Конспект урока
«Квадрат суммы» и «квадрат разности».
Тема урока:
«Квадрат суммы двух выражений» и «Квадрат разности двух выражений».
Тип урока:
урок смешанного типа
Цели:
Обучающие: ввести понятия формулы сокращенного умножения, квадрат суммы и квадрат разности; вывести формулы квадрата суммы и квадрата разности алгебраически и научить применять их при выполнении заданий.
Развивающая: продолжить развивать аналитические, развивать умение анализировать, классифицировать, развивать память, математическую речь.
Воспитательная: привитие интереса к предмету, воспитание у учащихся чувства товарищества, уважительного отношения друг к другу, культуры общения.
Формирование УУД.
Личностные УУД: помочь раскрыть и развить в каждом ученике его сильные и позитивные личные качества и умения.
Познавательные УУД: учить учащихся учиться, помогать ученикам овладевать наиболее продуктивными методами учебно-познавательной деятельности, учить применять свои знания.
Регулятивные УУД: учить контролировать свою работу на уроке, адекватно оценивать выполненную работу, выполнять свои действия по заданному образцу и правилу, учить видеть и исправлять ошибки.
В результате ученик:
• Знает о существовании ФСУ «квадрат суммы» и «квадрат разности».
• Знает название изученных формул.
• Знает словесную и символьную записи этих формул.
• Читает изученные формулы.
• Понимает, что эти формулы позволяют сокращённо умножать выражения вида ( a ± b ) 2 .
• Применяет в стандартных ситуациях.
Речь учителя
|
Речь ученика
|
Здравствуйте, ребята. Эпиграфом нашего урока являются слова Л.Н.Толстого: «Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью».
|
|
«Ещё в глубокой древности было подмечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. Так появились формулы сокращённого умножения. Их несколько. Сегодня вам предстоит «открыть» две из этих формул».
Как вы думаете, судя по названию для чего нужны эти формулы?
Какова же цель урока?
|
- Чтобы облегчить процесс умножения.
- Познакомиться с некоторыми ФСУ, доказать их и научиться применять.
|
Совершенно верно.
Выполним несколько устных упражнений, посмотрите на доску.
Упр1.
- Даны выражения a и b, записать символически:
- Квадрат a:
- Квадрат b:
- Разность квадратов a и b:
- Сумма квадратов a и b:
- Произведение a и b:
- Удвоенное произведение a и b:
- Сумма a и b:
- Разность a и b:
- Квадрат суммы a и b
- Квадрат разности a и b:
Упр2.
- Прочитать записи:
1) 32-x2
2) (m+n)2
3) (2y)2
4) (1-z)2
Упр3.
- Найти квадраты выражений:
1) 3
2) n2
3) у
4) -4
5) -у
- Однозначно ли находится квадрат выражения?
Упр4.
- Даны квадраты выражений, найти выражения:
1) y2
- Однозначно ли находится выражение по его квадрату?
- Какое ещё выражение в квадрате даст у2?
- Как называются выражения у и -у?
2) 16
3) m4
4) 9
Упр5.
- Найти удвоенное произведение следующих выражений:
1) 2 и 1
2) x и 3
3) 4 и y
4) 2 и 2у
- Однозначно выполняется это упражнение?
Упр6.
- Представить выражение в виде удвоенного произведения двух выражений:
1) 8y
- Однозначно ли такое представление?
- Приведите примеры других представлений.
- Сколько таких представлений?
2) 6x
3) 2ab
- Откройте рабочие тетради, запишите сегодняшнее число …Классная работа и тему урока «Формулы сокращённого умножения».
Выполним задание я на доске, вы в тетрадях.
Прочитать запись и раскрыть скобки:
(3+х)2
- Какое действие нам надо выполнить?
- А что значит возвести в квадрат?
- Как мы перепишем выражение (3+х)2
- Какое действие мы должны выполнить?
- Умеем мы это делать?
- Каким правилом будем пользоваться?
- Сформулируйте правило.
- Выполните умножение, что у вас получилось?
- Можно ли ещё как-нибудь преобразовать полученное выражение.
- Какие слагаемые называются подобными?
- Что получили в результате преобразования?
- Следующий пример:
(у+4)2
Решает и комментирует.
- Перепишем решённые примеры без промежуточных результатов.
- Какие выражения мы имели перед упрощением?
- Что их объединяет?
- Какие математические объекты мы получили в результате?
- Сколько членов в полученных многочленах?
- Посмотрите внимательно на результат примера ( I ) , как связаны выражения 9, 6х и х2 с выражениями, стоящими в скобках 3 и х?
- Рассмотрим результат примера ( II )
- Итак, мы рассмотрели 2 примера, в чём их сходство?
- Попробуйте на основе данных примеров предположить, чему равен квадрат суммы двух выражений.
- Как записать это утверждение в общем виде, используя буквы a и b?
- Можем ли мы пользоваться данной формулой?
- Как будем доказывать?
- Что позволяет нам делать только что доказанная формула?
- Да, это действительно так, данная формула является одной из формул сокращённого умножения.
- Дадим название этой формуле.
- Как вы думаете, изучением какой формулы мы займёмся далее?
- Как записать квадрат разности выражений a и b?
- И чему же будет равен квадрат разности двух выражений?
- Как это выяснить?
- А нельзя ли воспользоваться уже доказанной формулой квадрата суммы?
- Что получим после преобразования?
- Чему же равен квадрат разности двух выражений?
- Давайте посмотрим, как применяются на практике эти формулы.
Задание: представить в виде многочлена выражение (1+z)2
Какой формулой будем пользоваться?
- Квадрат суммы каких выражений записан?
- И чему это будет равно?
- Правильно, следующий пример (2n-m)2
Прочитайте и представьте в виде многочлена.
(1-x)2=
(-x+1)2=
- Сравните результаты
- Объясните, почему так получилось?
(x-1)2=
- Почему получили опять тот же ответ?
- Выполните самостоятельно:
1) (2x+y)2=
2) (3-a)2=
3) (ab+5)2=
- Итак, подведём итог нашего сегодняшнего занятия.
- Скажите, что нового мы сегодня узнали?
- Для чего мы изучаем ФСУ?
Кто может сказать, чему равен квадрат суммы и квадрат разности двух выражений? Если кто затрудняется, откройте учебник и прочитайте.
- Чему равен квадрат суммы двух выражений?
- Чему равен квадрат разности двух выражений?
|
a2
b2
a2-b2
a2+b2
ab
2ab
a+b
a-b
(a+b)2
(a-b)
1) Разность квадратов выражений 3 и х.
2) Квадрат суммы выражений m и n.
3) Квадрат выражения 2у
4) Квадрат разности 1 и z
9
n4
у2
16
у2
- Да, однозначно.
1) y
- Нет.
- -у
- Противоположные.
2) 4 и -4
3) m2 и -m2
4) 3 и -3
1) 4
2) 6x
3) 8y
4) 8у
- Да.
1) 2*4* у
Нет.
2*2*2у или 2*1*4у или 2*0,5*8у
- Бесконечно.
2) 2*3*х или 2*1*3х
3) 2*a*b или 2*ab*1
Квадрат суммы выражений 3 и х.
- Возвести выражение (3+х) в квадрат.
- Значит умножить сама на себя.
- Как (3+х)* (3+х)
- Перемножить многочлены.
- Да.
- Правилом умножения многочлена на многочлен.
- Чтобы умножить многочлен на многочлен надо каждый член первого многочлена умножить поочерёдно на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.
9+3х+3х+х2
- Можно привести подобные слагаемые.
- Слагаемые с одинаковой буквенной частью.
9+6х+х2
(у+4)2 =(у+4)*(у+4)= у2+4у+4у+16=у2+8у+16
(3+х)2
(у+4)2
- Они представляют собой квадрат суммы двух выражений.
- В результате получили многочлены.
9+6х+х2 и
у2+8у+16
- В каждом по 3 члена.
9 - это квадрат выражения 3, х2 - квадрат выражения х, а 6х - удвоенное произведение выражений 3 и х
у2 - квадрат у, 8у - удвоенное произведение у и 4, а 16 квадрат выражения 4.
- Оба примера представляли собой квадрат суммы двух выражений, в обоих случаях в результате упрощения мы получили трёхчлен, причём первый член трёхчлена - это квадрат первого выражения, второй - удвоенное произведение первого и второго выражений, а третий - квадрат второго выражения.
- Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения первого и второго выражений и квадрата второго выражения.
(a+b)2=a2+2ab+b2
- Нет, сначала мы должны её доказать.
- Рассмотрим выражение (a+b)2 и раскроем скобки.
Получим:
(a+b)2=(a+b)* (a+b)=
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
Что и требовалось доказать.
- Она помогает избегать промежуточных действий, вычисляя квадрат суммы двух выражений.
- Назовём её квадрат суммы двух выражений.
- Формулы квадрата разности двух выражений.
(a-b)2
(Затрудняются)
- Можно действовать как в случае с квадратом суммы, т.е. раскрыть скобки.
- Можно, мы можем представить разность в виде суммы. (a-b)2=(a+(-b))2
получим многочлен
a2-2ab+b2
- Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений и плюс квадрат второго выражения.
- Формулой - квадрат суммы.
- Квадрат суммы 1 и z.
1+2z+z2
- Квадрат разности выражений 2n и m
=4n2-4nm+m2
1-2x+x2
x2-2x+1
- Результаты одинаковые.
- Потому что от перемены мест слагаемых сумма не меняется 1-x=-x+1
x2-2x+1
- Выражения -x+1 и x-1 - противоположные, а квадраты противоположных выражений равны.
1) 4x2+4xy+y2
2) 9-6a+a2
3) a2b2+10ab+25
- Мы узнали две ФСУ - квадрат суммы и квадрат разности двух выражений.
- Чтобы сократить процесс умножения.
- Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений и плюс квадрат второго выражения.
- Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений и плюс квадрат второго выражения.
|
Физкультминутка ( для глаз)
Мы глазами поколдуем. Круг огромный нарисуем! Нарисуем мы окно
И большущее бревно. Нарисуем лифта бег: Глазки вниз, глазки вверх!
Все зажмурились: раз-два! Закружилась голова. Мы глазами поморгали,
Вмиг гирлянды засверкали. Смотрим прямо и вперёд – Смотрим прямо и вперёд –
Это мчится самолёт… Раз моргнули, два моргнули –
ФИЗКУЛЬТМИНУТКИ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ НА УРОКАХ, ТРЕБУЮЩИХ ПИСЬМА
Исходное положение – сидя, руки на поясе. 1–2. Поворот головы направо. Исходное положение. 3–4. Поворот головы налево. Исходное положение. 5–6. Плавно наклонить голову назад. Исходное положение. Голову наклонить вперед. Повторить 4–6 раз. Темп медленный.
2. Упражнение для снятия утомления с мелких мышц кисти. Исходное положение – сидя, руки подняты вверх. 1–2. Сжать кисти в кулак. Разжать кисти. Повторить 6–8 раз, затем руки расслабленно опустить вниз и потрясти кистями. Темп средний.
3. Упражнение для снятия утомления с мышц туловища. Исходное положение – стойка ноги врозь, руки за голову. 1–2. Поднять правую руку на пояс, левую руку на пояс. 3–4. Правую руку на плечо, левую руку на плечо. 5–6. Правую руку вверх, левую руку вверх. 7–8. Сделать два хлопка руками над головой. 9–10. Опустить левую руку на плечо, правую руку на плечо. 11–12. Левую руку на пояс, правую руку на пояс. 13–14. Сделать два хлопка руками по бедрам. Повторить 4–6 раз. Темп в первый раз медленный, во второй и третий раз средний, в четвертый и пятый раз быстрый, в шестой раз медленный.
|
|
Заполнить таблицу.
Выражение
|
Квадрат
1 выражения
|
Удвоенное
произведение
|
Квадрат
2 выражения
|
Итог
|
(а + 4)2
|
|
|
|
|
(8 - х)2
|
|
|
|
|
(2y + 1)2
|
|
|
|
|
(0,5b - 2)2
|
|
|
|
| | |
