Разработка повторительно-обобщающего урока-семинара по теме” Тригонометрические неравенства и их системы”.
Цели урока:
Образовательные:
*Обобщить и систематизировать знания учащихся о видах тригонометрических неравенств и их систем, способах их решения.
*Обогатить и углубить знания учащихся применением тригонометрических неравенств и их систем в нестандартных ситуациях.
*Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
Развивательные:
*Способствовать развитию умения анализировать, наблюдать и делать выводы.
Воспитательные:
*Выработать самооценку в выборе пути, критерии оценки своей работы и работы товарища.
*Повысить интерес учащихся к нестандартным задачам, сформировать у них положительный мотив учения.
Подробный конспект урока
Деятельность учителя
|
Деятельность ученика
|
Организационный момент
Основная часть
Занятие посвящено обобщению и систематизации знаний по теме «Решение тригонометрических неравенств и их систем». В ходе работы обобщим основные виды тригонометрических неравенств, систем неравенств и методы их решения, а также дополним наши знания применением тригонометрических неравенств в нестандартных ситуациях.
Обобщение решения простейших тригонометрических неравенств.
1. Актуализация знаний
1. Какие неравенства называются простейшими?
2. Приведите примеры простейших тригонометрических неравенств.
3. Чем можно пользоваться при решении тригонометрических неравенств?
Задание 1. Необходимо напомнить алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности на конкретном примере.
Задание 2. Необходимо напомнить алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью графика функции на конкретном примере.
Выполнение практических заданий.
Образцы карточек.
Карточка 1.
№1. Запишите все решения, соответствующие дуге, изображённой на рисунке.
а) б)  
№2.Решите неравенство  с помощью единичной окружности.
№3. Решите неравенство  графически.
Карточка2.
№1. Запишите все решения, соответствующие дуге, изображённой на рисунке.
а) б)  
№2.Решите неравенство  с помощью единичной окружности.
№3. Решите неравенство  графически.
Обобщение решения неравенств, сводящихся к простейшим.
Следующий тип неравенств, о которых пойдёт речь- это неравенства, сводящиеся к простейшим разными способами.
1. Актуализация знаний
1. Какими способами можно привести неравенство к простейшему виду? Приведите примеры таких неравенств.
Вспомним суть данного метода в ходе выполнения задания.
Задание. Решить неравенство 
Учитель следит за решением, пошагово демонстрирует его с помощью презентации.
Мы повторили первый способ сведения неравенств к простейшему виду. Как ещё можно привести неравенство к простейшему виду?
Ещё раз обратим внимание на решение неравенств с использованием основных тригонометрических формул.
Учитель обсуждает решение неравенства  с учениками, используя при этом презентацию.
* Вспомним, неравенства какого вида можно свести к простейшим введением вспомогательного угла?
* В чём состоит общий метод решения таких неравенств?
Задание. Решить неравенство
Учитель ведёт беседу с классом, на экране поэтапно появляется решение.
* Можно ли данное неравенство сразу решать введением вспомогательного угла?
* Можно ли каким-то образом преобразовать данное неравенство?
* Что для этого нужно сделать?
* Можно ли последнее неравенство решать введением вспомогательного угла?
* Что для этого нужно сделать?
* Какой вид имеет последнее неравенство?
* Ещё раз напомним решение данного типа неравенств.
* Решим данное неравенство.
2. Выполнение практических заданий.
(работа в группах)
Класс делится на 3-4 группы. Каждой группе даётся карточка заданий (на обороте указать фамилии участников группы). Группы выполняют задание, затем меняются решениями (I-II-III-IV-I) и проверяют работу друг друга (взаимоконтроль). Оценку заносят в рабочую карту с пометкой «в/к» (на обороте указать «Проверяли…»). Учитель затем перепроверяет решение и оценивание.
III. Обобщение методов решения неравенств с помощью замены переменной.
1. Актуализация знаний
1. В каком случае удобно использовать замену t=f(x), где f(x)- одна из тригонометрических функций?
2. В каком случае можно использовать замену t=sinx+cosx?
Повторим решение данного типа неравенств на конкретных примерах.
На доске записаны 3 неравенства. По желанию ученики поочерёдно выходят к доске и решают неравенства, комментируя каждый шаг. Остальные ученики записывают решения, стараясь делать самостоятельно.
Далее рассмотрим более сложное неравенство, которое также удобно решать заменой переменной.
Задание. Решить неравенство
cos2x-cos8x+cos6x<1.
Учитель ведёт беседу с классом, записывает решение на доске.
*Какие преобразования необходимо выполнить?
*Что замечаем далее?
*Можно ли в данный момент ввести новую переменную?
*Как можно сделать аргументы одинаковыми?
*Далее введём новую переменную  . В результате получим неравенство
Решите самостоятельно последнее неравенство и найдите значения переменной t, удовлетворяющие неравенству.
*Возвращаясь к замене, решим полученные простейшие тригонометрические неравенства и запишем ответ.
IV. Обобщение решения тригонометрических неравенств методом интервалов.
Перед учениками и на доске - алгоритм решения неравенств методом интервалов.
Повторение данного метода проводим в ходе решения неравенства
Выполнение практических заданий.
Каждый ученик получает карточку с одним неравенством. Карточки разного уровня сложности. Например, сильные ученики решают неравенство методом интервалов, средние и слабые-введением новой переменной.
Работу оценивает учитель, оценку заносит в рабочую карту ученика.
V. Обобщение решения систем тригонометрических неравенств.
Задание. Необходимо напомнить алгоритм решения систем тригонометрических неравенств.
Далее работаем следующим образом: каждому ученику, в соответствии с вариантом, даются 3-4 карточки, на которых необходимо решить указанную систему неравенств. Выполнив задание первой карточки, необходимо отнести её на проверку (проверяет учитель или консультант (сильный ученик)). Если система решена верно, то её оставляют у проверяющего, приступают к решению задания следующей карточки. Если неверно, то карточка возвращается для исправления ошибки. Время работы ограничено-10 мин, поэтому ученики стараются выполнять задания быстро и по возможности правильно. По истечении времени работы, подводится итог:
4 верно выполненных задания-оценка «5»,
3 верно выполненных задания-оценка «4»,
2 верно выполненных задания-оценка «3»,
менее 2 выполненных заданий-оценка «2».
Оценка заносится в рабочую карту ученика.
Углубление знаний по теме
«Решение тригонометрических неравенств и их систем».
Заранее две группы учеников провели дополнительную исследовательскую работу. Первая группа изучала использование тригонометрических неравенств для нахождения области определения функций, вторая группа занималась решением неравенств смешанного типа. На специальном стенде ученики разместили решения различных заданий. Желающие могут ознакомиться. Далее ребята демонстрируют примеры решений неравенств указанных типов, используя подготовленные презентации.
Систематизация знаний
по теме
«Решение тригонометрических неравенств и их систем».
В ходе занятия мы обобщили знания о видах тригонометрических неравенств и их систем, способах их решения.
Кратко материал нашего урока можно представить в виде таблицы (см. приложение), которая будет являться своеобразной памяткой о видах тригонометрических неравенств, их систем и способах их решения.
Используя таблицу, ещё раз быстро повторим материал темы «Решение тригонометрических неравенств и их систем».
5) Заключение.
В качестве домашнего задания предлагается индивидуальная контрольная работа, анализ выполнения которой покажет степень усвоения материала данной темы каждым учеником.
|
-неравенства вида sinx>(<)a;cosx>(<)a;
tgx>(<)a;ctgx>(<)a.
- и др.
-тригонометрическим кругом или графиком тригонометрических функций.
- ученик на примере неравенства  рассказывает алгоритм решения неравенств с помощью единичной окружности, используя презентацию.
- ученик на примере неравенства  рассказывает алгоритм решения неравенств с помощью графика функции, используя презентацию.
Ученики выполняют индивидуальную работу по карточкам. После выполнения работы самостоятельно себя оценивают, сравнивая свои решения с правильными решениями (правильные решения вместе с критерием оценки раздаются ученикам после выполнения работы или появляются на доске). Оценку заносят в рабочую карту урока.
а) С помощью замены переменной t=ax+b.
Н-р; неравенства вида
 и др.
Ученики записывают решение в тетрадь. Один ученик с места комментирует решение:
1. Учитывая, что y=cost – чётная функция, запишем неравенство в виде 
2. Пусть  тогда неравенство примет вид  -простейшее.
3. Воспользуемся алгоритмом решения простейших тригонометрических неравенств (проговаривает…).
4. Найдём значения переменной t, удовлетворяющие неравенству.
5. Вернёмся к переменной х и найдём её значения.
6. Запишем ответ.
б) С помощью основных тригонометрических формул.
Ученики ведут диалог с учителем, после обсуждения записывают решение в тетрадь.
- неравенства вида Аsinx+Bcosx>C, где А,В,С-данные числа и АВ
-Ученик, используя презентацию, рассказывает суть данного метода.
-нет, т.к. оно пока не имеет вид Аsinx+Bcosx>C.
-можно.
-перенести 1 в левую часть и применить формулы двойного угла:  и 
Тогда неравенство примет вид
  ;
или 
- да.
- разделить обе части неравенства на 
Тогда неравенство примет вид
Учтём, что 
получим 
- неравенство, сводящиеся к простейшему введением новой переменной.
- введём новую переменную  , тогда неравенство примет вид 
Далее ученики самостоятельно решают неравенство, затем проверяют себя по решению на экране.
Карточка 1.
Карточка 2.
Карточка 3.
Карточка 4.
-когда неравенство содержит одну и ту же тригонометрическую функцию одного и того же аргумента.
-когда в неравенство входят выражения sinx+cosx и sin2x.
Ученики участвуют в беседе, записывают решение в тетради.
-перенести –cos8x в правую часть неравенства и применить формулу суммы косинусов в левой части неравенства.
cos2x+cos6x<1+cos8x,
Тогда 
-нет, т. к. аргументы косинусов различны.
-применить формулу косинуса двойного угла 
Тогда неравенство примет вид
  
  
Ответ: 
У доски один ученик решает данное неравенство, демонстрируя шаги алгоритма. Остальные ученики записывают решение в тетрадь.
1. Рассмотрим функцию 
2.Найдём основной период Т функции:
3. Найдём нули функции f(x) на промежутке 
Итак, 
4. Найдём точки разрыва функции f(x) на промежутке
Итак, 
5. Найденными точками разделим промежуток на части, в каждой из которых функция f(x) сохраняет свой знак:
6. Определим знак функции в каждой части методом пробных точек:
|
|
|
|
|
|
+
|
+
|
-
|
+
|
|
+
|
-
|
-
|
-
|
левая часть
|
+
|
-
|
+
|
-
|
-
7. Выберем те части, в которых выполняется исходное неравенство:
8. Учитывая периодичность функции, запишем ответ:
Ответ:
- ученик на примере системы неравенств  рассказывает алгоритм решения систем тригонометрических неравенств, используя презентацию.
Задания для карточек.
I вариант
II вариант
1). Использование тригонометрических неравенств для нахождения области определения функции.
2) Неравенства смешанного типа.
Каждый ученик получает конспект урока в виде таблицы. Дома необходимо поработать с ним, переписав конспект в свою теоретическую тетрадь.
Домашняя контрольная работа
(примерное содержание одного из вариантов)
|
Приложение. Тригонометрические неравенства и их
системы.
Виды тригонометрических неравенств
|
Примеры тригонометрических неравенств
|
Способ решения
|
I. Простейшие тригонометрические неравенства
|
sin x > ;  ;
|
Воспользоваться алгоритмом решения тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности или графика тригонометрической функции
|
II. Неравенства, приводимые к простейшим.
1. С помощью введения нового неизвестного t=ax+b
2. С помощью основных тригонометрических формул
3. С помощью введения вспомогательного угла
|
|
Введя новую переменную t=ax+b, привести неравенство к простейшему виду. Решить полученное неравенство для переменной t. Затем вернуться к переменной x и найти её значение. Записать ответ в виде промежутка.
Используя основные тригонометрические формулы, приводим неравенство к простейшему виду. Далее применяем алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.
Разделив обе части неравенства на
 привести неравенство к виду asinx+bcosx>c, где
Т.к.  то можно подобрать такой угол  , что  и 
Тогда неравенство можно записать в виде  или
 .
Если же подобрать такой угол  , что  и  то неравенство примет вид  .
Таким образом, решение исходного неравенства сводится к решению простейшего неравенства.
|
III. Неравенства, решаемые заменой переменной.
1.Приводимые к квадратным или рациональным заменой t=f(x), где f(x)-одна из тригон.
функций.
2.Неравенства,решаемые введением новой переменной t=sinx+cosx.
|
|
Привести неравенство к виду, в котором будет присутствовать одна и та же тригонометрическая функция с одним и тем же аргументом. Ввести новую переменную, решить полученное квадратное или рациональное неравенство. Затем вернуться к замене и найти значение переменной исходного неравенства.
Если неравенство содержит выражения sinx+cosx и sin2x, то их удобно решать при помощи замены неизвестного t=sinx+cosx, так как при этом sin2x=2sinxcosx=sin x+2sinxcosx+cosx- 1=(sinx+cosx)-1=t-1. Итак, t=sinx+cosx, t-1=sin2x.
|
IV. Неравенства, решаемые методом интервалов.
|
|
Воспользоваться алгоритмом решения тригонометрических неравенств методом интервалов.
|
V. Тригонометрические неравенства с модулем.
|
 ; 
|
Используя определение модуля, заменить данное неравенство двойным неравенством или совокупностью двух неравенств (в зависимости от знака неравенства).
|
VI. Системы тригонометрических неравенств.
|
|
Воспользоваться алгоритмом решения систем тригонометрических неравенств.
| |
