, как возникли математические методы, понятия и идеи, как исторически складывались отдельные математические теории; раскрываются связи математики с практическими потребностями и деятельностью людей, с развитием других наук [16, с. 56-57].
В своих работах Григорян М.Э. подчеркивает, что философия определяет научную картину мира как совокупность представлений науки определенного исторического периода о фундаментальных законах строения и развития объективной реальности. Точность и адекватность этой системы знаний о мире зависит от достижений науки и практики [7].
Формирование научной картины мира и на ее основе – мировоззрения средствами математики определяется ее мировоззренческими и методологическими знаниями. Т.А. Иванова выделяет следующий состав мировоззренческих и методологических знаний:
• объект и предмет математики, специфика ее связи с действительностью;
• ведущие математические понятия, идеи и методы;
• специфика математической деятельности и ее методов; сущность метода математического моделирования;
• математика как часть общечеловеческой культуры;
• история становления и развития математики, эволюция математических идей [11, с.7].
Рассмотрим сущность объекта и предмета математики, специфику ее связи с действительностью.
Григорян М.Э. отмечает: «Развитие математики и расширение области ее применения показали, что в материальном мире существует ряд объектов и отношений, математическое описание которых не сводится в чистом виде к количественным отношениям и пространственным формам.
Таким образом, математика своеобразный, формальный способ теоретического описания реального мира, область знаний, имеющая особый статус в системе наук. С современной точки зрения объектом математики как науки служат фундаментальные категории формы и количества, рассматриваемые в наиболее общем и чистом виде, проявляемые во всем мыслимом разнообразии. Предметом математики являются математические структуры и математические модели действительности как абстракции высокого логического уровня, отражающие и уточняющие объект математики. » [7].
Вышеизложенное характерно для любого раздела математики, в том числе и теории вероятностей и теории случайных процессов.
Теория случайных процессов – это наука, изучающая закономерности случайных явлений в динамике их развития. Понятие случайного процесса появилось в начале прошлого века и связано с именами А. Н. Колмогорова, А.Я. Хинчина, Е.Е. Слуцкого, Н. Винера и других.
Теория случайных процессов – относительно молодой раздел теории вероятностей. Несмотря на это, большое количество научной литературы отечественных и зарубежных авторов посвящено этому разделу. Дадим несколько определений, наиболее часто встречающихся в литературе.
Случайным процессом X(t) называется процесс, значение которого при любом значении аргумента t является случайной величиной.
Случайный процесс — это переменная во времени случайная величина.
Случайный процесс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.
Базовыми классификациями случайных процессов являются классификации по времени и по состояниям.
Случайный процесс называется процессом с дискретным временем, если система может менять свои состояния в фиксированные моменты, число которых конечно и счётно.
Случайный процесс с непрерывным временем – это процесс, в котором переходы системы из одного состояния в другое могут происходить в любой момент времени.
Случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями, если в любой момент времени множество его состояний конечно, и процессом с непрерывными состояниями – если в любой момент времени множество его состояний бесконечно или несчетно. Другими словами, если сечение процесса в любой момент времени является дискретной случайной величиной, то мы имеем дело с процессом с дискретными состояниями; в противном случае – с процессом с непрерывными состояниями.
Таким образом, мы можем разделить все процессы на четыре основных класса:
1. Процессы с дискретными состояниями и дискретным временем;
2. Процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем;
3. Процессы с непрерывными состояниями и дискретным временем;
4. Процессы с непрерывными состояниями и непрерывным временем.
В современном мире понятие случайного процесса приобретает особую актуальность и становится ключевым во многих разделах математики и других областях, таких как естествознание, физика, информатика, инженерное дело, экономика, организации производства, теории связи. Понятие случайного (или стохастического) процесса, возникшее в начале XX века, стало одним из центральных, быстро развивающихся и наиболее полезных применений теории вероятностей. Несомненно, это связано с применением теории при решении практических задач, а в наши дни- многих задач бизнеса, например, как страховое дело, букмекерский бизнес и другие.
Действительно, в то время как физика, биолога, инженера интересовал процесс, т.е. изменение изучаемого явления во времени, теория вероятностей предлагала им в качестве математического аппарата лишь средства, изучавшие стационарные состояния. Для исследования изменения во времени теории вероятностей конца XIX начала ХХ века не имела ни разработанных частных схем, ни тем более общих приемов. Изучение броуновского движения в физике подвело математику к порогу создания теории случайных процессов. В исследованиях датского ученого А.К.Эрланга была начата новая важная область поисков, связанная с изучением загрузки телефонных сетей. Работы Эрланга оказали влияние на развитие не только чисто телефонных задач, но и на теорию случайных процессов: процессов гибели и размножения.
Многие физические явления описываются теорией случайных процессов. К примеру, движение молекулы, в случайные моменты времени сталкивающейся с другими молекулами и при этом меняющей направление и скорость является случайным процессом.
Существует статистическая теория диффузии, основанная на теории случайных процессов и описывающая процессы диффузии и их характеристики. Радиоактивный распад молекул, напряжение в электросети, население города, полет космической ракеты, плотность воды в океане, направление ветра, уровень воды в реке – все это примеры случайных процессов.
В природе не существует неслучайных процессов, однако, есть факторы, влиянием которых в контексте конкретной задачи можно пренебречь. К примеру, решая задачу о составлении расписания самолетов, мы можем предположить, что траектории полета прямолинейны, а скорость полета равномерна. Однако, это допущение нельзя делать если мы сталкиваемся с задачей конструирования автопилота для управления полетом самолета.
Первые исследования случайных процессов касались в основном электроники и сообщений теории связи, в наши дни можно привести в качестве примеров временные ряды в экономике или медицине, регистрограммы теории механизмов, статистику жизни биологии популяций. Широкую сферу практического применения случайные процессы имеют в теории массового обслуживания, страховом деле, букмекерском бизнесе.
Краткий обзор истории развития теории вероятности
Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
В работах Б.В. Гнеденко и А.Н. Колмогорова представлены основные этапы развития теории вероятностей [5,13].
Этапы развития теории вероятностей.
До конца XVI века, предыстория теории вероятностей. Введены основные понятия - равновозможные (равновероятные) исходы, принцип – «не более так, чем иначе», вероятностное знание, вероятностные рассуждения. Источниками становления и развития теории вероятностей в этот период были такие факторы, как развитие философии, потребность решения элементарных задач, азартные игры.
С XVII века до начала XVIII века, возникновение теории вероятностей как науки. На данном этапе появились новые понятия - количественная оценка возможности наступления случайного события, представления о частоте события, математическом ожидании и о теоремах сложения и умножения, формулы комбинаторики. Развитию науки послужили необходимость решения задач демографии, страхового дела, оценки ошибок наблюдения.
С 1713 г. до середины XIX века, период формирования основ теории вероятностей. Введены базовые понятия и теоремы - классическое и статистическое определения вероятности, случайные величины, теоремы сложения и умножения вероятностей, геометрические вероятности, закон больших чисел, математическое ожидание, формула Бернулли, теорема Бейеса.
Со второй половины XIX века до XX века Русская – Петербургская школа изучала такие понятия, как предельные теоремы, теория случайных процессов, обобщение закона больших чисел, метод моментов.
XX – XXI века, современный этап развития теории вероятностей. На современном этапе появились и изучаются аксиоматическое построение теории вероятностей, частотная интерпретация вероятности, стационарные случайные процессы. Это обусловлено потребностями и бурным развитием самой математики, а также статистической физики, теории информации, астрономии, биологии, генетики и т.д.
Основными источниками возникновения и первоначального развития теории вероятностей были философия и практика (статистика, страховые общества). Вероятностные представления впервые встречаются уже в трудах античных философов. Например, античный материалист Демокрит заявлял, что мир подчинен строгой причинности, а случайность – фикция, следствие нашего незнания.
Философия к 17 веку накопила довольно богатый материал, который оказал влияние на зарождение и первый период развития теории вероятностей. Потребности решения практических задач стали основной предпосылкой зарождения теории вероятностей. Необходимость создания математического аппарата для анализа случайных явлений, вытекала из потребностей обработки и обобщения статистического материала. Однако теория вероятностей сформировалась, не только на материале практических задач: эти задачи слишком сложны. Азартные игры оказали сильнейшее влияние на развитие теории вероятностей. Они были простым, понятным и удобным материалом для изучения случайных явлений.
На базе азартных игр наряду с основными понятиями развивались и методы теории вероятностей. Развитие комбинаторики также сыграло свою роль в истории развития теории вероятностей.
В середине 17 века в разработку вопросов теории вероятностей были вовлечены крупнейшие ученые: Б. Паскаль, П. Ферма и Х. Гюйгенс. Принято считать, что переписка двух великих ученых Б. Паскаля и П. Ферма послужила началом развития теории вероятностей. Эти ученые смогли найти правильное решение задачи о разделе ставки, которая отняла много усилий у исследователей в течение длительного времени. Они предложили решение, в котором использовали первоначальные понятия математического ожидания и теоремы о сложении и умножении вероятностей. Считается, что беседы Паскаля с придворным французского королевского двора шевалье де Мере (1607-1648) послужили началом решения задач, приведшим впоследствии к теории вероятностей.
Следует отметить, что изучением подобных задач занимался и Христиан Гюйгенс и самостоятельно нашел способы их решения. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был. В своей работе он ввел основные понятия теории вероятностей: вероятность как величина шанса, математическое ожидание для дискретных случаев и также использовал теоремы сложения и умножения вероятностей. Эта работа была опубликована на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год).
Якоб Бернулли доказал закон больших чисел в простейшем случае независимых испытаний, Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы, что послужило мощным толчком развития теории вероятностей в первой половине XIX века.
Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны центральная предельная теорема, разработана теория цепей Маркова.
В 30-х годах XVIII века сформировалось классическое определение вероятности. Формирование классического определения вероятности заняло достаточно длительный промежуток времени, на протяжении которого происходило непрерывное развитие и совершенствование основных понятий, переход от частных задач к общему случаю.
Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики. А.Н. Колмогоров дал наиболее совершенное аксиоматическое построение теории вероятностей, связав её с метрической теорией функций.
Таким образом, теория вероятностей прошла длительное историческое развитие, которое вписывается в общую историю развития математики.
История развития теории случайных процессов
Б.В.Гнеденко в своих трудах отмечал: «В процессе развития теории случайных процессов произошло разделение близких понятий. В истории каждой науки постоянно приходится сталкиваться с такими ситуациями, когда эта наука еще не создана, а исследователи рассматривают отдельные задачи, которые относятся к ее области. Так было с арифметикой и геометрией, алгеброй и теорией чисел. С таким же положением мы сталкиваемся и в теории случайных процессов. Этой теории еще не было, не было и свойственных ей понятий, не было даже идеи рассмотрения изменения случайной величины во времени, а отдельные задачи в этом направлении уже изучались.
Для примера еще Н. Бернулли, Монмор и Муавр занимались задачей о разорении игрока и состоянии игроков после n партий. Это - типичная задача теории случайных процессов, в которой число сыгранных партий играет роль времени. Такая же ситуация складывается и с задачей Лапласа перекладывания шаров из урны в урну и подсчета содержания урны после n перекладываний.
Всегда новое рождается в недрах старого и со временем вырастает из становящихся тесными рамок уже установившихся представлений и понятий. В результате появляется необходимость специальной области научных исследований. Первоначально же отдельные новые задачи решаются в рамках старых представлений, как правило, специальными приемами, создаваемыми для каждой задачи. Но время еще не созрело для выделения соответствующей новой ветви научного знания. Требуется иногда длительный срок, чтобы первоначальные идеи и отдельные задачи сформировались и дали начало новой теории со своими постановками проблем и методами исследования, позволяющими продвинуться по пути познания явлений окружающего нас мира» [5].
Случайный процесс, как понятие, введен в XX веке в трудах А.Н.Колмогорова (1903-1987), А.Я.Хинчина (1894-1959), Е.Е.Слуцкого (1880-1948), Н.Винера (1894-1965), Дж. Дуба (1910-2004), П.Леви (1886-1971), В.Феллера (1906-1970) и многих других ученых.
Бурное развитие наук в XX веке требовало анализа изучаемых явлений во времени. Существующие к концу XIX - начала XX века инструменты теории вероятностей не могли удовлетворить возникшие потребности, так как математический аппарат имел лишь средства, изучавшие стационарные состояния.
Начало созданию теории случайных процессов послужила необходимость изучения явлений и решения задач физики, в частности изучение броуновского движения в физике.
В 1905 г. двумя известными физиками М. Смолуховским (1872-1917) и А. Эйнтейном (1879-1955) была изучена и создана теория броуновского движения, исходящая из теоретико-вероятностных предпосылок. В дальнейшем, идеи теории получили свое развитие и использовались при изучении разнообразных физических явлений и при решении широкого круга инженерных задач.
Необходимо подчеркнуть, что в 1914 г. М. Планк (1858-1847) и А. Фоккер (1887-1972) предпринимали попытки изучения явления диффузии инструментами теории вероятностей.
Н. Винер в середине двадцатых годов при изучении броуновского движения ввел в рассмотрение процесс, получивший название винеровского процесса (процесса броуновского движения).
Рассмотрим применение случайных процессов в изучении физических явлений. При необходимости анализа движения молекулы газа или жидкости будем отслеживать ее направление и скорость. Эта молекула, двигаясь хаотично, меняет направление движения и скорость в случайные моменты времени . Следовательно, состояние молекулы изменяется случайным образом и может быть представлено как случайный процесс. Этот процесс определен шестью параметрами - тремя координатами и тремя компонентами скорости. Для изучения многих физических явлений требуется вычислять вероятность того, что определенная доля молекул успеет за заданный промежуток времени перейти из одной области пространства в другую. Происходит диффузия.
Как быстро происходит процесс диффузии, по каким законам и когда образующаяся смесь становится практически однородной? На эти и многие другие вопросы дает ответы статистическая теория диффузии, базирующаяся на использовании теории случайных процессов.
Очевидно, что подобные же задачи решаются в химии, когда приступают к изучению химических реакций. Какая часть молекул уже вступила в реакцию, какая особенность протекания реакции со временем, когда реакция практически уже закончилась?
Аналогичные явления изучаются при радиоактивном распаде. Суть распада состоит в том, что атомы радиоактивного вещества распадаются, превращаясь в атомы другого элемента. Распад каждого происходит мгновенно, подобно взрыву, с выделением некоторого количества энергии. Многочисленные наблюдения показывают, что распад отдельных атомов происходит в случайно взятые моменты времени и расположение этих моментов, если количество распадающегося вещества не превосходит некоторого определенного критического предела, не зависит друг от друга. Для изучения процесса радиоактивного распада весьма важно определить вероятность того, что за определенный промежуток времени распадается то или иное число атомов.
Формально, если задаться целью выяснения только математической стороны явления, оказывается, что аналогично происходят многие другие процессы: обрывы нитей в прядильной машине, число броуновских частиц, оказавшихся в данный момент в определенной области пространства, вызовы от абонентов, поступающие на телефонную станцию и т.д.
Необходимо отметить, что с работ М. Смолуховского и А. Эйнтейна и с работ Эрланга, проявился широкий интерес к процессу Пуассона и распределению Пуассона.
В наши дни широко распространены гауссовские случайные процессы, хотя сам Гаусс о них не имел никакого представления, да и само исходное распределение задолго до его рождения было получено Муавром, Лапласом и др. В теории же ошибок измерений одновременно с Гауссом к нему пришел также Лежандр.
Датский ученый А. К. Эрланг (1878-1929) открыл новую область, где изучалась загрузка телефонных сетей. Случайные величины- число абонентов и длительность каждого разговора. Рассматривая этот случайный процесс, необходимо производить анализ загрузки и расчет технических характеристик телефонных сетей, коммуникационной аппаратуры и управляющих связью систем. Очевидно, что работы Эрланга оказали значительное влияние не только на решение коммутационных задач, но и на формирование элементов теории случайных процессов, в частности процессов гибели и размножения.
Во втором десятилетии XX века начались исследования развития биологических популяций. Итальянский математик Вито Вольтерра (1860-1940) разработал математическую теорию этого процесса на базе чисто детерминистских соображений. Позднее ряд биологов и математиков развивали его идеи уже на основе стохастических представлений. Первоначально и в этой теории применялись исключительно идеи процессов гибели и размножения. Собственно именно от задач биологии и пошло наименование этого очень частного типа случайных процессов.
А. А. Марков (1856-1922) представил ряд работ по изучению цепных зависимостей. Е. Е. Слуцкий (1880-1948) изучал теорию случайных функций. Эти ученые внесли значительный вклад в формировании общей теории случайных процессов.
Для этой цели уже был накоплен значительный исходный материал и необходимость построения теории как бы носились в воздухе. Оставалось осуществить глубокий анализ имеющихся работ, высказанных в них идей и результатов и на его базе осуществить необходимый синтез.
Огромную роль в создании общей теории случайных процессов сыграли статьи А.Н.Колмогорова "Об аналитических методах в теории вероятностей"(1931) и А.Я.Хинчина "Теория корреляции стационарных стохастических процессов"(1934). Однако основу теории теории случайных процессов в 1933 году заложила аксиоматика А.Н. Колмогорова.
Обе вышеупомянутые фундаментальные работы содержат не только научные математические результаты, но и глубокий философский анализ причин, послуживших исходным пунктом для построения основ теории случайных процессов. Отметим важнейший факт, что в работе А. Н. Колмогорова заложены основы теории случайных процессов без последствия и выведены прямые и обратные дифференциальные уравнения, управляющими вероятностями перехода. А. Н. Колмогоров также осветил теорию скачкообразных процессов без последствия, которая получила свое развитие в работах В. Феллера и В. М. Дубровского.
В 1936 году опубликована статья В. Феллера "К теории стохастических процессов", где были представлены интегро-дифференциальные уравнения для скачкообразных марковских процессов.
Теория случайных процессов продолжила свое бурне развиватие в XX веке. Родилось много различных направлений этой теории. Результаты исследований А.К. Эрланга в сфере загрузки коммутационных сетей, дали толчок к созданию теории массового обслуживания ("теории очередей"). Такие ученые, как Б.В.Гнеденко, Ю.К.Беляева, А.Д.Соловьева, И.Н.Коваленко внесли большой вклад в развитие теории массового обслуживания. В наши дни теория охватывает новые обширные области исследований, например, транспортные, коммутационные сети.
К.Ито (1915-2008) ввел понятие стохастического интеграла, называемого интегралом Ито, что привело к созданию стохастического исчисления и мощной теории стохастических дифференциальных уравнений.
Отметим, что методы стохастического анализа позволили решить сложные и важные задачи выделения ("фильтрации") сигнала на фоне шума. В наши дни актуальнейшими становятся исследования стохастических дифференциальных уравнений в частных производных.
Теория случайных процессов получила широчайшее применение при решении разнообразных задач оптимального управления. Например, задачи нахождения оптимальных режимов функционирования сложных систем. В 60-е годы XX века Р.Л.Добрушин (1929-1995), О.Лэнфорда и Д.Рюэля разработали теорию гиббсовских случайных полей, которая позволяет решать задачи интерпретации фазовых переходов состояний вещества.
Мощный толчок изучению турбулентности дала теория автомодельных процессов А.Н.Колмогорова, разработанная в 40-е годы XX столетия. Было доказано, что автомодельность характерна для многих физических процессов. В дальнейшее эту теорию развивал Б.Мандельброт и его последователи.
Необходимо отметить исследования У.Гренандера, И.А.Ибрагимова и Р.З.Хасьминского, в результате которых родились новые разделы математической статистики, относящиеся к изучению случайных процессов (например, прогноз и интерполяция).
Как правило, выделяются достаточно широкие классы случайных процессов и для их изучения используется соответствующий набор методов. По семействам независимых случайных величин (более общим образом, случайных элементов), которые существуют в силу теоремы Ломницкого - Улама, возможно строить новые случайные функции.
Хотелось бы добавить, что анализ траекторий сумм независимых случайных величин (иначе говоря, случайных блужданий) нашел применения в теории полимеров. Огромный интерес для исследователей представляет изучение также случайных блужданий в случайной среде.
В класс процессов с независимыми приращениями входят броуновское движение (называемое также винеровским процессом) и пуассоновский процесс.
В связи с актуальными в последнее время задачами стохастической финансовой математики большое значение приобрели также процессы Леви. Гауссовские процессы также находят широчайшее применение во многих прикладных областях.
Современный уровень развития биологии и медицины ставит новые задачи, требующие развития теории случайных процессов и полей, Исследования и работы многих математиков проводятся в области актуарной и стохастической финансовой математики.
Интересно, что зародившись из азартных игр, теории вероятностей и случайных чисел обрели «второе дыхание» в современном мире. Новые исследования, математические модели в этих областях стали невероятно востребованными в спортивном и букмекерском бизнесах.
Теория случайных процессов тесно связана с другими разделами математики. Так, в 2006 году А.Ю.Окуньков получил премию Филдса "за достижения, соединяющие теорию вероятностей, теорию представлений и алгебраическую геометрию". В 2010 году С.К.Смирнов был удостоен премии Филдса за "работы в области теории перколяции и исследование скейлинговых пределов в моделях статистической физики".
Очевидно, что в наши дни существует целый ряд самостоятельных направлений исследований в теории случайных процессов. Качественно новое значение приобрела теория случайных процессов с применением новейших современных технологий, возможностью компьютерного моделирования случайных процессов и полей.
История теории случайных процессов, рассмотренная выше, доказывает, что новое рождается в недрах старого и с течением времени вырастает в отдельную самостоятельную область исследований.
Цепи Маркова– частный случай случайного процесса.
Особое место в теории случайных процессов занимают Марковские процессы. Определяющее марковский процесс свойство принято называть марковским; впервые оно было сформулировано А.А.Марковым, который в работах 1907г. положил начало изучению последовательностей зависимых испытаний и связанных с ними сумм случайных величин. Это направление исследований известно под названием теории цепей Маркова.
Л. Башелье в своей работе уже предпринимал попытку трактовать броуновское движение как марковский процесс, попытку, получившую подтверждение исследованиями Винера в 1923 году. Построение основ другого класса случайных процессов на базе физических задач было осуществлено А.Я. Хинчином. Он ввел понятие стационарного процесса в широком и узком смысле и получил знаменитую формулу для коэффициента автокорреляции. Эта работа послужила основанием для последующих исследований Г. Крамера (1893-1985), Г. Вальда (1902-1950), А.Н.Колмогорова и многих других ученых. Основы общей теории марковских процессов с непрерывным временем были заложены А.Н.Колмогоровым.
А.А.Марков ввел (1906) понятие "цепная зависимость", что стало одной из основных предпосылок создания теории случайных процессов. Следует отметить, что построенная цепная модель случайных величин, теперь всем известная как цепь Маркова, возникла при изучении им расположения комбинаций гласных и согласных букв в тексте романа "Евгений Онегин". В дальнейшем цепь Маркова уже была использована и обобщена в ряде физических исследований.
А.А.Марков впервые начал изучение вероятностной связи случайных величин и создал теорию, которую можно назвать "динамикой вероятностей". В дальнейшем основы этой теории явились исходной базой общей теории случайных процессов, а также таких важных прикладных наук, как: теория диффузионных процессов, теория надежности, теория массового обслуживания и т.д. В настоящее время теория марковских процессов и ее приложения широко применяются в самых различных областях таких наук, как механика, физика, химия и др.
Благодаря сравнительной простоте и наглядности математического аппарата, высокой достоверности и точности получаемых решений, особое внимание марковские процессы приобрели у специалистов, занимающихся исследованием операций и теорией принятия оптимальных решений.
Марковские процессы делятся на процессы с дискретным и с непрерывным временем.
Процессы с "дискретным вмешательством случая" и идеи, восходящие к классическим задачам геометрических вероятностей (например, о "случайном бросании" на плоскость точки или иглы) привели позднее к созданию теории точечных случайных процессов (например, монографию Д.Штояна и Г.Штояна). В настоящее время маркированные точечные процессы также широко используются в моделях страхования.
Очень интересна модель Гальтона – Ватсона и область ее применения - анализ вымирания аристократических фамилий в Великобритании. Эта модель сформировали в 1873 году Ф.Гальтон и Г.Ватсона на основе проблемы вымирания рода известной аристократической семьи Бурбонов, что привело к "теореме вырождения". На ее основе во второй половине XX века начала развиваться теория ветвящихся процессов, изучающая эволюцию семейств рождающихся и гибнущих частиц, а также взаимодействия частиц различных типов.
На сегодняшний день существует мощная теория марковских процессов, имеющая применения в самых разнообразных областях, в частности, в биологии. На основе теории марковских процессов возникла теория марковских случайных полей. Широкое применение марковские цепи и поля находят в области распознавания образов. Хорошо известен также метод Монте-Карло марковских цепей (английская аббревиатура MCMC).
Страховой бизнес успешно применяет теорию марковских процессов. В диссертации Ф.Лундберга (1903) была введена модель, описывающая деятельность страховой компании. В этой работе впервые введен так называемый пуассоновский процесс, который позднее стал использоваться при изучении радиоактивного распада и в ТМО. В современной теории страхования широко применяются модели Крамера – Лундберга, в которой используется процесс Пуассона и Спарре – Андерсена, где введен процесс восстановления для описания поступления исков.
Заключение
Представленное исследование позволило сформировать достаточно полное представление об истории развития теории случайных процессов, о том, как возникла и как развивались эта теория.
Следует отметить, что история развития теории случайных процессов недостаточно полно отражена в литературе, особенно современные ее этапы. Б. В. Гнеденко в своей работе «Очерк по истории теории вероятностей» писал: «Практически исторический очерк ограничивается во времени сороковыми годами нашего столетия и только отдельные замечания относятся к более позднему времени…Я надеюсь на то, что вопросы теории вероятностей заинтересуют некоторых читателей и им удастся существенно дополнить настоящий очерк в ряде направлений»[5].
В настоящей работе проведено исследование истории теории случайных процессов на более поздних, современных этапах ее развития, что представляется нам актуальным и необходимым.
В ходе работы мы убедились в том, что теория вероятностей и теория случайных процессов, как ее раздел, имеет богатую и поучительную историю. Она наглядно показывает, как возникали основные понятия и развивались методы из задач, с которыми сталкивался общественный прогресс.
Мы проследили, как человечество переходило от первичных догадок к более полному и совершенному знанию, как создание теории вероятностей позволяло переходить от строгих детерминистических представлений к более широким стохастическим концепциям, тем самым открывая новые возможности для глубоких заключений о природе вещей.
Теория случайных процессов – динамично развивающаяся наука, в ней появляются новые направления исследований - оптимальное управление случайными процессами, теории мартингалов, теории просачивания, случайные операторы, вероятностные закономерности на алгебраических и топологических структурах. Эти направления являются актуальными на современном этапе развития общества.
Знакомство с историей становления и развития теории случайных процессов дает возможность понять предмет и источники становления этой теории, исследовать что предопределяет и мотивирует развитие математических наук, проанализировать роль различных дисциплин в развитии теории.
Библиография
Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов: прогноз и управление – М.: Мир, 1974. – 174 с.
Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов – М.: . Физматлит, 2005 – 215 с.
Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Наука, 1969. — С. 20. — 577 с.
Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов – М.: Наука., 1977. – 568 с.
Гнеденко Б. В. Очерк по истории теории вероятностей.- М.: Эдиториал УРСС , 2001. – 88 с.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. Изд. 8-е, испр. и доп. – М.: Едиториал, УРСС, 2005. – 448 с. (Классический университетский учебник).
Григорян М.Э. Дидактические функции истории математики // Успехи современного естествознания. 2014. № 11-2. С. 84-86.
Григорян М.Э. Формирование научного мировоззрения студентов средствами истории математики в процессе обучения теории вероятностей//Социосфера. 2014. №3. С. С. 87-89.
Григорян М.Э., Болдыревский П.Б. Роль истории развития теории вероятностей в формировании у студентов научной картины мира как основы мировоззрения // Успехи современного естествознания. – 2014. – № 12 (2). – С. 133-137
Дынкин Е.Б., Юшкевич А.А. Управляемые марковские процессы и их приложения. - Москва : Наука, 1975.
Иванова Т.А. Гуманитаризация общего математического образования: монография. Нижний Новгород: Издательство НГПУ, 1998.– 206 с.
Кемени Дж. Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. - М : Наука, 1970. - стр. 272.
Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии // Под ред. В.А. Успенского. – М.: Наука., 1991. – 224 с.
Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. – М:Государственное учебно–педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1963г. – 224 с.
Реньи А. Об истории теории вероятностей // Реньи А. Трилогия о математике. — М.: Мир, 1980. — 376 с. — С. 184—186.
Рыбников К.А. История математики. Уч.пособие для судентов математических специальностей университетов и пед.институтов. 2-е изд. – М.: Изд-во МГУ, 1974 г.
Соколов Г.А. Теория случайных процессов для экономистов – М.: Физматлит, 2008. – 208 с.
|
