«Деление многочлена на двучлен»
Скачать 80.2 Kb.
|
| Тема: « Деление многочлена на двучлен» Цель: выучить теорему Безу, схему Горнера, уметь применять их при нахождении неполного частного, остатка; продолжать помогать учащимся развивать логическое мышление, овладевать языком математики в письменной и устной форме, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, продолжения образования в ВУЗе, формировать представления об идеях и методах математики. Оформление доски: тема, условия двух заданий для индивидуальной работы, домашнее задание. Оборудование: компьютер, проектор, экран. Ход урока:
Индивидуальную работу получают двое учащихся:
Является многочленом второй степени относительно х. Решение 1   . 3х4 – 2х3 + 14х2 + ах + 6 х + 1 3х4 + 3х3 3х4 – 5х2 + 19х + 6-5х3 + 14х2 + ах + 6 5х3 – 5х2 (а – 19)х + 6 6х + 6(а – 25)х + 0 а – 25 = 0 а = 25. 2. Будем искать многочлен второй степени в виде х2 + bх + с. Тогда должно выполняться тождество (х2 + bх + с)2 = х4 + ах3 + 15х2 – 18х + 9. Отсюда, х  4 + b2х2 + c2 + 2bх3 + 2cx2 +2bcx = х4 + ах3 + 15х2 – 18х + 9. И, х4 +2bх3 + (b2 + 2с)х2 + +2bcx+ c2 = х4 + ах3 + 15х2 – 18х + 9. Равенство будет тождеством, если 2b = a, b2 + 2с = 15, 2bc = -18, c2 = 9. Решая систему уравнений, получим а = -6. Третий ученик записывает решение домашней задачи «При каких значениях а один из корней многочлена А(х) равен  , если А(х) = 6х3 + 2(а – 9)х2 – 3(2а – 1)х + а»?Решение. А( ) = 6 · ()3 + 2(а – 9) · ()2 – 3(2а – 1)· () + а =  + а – 2 – 2а + 1 + а = - а - Так как х = - корень многочлена, то А() = 0 и -а - = 0, -а = , а = -1. Ответ: а = -1. Классу предлагается ответить на вопросы: 1. Всегда ли можно выполнить деление многочлена на многочлен? 2. Сформулируйте теорему о делении с остатком многочлена А(х) на многочлен В(х). 3. Как называются многочлены А(х), В(х), Q(x), R(x)? 4. Какие ограничения накладываются на многочлен В(х)? 5. Что вы можете сказать о степени многочлена R(х)? 6. Какие вы знаете способы деления многочлена на многочлен? 7. Какое число называют корнем многочлена А(х)? 8. Сформулируйте теорему, позволяющую находить рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Устно:
Проверяется индивидуальная работа учащихся. Первому и второму ученикам задается дополнительный вопрос: какой метод деления многочлена на многочлен использовался и в чем его суть? Изучение нового материала. Вступление. Мы знаем, что чтобы найти неполное частное, остаток от деления многочлена А(х) на В(х), надо воспользоваться либо делением уголком, либо методом неопределенных коэффициентов. Но есть два замечательных утверждения, что помогают значительно упростить процесс нахождения Q(x), R(x) при делении многочлена на двучлен. Именно изучением этих фактов мы и займемся сегодня на уроке. Итак, тема урока: «Деление многочлена на двучлен х -  ». Цель: изучить теорему Безу, схему Горнера, позволяющих находить остаток от деления многочлена на двучлен, неполное частное, уметь применять эти факты при решении. Изучение теоремы Безу идет в форме беседы, с привлечением к обсуждению учащихся. Детям задаются наводящие вопросы, ответы на которые помогают самостоятельно сформулировать теорему Безу:
(Имеем деление многочлена А(х) на двучлен х - . Неизвестно выполняется ли деление нацело или с остатком).
(Теоремой о делении многочлена на многочлен с остатком)
(Степень делителя равна 1, следовательно, степень остатка равна 0, т.е. остаток число).
(Х принимает любые значения во множестве действительных чисел)
( х = r, тогда (х - )Q(x) = 0, а A() = r).
(Остаток от деления многочлена А(х) на двучлен х - равен A(), т.е. равен значению многочлена при х = ).Доказательство теоремы и ее формулировка проецируются на экран, чтобы учащиеся могли еще раз закрепить доказанное утверждение. Рассказ учителя: это утверждение называют теоремой Безу, в честь французского математика Этьенна Безу, жившего в 18 веке, члена Парижской академии наук. Основные его труды по высшей алгебре. Далеко за пределами Франции были известны его шесть томов курса математики. Рассмотрим примеры применения теоремы Безу. Устно:
Решение: r = A(-2) = 16 + 48 + 8 = 72.
Решение: r = A(2) = 16 – 48 + 14 + 18 = 0. Задание №3 «Многочлен А(х) при делении на х – 1 дает остаток 3, а при делении на х – 2 дает остаток 5. Найдите остаток от деления А(х) на х2 – 3х + 2» учащийся решает у доски. Решение. По теореме о делении многочлена на многочлен с остатком, имеем, А(х) = (х2 – 3х + 2) Q(x) + (ax + b). А(1) = 3, следовательно, 3 = (12 – 3 ∙ 1 + 2) Q(1) + (a ٠ 1 + b), т.е. a + b = 3. А(2) = 5, следовательно, 3 = (22 – 3 ∙ 2 + 2) Q(2) + (a ٠ 2 + b), т.е. 2a + b = 5. а + b = 3 2  a + b = 5.Решая систему, получим a = 2, b = 1. Ответ: R(x) = 2x + 1. Объяснение учителя. Для вывода второго факта, помогающего найти коэффициенты неполного частного и остаток от деления А(х) на х - воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. (Рассказ сопровождается записями, которые проецируются на экран).A(x)= a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an A(x) = Q(x)(x – α) + bn ,где bn – остаток, а неполное частное Q(x)=b0xn-1 + b1xn-2 + … + bn-1. A0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an = (b0xn-1 + b1xn-2 +…+ bn-1)·(x – α) + bn = b0xn + b1xn-1 +…+ bn-1 x – α b0xn-1 – α b1xn-2 - … - α bn-1 + bn = b0xn + (b1 – α b0)xn-1 + (b2 – α b1)xn-2 + … + (bn – α bn-1). Сравним коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа. Получим, a0 = b0 и ak = bk – α bk-1 . Отсюда, bk = ak + α bk-1, (1 ≤ к ≤ n) . Полученные результаты удобно оформить в виде схемы:
Эта схема названа в честь английского ученого математика Вильямса Джорджа Горнера (18 век). Внес существенный вклад в развитие высшей алгебры. Нашел способ приближенного вычисления вещественных корней многочлена (способ Руффини-Горнера). Учащиеся сами пытаются сформулировать Правило отыскания коэффициентов неполного частного и остатка.
Примеры применения схемы Горнера для нахождения Q(x), R(x). Задание 1. Найдите неполное частное, остаток от деления многочлена А(х) = х3 – 2х2 + 2х – 1 на двучлен х - 1. Это задание решает учитель, привлекая к обсуждению решения ребят. Решение.
Ответ: Q(x) = х2 – х + 1 , R(x) = 0. Задание 2 «Вычислите значение многочлена А(х) при х = -1, если А(х) = х3 - 2х – 1» у доски решает учащийся. Решение.
Ответ: А(-1) = 0. Задание 3 «Вычислите значение многочлена А(х) при х = 3, неполное частное и остаток, где А(х) = 4х5 – 7х4 + 5х3 – 2х + 1» ребята решают самостоятельно, один из учащихся проверяет решение у доски. Решение.
Ответ: R(x) = A(3) = 535, Q(x) = 4х4 + 5х3 + 20х2 + 60х +178. Итог урока: |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Урок по алгебре в 7-м классе по теме "Многочлены" Обобщить знания о преобразованиях многочлена, закрепить темы «Понятие многочлена», «Сложение и вычитание многочленов» | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Повторить понятия многочлена, квадрата числа, подобных слагаемых, правило умножения многочлена на многочлен, возведение одночлена... |
 | Тема: Деление на числа, оканчивающиеся нулями Какую тему мы сейчас изучаем на уроках математики? (деление на однозначное число) | | Конспект урока по математике в 5 классе по теме: «Деление» Цель: закрепить в ходе решения задач умение обучающихся выполнять деление натуральных чисел |
| Урок математики в 4 классе Тема: Деление с однозначным частным Образовательные: Повторить различные способы деления и умножения суммы на число, а также деление двузначного числа на двузначное | | План-конспект урока деление на двухзначное число Образовательные: Повторить различные способы деления и умножения суммы на число, а также деление двузначного числа на двузначное |
| Тема: Письменное деление на числа, оканчивающиеся нулями. Второй урок в теме. Задачи: Закрепить табличное и внетабличное умножение и деление многозначных чисел, применить пооперационный и парный контроль в работе... | | Урок-путешествие по теме: ”Различные способы разложения многочлена на множители”. 7 класс |
| Урок-путешествие Урок математики, 6 класс Урок по теме: «Координатная плоскость» «Умножение и деление положительных и отрицательных чисел», «Умножение и деление обыкновенных дробей» | | «Умножение многочлена на многочлен» Муниципальное казенное дошкольное образовательное учреждение детский сад «Улыбка» |
| Тема: «Деление окружности на равные части» Показать учащимся необходимость применения геометрических построений при выполнении чертежей детали. Дать знания по теме «Деление... | | Урок математики в 6 классе Тема «Деление дробей» Цель методическая. Создать условия для формирования правила деления дробей. Сформулировать правило деления дробей. Научить выполнять... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Сложение и вычитание двузначных чисел и трехзначных «круглых» чисел», «Умножение и деление двузначного числа на однозначное и деление... | | Конспект урока по теме: «умножение и деление десятичных дробей» Закрепить изученный теоретический материал на практике: умножение и деление десятичных дробей, решение уравнений и решение задач |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Предметные: в совместной деятельности с учителем выполнять деление на 7, 8, 9 и 10 с числами в пределах 20; решать примеры на деление... | | Тема: Деление и умножение на 10, 100, 1000 Цели: совершенствовать умения выполнять умножение и деление на10, 100, 1000 умения решать составные текстовые задачи |
