Урок по алгебре Учитель: Карпенко С. В. Тема урока : «Перестановки»
Скачать 117.59 Kb.
|
| Урок по алгебре Учитель: Карпенко С.В. Тема урока: «Перестановки» Класс: 9 Цели урока: - Образовательные: Ввести понятие «перестановки», познакомить с типами задач на перестановки и методами их решения. - Развивающие: Развивать логическое мышление, внимание, навыки самостоятельной работы. - Воспитательные: Воспитывать патриотизм, культуру учебного труда, культуру речи. Оборудование: Цветная бумага, рабочие листы (Приложение 1), мультимедийная презентация. ПЛАН УРОКА: 1. Организационный момент. 2. Подготовка к восприятию нового материала. 3. Изучение нового материала. 4. Проверка понимания. 5. Закрепление изученного. 6. Итог урока. 7. Анализ результатов. 8. Инструктаж по домашнему заданию. Ход урока: 1. Организационный момент. Долгожданный дан звонок, Начинается урок. (Слайд 1) На практике часто приходится решать задачи, в которых надо составить ту или иную комбинацию элементов, согласно поставленному условию или производить подсчёт числа составленных комбинаций. Такие задачи получили название «комбинаторных», а раздел, изучающий эти задачи – «комбинаторика». Идеи и методы комбинаторики используются во многих разделах науки и техники. Простейшей комбинацией, которую можно составить из элементов конечного множества, установив в этом множестве порядок элементов, является «перестановка». Мы сегодня узнаем, что такое перестановка, как вычислять перестановку и научимся решать задачи, в которых используется понятие перестановки. 2. Подготовка к восприятию нового материала. У вас на парте лежат полоски красного, белого и синего цвета. Соберите, пожалуйста, флаг Российской Федерации. Как вы расположили полоски? Молодцы! (Слайд 2) А какое значение имеют цвета флага нашей страны? (белый цвет означает мир, чистоту, непорочность, совершенство; синий - цвет веры и верности, постоянства; красный цвет символизирует энергию, силу, кровь, пролитую за Отечество.) Молодцы! Вы настоящие граждане нашей страны. 28 апреля 1883 года было объявлено повеление Александра III, в котором говорилось: "Чтобы в тех торжественных случаях, когда признается возможным дозволить украшение зданий флагами, был употреблен исключительно русский флаг, состоящий из трех полос: верхней - белого, средней - синего и нижней - красного цветов". Три цвета флага, ставшего национальным, получили официальное толкование. Красный цвет означал "державность", синий - цвет Богоматери, под покровом которой находится Россия, белый - цвет свободы и независимости. Эти цвета означали также содружество Белой, Малой и Великой России. Флаги ещё каких стран состоят из полос красного, белого, синего цвета? (Франции, Голландии) (Слайд 3) Они отличаются от флага России? Чем? (расположением полос) Замечательно, что вы хорошо знаете флаг своей Родины! Интересно, сколькими способами можно составить флаг из горизонтальных полос белого, красного и синего цвета? Эта проблема будет нашей первой задачей, из множества тех задач, решением которых мы сегодня займемся. Откройте тетради, запишите число и тему урока. (Сегодня…, Тема урока: «Перестановки.») Записать на доске, а учащиеся в тетрадях. Задача №1. «Флаги» Вам требуется найти количество всех способов, которыми можно составить трехцветный флаг из горизонтальных полос красного, белого и синего цветов. Для того чтобы найти все эти способы, проведем небольшой эксперимент: вы будете переставлять полоски, которые расположены у вас на парте, а результат этих перестановок фиксировать в тетрадь. Давайте обозначим каждый цвет буквой, с которой он начинается К – красный, Б – белый, С – синий. (учащиеся работают с полосками цветной бумаги попарно, пройти посмотреть записи учащихся в тетрадях,) 1 способ – перебор вариантов. (Слайд 4) Это решение можно оформить следующим образом:
В этой таблице 3 столбца, 2 строки, значит всего 2*3=6 способов составить трехцветный флаг из горизонтальных полос красного, белого и синего цветов. Итак, без всяких математических действий, методом перебора всех вариантов мы решили эту задачу. Попробуем решить эту же задачу другим необычным способом. Он называется «Дерево возможностей».(Слайд 5) 2 способ – «Дерево возможностей».  Итого: 6 способов. Эту задачу мы решили разными способами, а результат получили один и тот же. Таким образом, сколькими способами можно выбрать белый цвет? (3) Сколькими способами можно выбрать красный цвет, если белый уже выбран? (2) Сколькими способами можно выбрать синий цвет, если белый и красный уже выбраны? (1) Получается: 3*2*1=6 способов Эту задачу мы решили разными способами, и любой из них вы можете использовать при решении таких задач. Задача №2. «Квартет» (название задачи записать после того, как узнают произведение) (Слайд 6) Проказница мартышка, Осел, Козел, Да косолапый мишка Затеяли сыграть квартет… Вам знакомо это произведение? Как оно называется и кто автор этого произведения? («Квартет» И.А.Крылов) Какое отношение имеет эта басня к нашему уроку? (животные рассаживаются разными способами, для того чтобы лучше сыграть на музыкальных инструментах) Значит, эту задачу мы назовем «Квартет». На первое место мы можем посадить и осла, и козла, и мишку, т. е. 4*3*2*1=24. Итак, если бы в спор не вмешался соловей, то этим горе-музыкантам пришлось бы пересаживаться 24 раза. В каком случае им не пришлось бы этого делать? (Если бы они логически подумали, то им не пришлось заниматься бессмысленной работой) 3. Изучение нового материала В решённых нами задачах были подсчитаны всевозможные комбинации из трёх, четырех элементов. Чем отличаются полученные комбинации? (Ответ: полученные комбинации отличаются только порядком элементов). Такие комбинации называют перестановками.(Слайд 7) Прочитать определение. (Определение: Конечное множество, в котором установлен порядок его элементов, называют перестановкой.) (иначе: “Каждое расположение элементов множества в определенном порядке называют перестановкой”) (Учащимся: определение “перестановок из n элементов” записать в тетрадь, выучить, рассказать соседу по парте) Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок, которую можно сформулировать так: сколькими способами можно переставить n различных предметов, расположенных на n разных местах? Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Pn (P – первая буква французского слова permutation – перестановка). Читается: “Число перестановок из эн элементов” или “Пэ из эн”. (Слайд 8) Если n=1, то Р1=1 Если n=2, то Р2=2 (Проговорить для решённых задач) (Слайд 9)Чтобы найти число всех перестановок множества из n предметов – например, число способов, которыми можно расставить n томов на книжной полке, – обычно рассуждают таким образом. Первым можно поставить любой из n предметов, вторым – любой из (n – 1) оставшихся предметов, третьим любой из (n – 2) оставшихся предметов и т. д. В результате число перестановок будет равно произведению n множителей n (n – 1) (n – 2) ... ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = n! (Слайд 10)Произведение первых подряд идущих n натуральных чисел в теории вероятностей обозначают n! и называют «эн факториал». В переводе с английского означает «состоящий из n множителей». (Слайд 11)
А значение выражения 15!, которого нет в таблице, превосходит 1015, а именно 15!=1 307 674 368 000. Может быть, именно из-за быстрого роста факториалов восхищенный изобретатель этого выражения использовал восклицательный знак. При использовании символа n! формула (1) принимает вид Pn= n! 4. Проверка понимания 1)Сколькими способами можно составить список из 8 учеников, если у них различные инициалы? (слайд 12) 2) На первом этаже нашей школы четыре кабинета для проведения уроков русского языка, математики, географии, автодела. Сколькими способами можно распределить кабинеты на этаже? 3)Сколькими способами можно обозначить вершины куба буквами А, В, С, Д, Е, F, G, К? 4)Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать? 5)Сколькими способами можно из цифр 0, 2, 3, 5 составить четырехзначное число такое, чтобы цифры в нем не повторялись. (выслушать ответы и дать одному с правильным ответом показать решение на доске) Ответ: 3*3*2*1=18 способов. Вывод: Оказывается, не все задачи можно решить по правилу умножения, поэтому при решении задач на перестановки нужно быть очень внимательными. Иногда логические рассуждения более полезны. 5. Закрепление изученного 1)Разобрать решение задачи. Сколькими способами можно составить список 8 учеников, так, чтобы два указанных ученика располагались рядом? (Слайд 13) М  ожно считать двоих указанных учеников за один объект и считать число перестановок уже 7 объектов, т.е. Т  ак как этих двоих можно переставлять местами друг с другом, необходимо умножить результат на 2!2) Индивидуальная работа 2 учащихся на листках (№1323, 1330). 3) Самостоятельная работа с последующим объяснением у доски. 1) В расписании 7 класса на четверг должно быть 6 предметов: русский язык, литература, алгебра, география, физика, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день? Решение. Число способов, которыми можно составить расписание, равно числу перестановок из шести элементов: P6=6!=1*2*3*4*5*6=720. 2) Сколькими способами можно составить расписание из тех же 6 предметов, если требуется, чтобы урок физкультуры был последним? Решение. У урока физкультуры фиксированное место, поэтому расписания отличаются порядком остальных 5 предметов. Значит, число таких расписаний равно числу перестановок из 5 элементов: P5=5!= 120. 3) Сколькими способами из тех же 6 предметов можно составить такое расписание, в котором русский язык и литература стоят рядом? Решение. Будем рассматривать русский язык и литературу как один предмет, тогда всего предметов будет пять. Число способов, которыми можно составить расписание из 5 предметов, равно P5=5!. Но в каждой из этих перестановок русский язык и литература могут меняться местами. Поэтому искомое число расписаний вдвое больше. Оно равно 5!*2=240. 4) Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 0,1,2,3, причём цифры в числе должны быть разные? Решение: Количество всех чисел равно Р4, но число не может начинаться с нуля. Значит, надо исключит количество перестановок, начинающихся с цифры 0. Таких перестановок Р3. Запишем: Р4- Р3=4!-3!=3!(4-1)=6*3=18 5) Имеется 10 различных книг, среди которых есть трёхтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить книги на полке, если книги трёхтомника должны находиться вместе, но в любом порядке? Пусть трёхтомник –это одна книга. Тогда у нас книг не 10, а 8. Их можно расставить Р8 способами, а в трёхтомнике книги можно расставить Р3 способом. Поэтому: Р8*Р3=8!*3!=241920 6. Итог урока
7. Анализ результатов Настало время показать то, чему вы научились на уроке и насколько вы внимательны. На парте лежат задания по вариантам. Выполните задания, выберите из предложенных ответов правильный, и запишите его в тетрадь. А теперь проверьте работы друг друга. Поверка выполнения теста. (Критерии: выполнил правильно сам и проверил без ошибок работу соседа – 5, одна ошибка – 4, две ошибки- 3) Вариант 1 Вариант 2 1. Найти значение выражения 6! 1.Найти значение выражения 7! а) 5040 б) 120 в) 720 г)540 2. Найти значение выражения 6!-4! 2. Найти значение выражения 7!-3! а) 2! б) 5034 в)696 г)4! 3. Сколько существует способов 3. Сколько существует способов рассадить 5 человек за столом? расставить 4 книги? а) 20 б) 120 в) 12 г)24 4. Сколько четырёхзначных чисел 4. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 2,3,4,5, можно составить из цифр 3,4,5, чтобы цифры не повторялись? чтобы цифры не повторялись? а) 24 б) 120 в) 6 г) 60 8. Инструктаж по домашнему заданию П. 57(прочитать, разобрать), выбрать, записать и решить 3 задачи из сборника по подготовке к ГИА стр. 221, решаемые с помощью перестановок. Литература:
ПЕРЕСТАНОВКИ Определение: Конечное множество, в котором установлен порядок его элементов, называют перестановкой. Обозначение: Рn (пэ из эн) Рn= n! ТАБЛИЦА ФАКТОРИАЛОВ
Устные задачи: 1)Сколькими способами можно составить список из 8 учеников, если у них различные инициалы? 2) На первом этаже нашей школы четыре кабинета для проведения уроков русского языка, математики, географии, автодела. Сколькими способами можно распределить кабинеты на этаже? 3)Сколькими способами можно обозначить вершины куба буквами А, В, С, Д, Е, F, G, К? 4)Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать? 5)Сколькими способами можно из цифр 0, 2, 3, 5 составить четырехзначное число такое, чтобы цифры в нем не повторялись? Задачи для самостоятельной работы: 1) В расписании 7 класса на четверг должно быть 6 предметов: русский язык, литература, алгебра, география, физика, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день? 2)В расписании 7 класса на четверг должно быть 6 предметов: русский язык, литература, алгебра, география, физика, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание если требуется, чтобы урок физкультуры был последним? 3) В расписании 7 класса на четверг должно быть 6 предметов: русский язык, литература, алгебра, география, физика, физкультура Сколькими способами можно составить такое расписание, в котором русский язык и литература стоят рядом? 4) Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 0,1,2,3, причём цифры в числе должны быть разные? 5) Имеется 10 различных книг, среди которых есть трёхтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить книги на полке, если книги трёхтомника должны находиться вместе, но в любом порядке? ТЕСТ Вариант 1 Вариант 2 1. Найти значение выражения 6! 1.Найти значение выражения 7! а) 5040 б) 120 в) 720 г)540 2. Найти значение выражения 6!-4! 2. Найти значение выражения 7!-3! а) 2! б) 5034 в)696 г)4! 3. Сколько существует способов 3. Сколько существует способов рассадить 5 человек за столом? расставить 4 книги? а) 20 б) 120 в) 12 г)24 4. Сколько четырёхзначных чисел 4. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 2,3,4,5, можно составить из цифр 3,4,5, чтобы цифры не повторялись? чтобы цифры не повторялись? а) 24 б) 120 в) 6 г) 60 Карпенко С.В. МОУ-лицей № 10 г. Белгород |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Урок» Тема урока «Квадратное уравнение» (урок по алгебре в 8 классе) Муниципальное образовательное учреждение Обходская основная общеобразовательная школа Уренского муниципального района Нижегородской... | | Видоизменения подземных побегов Учитель Учитель: Карпенко Ольга Геннадьевна, учитель химии и биологии I квалификационной категории |
| Урок-квн в 10 ом классе по алгебре и началам анализа Тема урока:... Повторение и закрепление изученного материала по теме урока в процессе выполнения заданий | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторением. Формула Ньютона для степени... |
| Урок по алгебре в 8 классе. Тема урока: способы решений квадратных уравнений. Цель урока Цель урока: провести игру «Счастливый случай» в закрепление и обобщение способов решения квадратных уравнений | | Конспект урока. Учитель: Шарапова Лариса Игоревна класс: 7 предмет:... Тип урока: урок обучения умениям и навыкам с использованием цифровых образовательных ресурсов |
| Урок по алгебре и началам анализа в 11-й классе Тема урока «Показательная функция» Воспитательная – воспитывать потребность в объективной оценке результатов, умение работать в группе | | Урок геометрии и информатики. Тема урока по учебному плану: Построение... ... |
 | Урок по алгебре и началам анализа и информатике Тема урока : «Функции... Первичное повторение пройденного материала. Закрепление материала в ходе индивидуального опроса | | Урок по алгебре в 9 классе. Тема: «Обобщающий урок по теме «Прогрессии» Формы организации познавательной деятельности: индивидуальная, фронтальная, самостоятельная |
| Конспект урока по математике на тему «Перестановка слагаемых» Цель урока: вывести правило о том, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется | | Конспект урока по алгебре II курс нпо тема урока: «Логарифмические... Урок подготовила : преподаватель математики гбоу нпо пу №79 п. Вербилки мо бушева И. Н |
| Урока по алгебре тема урока: «арифметическая и геометрическая прогрессии» Оборудование: компьютерная презентация (PowerPoint), задания с готовой основой, листы самооценки и рефлексии | | Конспект урока по алгебре тема урока. Первообразная Учебное оборудование. Кабинет математики, мультимедийный проектор, экран, магнитная доска, чертежные принадлежности |
| Урока по алгебре в 8 классе. Тема: «Стандартный вид числа» | | Урока Урок математики. 1 класс. Петерсон Л. Г. Тема урока: «Области... Урок математики. 1 класс. Петерсон Л. Г. Тема урока: «Области и границы». Учитель: Бурдина Я. В |
