Программа элективного курса «Калейдоскоп неравенств»

ТЕМА 3. Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств методом интервалов. Занятия 1 – 2. Цели занятия: - повторить понятия «рациональное неравенство», «дробно- рациональное неравенство»; - продолжить формирование умения решать квадратные, рациональные и дробно-рациональные неравенства методом интервалов; - развитие самостоятельности, рефлексивных умений, умений самоконтроля. Ход занятия: Теоретический материал. Рациональные и дробно-рациональные неравенства - это неравенства вида Рn(x)>0, , , где Pn(x), Qm(x) –многочлены степеней n и m. Осуществляется переход к равносильному неравенству Pn(x)∙ Qm(x)>0 и Pn(x)∙ Qm(x)<0. Для решения рациональных дробно-рациональных неравенств обычно применяется метод интервалов. Метод интервалов часто применяется и при решении квадратных неравенств. II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений. Решите неравенства: 1) x2-4x+3<0; 7) (х2-7х+12)(х2-х+2)≤0; 2) х2-3х+2≤0; 8) ; 3) 2x2+7x-4<0; 9) ; 4) 3х2-5х-2>0; 10) ; 5) 4x2-4x+1≥0; 11) . 6) III. Задания для самостоятельного решения. Для развития самостоятельности, рефлексивных умений, проведения самоконтроля, учащимся может быть предложена самостоятельная работа или тест по решению квадратных, рациональные и дробно-рациональные неравенства методом интервалов. Самостоятельная работа. В – 1. В – 2. Решите неравенства: (2 – х )(х + 3) ≥ 0, (1 – х) (х + 4) > 0, 4х2 + 4х + 1 ≤ 0, 9х2 + 6х + 1 > 0, х – х2 – 1 ≥ 0, 3х -х2 – 1 ≥ 0, (х + 4)2(х – 2) < 0, (х – 2)2(х + 1) > 0, Тест. В – 1. В – 2. 1. Решить неравенство: х2 – 2х – 3 < 0. х2 – 3х – 4 > 0. а) -1 < х < 3; в) х < -1, х > 3; а) -1 < х < 4; в) х < -1, х > 4; б) -3 < х < 1; г) х < -3, х > 1. б) -4 < х < 1; г) х < -4, х > 1. 2. Решить неравенство: х2 < 9. 16 > х2. а) х < 3; в) -3 < х < 3; а) х < 4; в) х < 4; б) х < -3; г) х < -3, х > 3. б) -4 < х < 4; г) х < -4, х > 4. 3. Решить неравенство: . . а) х < 2; в) 0 < х < 2; а) х ≤ 3; в) 0 < х ≤ 3; б) х > 2; г) х < 0, х > 2. б) х > 3; г) х > 2. 4. Найдите натуральное значение параметра р, при котором множество решений неравенства содержит пять целых чисел: (1 + х)(р – х) ≥ 0. х(х – р) ≤ 0. а) 1; в) 3; а) 1; в) 4; б) 2; г) 4. б) 2; г) 3. 5. Найти область определения функции: -13- у = . у = а) (-1,1; 0) U (1,2; +∞); в) (-∞; 0) U [1,2; +∞); а) [-∞; -3]; в) (-∞; -3] U [3; +∞); б) [-1,1; 0] U [1,2; +∞]; г) (0;1,2). б) [3; +∞); г) (-∞; -3) U (3; +∞). Ключ ответов к тесту: 1 2 3 4 5 В-1 а в г в б В-2 в б в в в IV. Подведение итогов. ТЕМА 4. Решение иррациональных неравенств. Занятие 1. Цели занятия: - повторить понятие «иррациональное неравенство», - повторить алгоритм и отработать навык решения иррациональных неравенств базового уровня сложности. Ход занятия: Теоретический материал. Под иррациональными неравенствами понимаются неравенства, в которых неизвестные величины находятся только под знаком корня (радикала). Обычный способ решения таких неравенств заключается в сведении их к рациональным неравенствам. Освободить иррациональное неравенство от корней иногда удается путем возведения обеих частей неравенства в степень корня. Помни: при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное исходному неравенству. Если обе части неравенства возводят в четную степень, то получается неравенство, которое будет равносильно исходному лишь тогда, если обе части исходного неравенства неотрицательны. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений. Рассмотрим несколько заданий, в которых необходимо решить иррациональное неравенство. 1. . ОДЗ: х-5 ≥0, х≥5. Возведем обе части неравенства в квадрат, получим x-5<1, x<6. Учитывая ОДЗ, изобразим решение на числовой прямой:. Ответ: [5; 6). 2. ОДЗ: -х≥0, х≤0 Разделим обе части неравенства на неотрицательное выражение, получим (х+1) > 0, х+1>0, x>-1. Найдем пересечение полученного множества с ОДЗ: . Ответ: (-1; 0]. 3. . ОДЗ: х≥0. Левая часть неравенства неотрицательная, правая часть отрицательная. Следовательно, неравенство выполняется при всех допустимых значениях х. Ответ: [0; +∞). 4. . ОДЗ: 9х-20≥0, 9х≥20, . С учетом ОДЗ правая часть неравенства тоже неотрицательная. Значит, обе части неравенства можно возвести в квадрат: 9x-202; x2-9x+20>0, x2-9x+20=0, x1,2=, x1=5, x2=4. x2-9x+20= (x-5)(x-4), (x-5)(x-4)>0, решив неравенство методом интервалов, получим: x<4, x>5. Ответ: (-∞;4) U (5;+∞). 5. . ОДЗ: x+61≥0, x≥ -61. Правая часть неравенства при x≥ -61 может быть отрицательна. Рассмотрим два случая: 1) х+5≥0, х≥-5, тогда обе части неравенства неотрицательные и обе части можно возвести в квадрат: x+612 + 10x+25, x2+9x-36>0, x2+9x-36=0, х1,2=, х1=3, х2=-12, тогда x2+9x-36= (х-3)(х+12). Решив неравенство(х-3)(х+12)>0 методом интервалов ,получим: x<-12, x>3. Найдем пересечение данного множества с множеством х≥-5 и с ОДЗ, получим x>3. 2) x+5<0, x<-5, при этом правая часть неравенства отрицательная. Такое неравенство не верно, т.е. рассматриваемый промежуток не содержит решений исходного неравенства. Ответ: (3; +∞). 6. . ОДЗ: x+7 Правая часть неравенства может быть отрицательной. Рассмотрим 2 случая: x+1 х≥-1. Тогда х+7>(х+1)2; x+7> x2+2x+1, x2+x-6<0. x2+x-6=0, x1,2= х1=2, x2=-3. Решив неравенство (x-2)(x+3)<0 методом интервалов, получим -3 Найдем пересечение найденного решения с множеством х≥-1 и ОДЗ, получим хє[-1;2). x+1<0, x<-1. Правая часть неравенства отрицательная, значит исходное неравенство верно при всех действительных значениях х, входящих в ОДЗ. Значит, 7. Ответом будет объединение множеств значений переменной х, полученных в обоих случаях. Ответ: [-7; 2). (x-1) . ОДЗ: x2-x-2≥0, х≤-1, x. 1) Корнями уравнения (x-1) являются x1=-1, x2=1; x3=2. 2) Найдем решение строгого неравенства (x-1). Разделим обе его части на .Получим: х<1. Окончательное решение исходного неравенства видно из рисунка: Ответ: (-∞; -1), х=2. II. В конце занятия учащимся целесобразно предложить домашнее задание. Решите неравенства: 1) , 3) , 2) (х-1), 4) . III. Подведение итогов. ТЕМА 5. Решение неравенств, содержащих модуль. Занятие 1. Цели занятия: - повторить решение неравенств, содержащих знак модуля; - закрепить изученный материал в ходе решения упражнений; - развитие интеллектуальных способностей, обобщенных умственных умений. Ход занятия: Теоретический материал. Неравенства, содержащие знак модуля, следующего вида: (1) (3) (2) (4) Решить неравенства можно тремя способами. Например, рассмотрим решение неравенства : 1 способ 2 способ 3 способ а рассматривается как расстояние на координатной прямой. Пример: , - расстояние между точками х и 1 Ответ: (-1;3). Если а>0, то и а возводим в квадрат. Если а<0, то (1) и (2) верны всегда, а (3) и (4) не имеют решений. Пример: , (x-1)2<4, х2-2x-3<0, -1 Ответ: (-1;3). По определению модуля: Пример: или 1≤х<3. -1 Объединяем оба решения. Ответ: (-1;3) Опорные неравенства 1) 3) 2) 4) II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений. 1. Решить неравенство 2-м способом: (x+4)2≥1 <=> x2+8x+16≥1 <=>x2+8x+15≥0 <=>(x+3)(x+5)≥01 <=>x≤-5; x≥-3. Ответ: (-∞;-5) U (-3; +∞). 2. Решить неравенство 1-м способом: 3. Решить неравенство и указать наименьшие целые положительные решения: x=-2 и x=2 точки, обращающие один из модулей в ноль (критические точки). 1) при х<-2 получим: -x+2-x-2≤4, -2x≤4, x≥-2. Неравенство на этом промежутке не имеет решения. 2) при -2≤x<2 получим: -x+2+x+2≤4. 0∙x≤0, хєR. Решением неравенства является промежуток -2≤х<2. 3) при х≥2 получим: х-2+х+2≤4, 2х≤4, х≤2. Решением неравенства является х=2. Ответ: [-2;2]; 1. Задания для самостоятельного решения. 1. . Ответ: нет решений. 2. . Ответ: нет решений. 3. . Ответ: -8 4. . Ответ: x<-2, x>0. 5. . Ответ: (-∞;-5) U (3;+∞). III. Подведение итогов. Урок – практикум. Цели занятия: - отработка умений и навыков решения различных видов неравенств; - коррекция умений, полученных на занятиях; - развитие самостоятельности, умений самоконтроля. Ход занятия: Актуализация опорных знаний учащихся. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений. 1 уровень (базовый). Решите неравенства: 1. 6-8x≥5x+19. Ответ: (-∞;-1]. 2. 3x-11<7x+9. Ответ: (-5;+ ∞). 3. 7-2x<-23-5(x-3). Ответ: x<-5. 4. 8x+12>4-3(4-x). Ответ: x>-4. 5. 1-3x≤2x-9. Ответ: x≥2. 6. 7-5x≥-11-11x. Ответ: x≥-3. 7. (2-x)(x+3)≥0. Ответ: [-3;2]. 8. (1-x)(x+4)>0. Ответ: (-4;1). 9. x2<0,81. Ответ: (-0,9; 0,9). 10. x2≥0,04. Ответ: (-∞;-0,2] U [0,2;+ ∞). 11. 4x2≤1. Ответ: -0,5≤x≤0,5. 12. . Ответ: (-∞;-3] U [3;+ ∞). 13. (x-2)2(x+1)>0. Ответ: (-1;2) U (2;+∞). 14. 9x2+6x+1>0. Ответ: (-∞;-)U . 15. . Ответ: x≤-2,4; x≥4,4. 16. . Ответ: . 17. . Ответ: x>2,5. 18. . Ответ: y>-4. 19. . Ответ: x – любое. 20. . Ответ: x – любое. 21. . Ответ: нет решений. 2 уровень (повышенный) Решить неравенства: x4-4x3+4x2-1≤0. Ответ: [1-; 1+]. x4-6x3+9x2-4≥0. Ответ: (-∞; ] U [1; 2] U [; +∞). |х2-5х|≥6. Ответ: (-∞; -1] U [2; 3] U [6; +∞). Найти сумму целых решений неравенства лежащих на промежутке [-8; 8]. Ответ: 5+6+8=19. III. Подведение итогов. Урок контроля знаний. Цели занятия: - проверить уровень усвоения учащимися изученного материала по теме «Решение неравенств различных видов». Ход занятия: Организационный момент. Итоговое тестирование по теме «Решение неравенств». Вариант I Вариант II № 1. Найдите наибольшее целое решение неравенства: 4(х – 7) – 2(х + 3) ≤ -10. (х – 1) + 7(х + 2) < 27. а) 7, в) 12, а) 2, в)1, б) 0, г) 5. б) 0, г) 3. №2. Найдите наименьшее целое решение неравенства: а) 1, в) 2, а) 0, в) 2, б) 0, г) 3. б) 1, г) 4. № 3. Решите неравенство: -2х2 + 3х + 2 ≥ 0. -6х2 – х + 1 > 0. а) свой ответ, а) свой ответ, б) (-∞; -½) U ( 2; +∞), б) (-½; ⅓), в) [-½; 2], в) (-∞; -½) U (⅓; +∞), г) (-∞; -½] U [2; +∞). г) (-∞; -½] U [⅓; +∞). № 4. Решить неравенство: а) [-3; 2], в) (-3; 2), а) (-∞; 1,5), в) (-∞; 1,5] U [8; +∞), б) [-3; 2), г) (-3; 2]. б) (1,5; 8), г) (-∞; 1,5) U (8; +∞). № 5. Решите неравенство. ׀ х - 1׀ ≤ 2. ׀х - 4׀ ≥ 5. а) -1 ≤ х ≤ 3, в) х < -1, а) х > 1, в) х ≥ -1, б) х ≤ -1, г) х ≤ 3. б) х ≥ 9, х ≤ -1, г) х > 9. № 6. Сколько целочисленных решений имеет неравенство: х2 + 7х ≤ 30. 3х – х2 > -40. а) 12, в) 13, а) 8, в) 10, б) 14, г) 0. б) 9, г) 12. № 7. Решить двойное неравенство: -3-1. -3-1. а) < х ≤-3, в) ≤ х ≤-3, а) ≤ х ≤-2, в) х < -2, б) х ≤ , г) х ≥ -3. б) < х <-2, г) х >. № 8. При каких значениях х имеет смысл выражение: а) (-∞; 2), в) (2; 3], а) (-∞; -2,5] U [8; +∞), в) (-∞; 2,5), б) (2; 3), г) (2, 3]. б) (-∞; -2,5)U (8; +∞), г) (8; +∞). № 9. При каких значениях параметра р квадратное уравнение имеет действительные корни: х2 – 12рх – 3р = 0 х2 + 2рх + (р + 2) = 0 а) (-∞; -0,5], в) [0; +∞), а) (-∞; -1), в) (-∞; -1] U [2; +∞), б) (-∞; -1/12] U [0; +∞), г) (-0,5; 0). б) (-∞; -1], г) (2; +∞). Ключ к тесту: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 В-1 в б в в а б в б в В-2 в в б б б г а б в III. Подведение итогов.

Похожие:

	Программа элективного курса «Разнообразные способы решения иррациональных... «Разнообразные способы решения иррациональных уравнений и неравенств» весьма актуальна. Ее рассмотрение обобщает опыт изучения в...		Паспорт рабочей программы элективного курса стр. 4 Структура и содержание элективного курса Рабочая программа элективного курса Введение в профессию является частью образовательной программы спо, входящей в состав укрупненной...
	Программа элективного курса для учащихся 11 классов решение уравнений и неравенств Наибольшую сложность представляют задания с модулем, с параметром, иррациональные неравенства и умение их решать во многом предопределяют...		Основная образовательная программа высшего профессионального образования Элективный курс по электротехнике – Знакомство с элективными курсами. Даётся краткий анализ составления элективного курса «Электротехника»....
	Тема: Сложение и умножение числовых неравенств. Тип урока Обучающие: Рассмотреть теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств и научить применять их при оценке выражений,...		Пояснительная записка Особенности курса Программа элективного курса... Данная программа элективного курса относится к предметно-ориентированному виду программ
	Элективный курс по электротехнике Дана общая форма составления элективного... Элективный курс по электротехнике – Знакомство с элективными курсами. Даётся краткий анализ составления элективного курса «Электротехника»....		Программа элективного курса «Химия и окружающая среда» Содержание элективного курса нацелено на формирование у учащихся химико-экологических знаний, умений, норм поведения и на развитие...
	Программа элективного курса на тему: «Математика метод познания окружающего мира» Цель данного элективного курса: подготовка учащихся к продолжению образования, повышение уровня их математической культуры		Рабочая программа элективного курса в 9 классе «Графический дизайн. Adobe Photoshop» Требования к минимально необходимому уровню знаний учащихся, необходимых для успешного изучения элективного курса 6
	Программа элективного курса по биологии "Здоровье человека и окружающая среда" Лекционная и практическая части курса предполагают широкое использование видеофильмов, слайдов, сети Интернет, наглядных пособий....		Программа «Фабрика здоровья» Программа элективного курса разработана на основе авторской программы элективного курса Л. Н. Бородачёвой, учителя биологии моу сош...
	Программа элективного курса по химии Одним из вариантов решения этой проблемы является включение в учебный план элективного курса «Строение и свойства кислородсодержащих...		Рабочая программа элективного курса по английскому языку «Лингва. Страноведение. Великобритания» Программа элективного курса по страноведению предназначена для учащихся 5 класса и рассчитана на 17 часов
	Программа элективного курса «Избранные вопросы физики» (2ч в неделю, всего 68часов) ...		Урок: «Математический калейдоскоп». Тип урока : Урок обобщения и систематизации знаний. Тема Тема: Подготовка к контрольной работе по темам: «Решение неравенств с одной переменной с помощью графика квадратичной функции и методов...