Урок 1
Показательная функция.
Цели:
Сформировать понятие показательной функции. Рассмотреть свойства. Научить строить графики функции. Показать важность показательной функции.
Развивать творческое мышление, математическую речь, умение выразить свои мысли словом устным и письменным; развивать самостоятельность в получении знаний;
Формировать навыки умственного труда, нацеливать на поиск рациональных путей решения; формировать у студентов навыки взаимопомощи и взаимоконтроля.
Тип урока:
урок изучения нового материала.
Методы:
объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, исследовательский.
Эпиграф урока:
График – это говорящая линия,
которая может о многом рассказать
М. Б. Балк
Структура урока:
1этап. Организационный этап.
2этап. Этап актуализации знаний. Мотивация учебной проблемы
3этап. Основное содержание урока.
Формирование у учащихся представления о показательной функции
4этап. Формирование умений и навыков Первичная проверка понимания изученного.
5этап. Подведение итогов занятия.
6этап. Информация о домашнем задании.
7этап. Рефлексия.
Ход урока:
1этап. Здравствуйте, садитесь Дежурные докладывают об отсутствующих.
2этап Этап актуализации знаний.
Функция – одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.
Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. - имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи объектов.
В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел.
Математика рассматривает абстрактные переменные величины, изучает различные законы их взаимосвязи, не углубляясь в природу задачи.
Например, в соотношении у = х2 геодезист или геометр увидит зависимость площади квадрата от его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нём зависимость силы У сопротивления воздуха или воды от скорости Х движения. Математика же изучает эту зависимость в отвлечённом виде, и она устанавливает, например, что при увеличении икс в 2 раза приведут к увеличению У в 4 раза, и это заключение может применяться в любой конкретной ситуации.
В школьном курсе изучаются немало функций: линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая, дробно-линейная и т д.
Функция – основное математический инструмент для изучения связей, зависимостей между различными величинами. Чем большим запасом функций мы располагаем, тем шире и богаче наши возможности математического описания окружающего мира. У вас было домашнее задание «Подобрать материал о важности показательной функции.»
3этап . Основное содержание урока.
Формирование у учащихся представления о показательной функции.
Слушайте, слушайте, слушайте внимательно!
И тогда признаете обязательно: самая важная - функция показательная!
1 .По закону показательной функции размножалось бы всё живое на Земле, если бы для этого имелись бы благоприятные условия, т. е. не было естественных врагов и было бы вдоволь пищи. Доказательством тому – распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.
2.Если бы все маковые зёрна давали всходы, то через 5 лет число «потомков» одного растения равнялось бы 243*1015 или приблизительно 2000 растений на 1 кв. м. суши.
3.Потомство комнатных мух за лето от одной самки может составить 8*1014 . Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние, большее, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за два года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечёт за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое равновесие в природе.
4. В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад вещества -= процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у донора или раненого, потерявшего много крови
5.В природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются законам выравнивания, описываемым показательной функцией. Например, температура чайника изменяется со временем согласно формуле Т = Т0 + (100 – Т0) е-кт. Процессы выравнивания также можно наблюдать при включении и выключении электрического тока в цепи, при падении тел в воздухе с парашютом. В биологии процесс выравнивания встречается при разрушении адреналина в крови; о работе почек судят по их способности выводить радиоактивные вещества, количество которых уменьшается по показательному закону.
6.Вы все слышали о цепных реакциях, теорию которых в 20-е годы описал молодой химик Н.Н. Семенов, а потом развили учёные – атомщики. Как управлять этим процессом в мирных целях? На этот вопрос можно ответить только при помощи знаний о показательной функции.
Ведущий
Ну, что убедились, что мы победили?
Теперь признаёте за нами вы право
Её описать поведенье
Функция
Я и сама могу сказать
И график свой вам показать.
Хоть нет названья линии моей,
И нет, как у параболы ветвей,
Я – положительна! И это всем вам видно
И жмусь к оси Ох одним концом я безобидно,
Вторым концом я устремляюсь в высь!
А ну-ка, степенная, доберись!
Давно сравнили нашу скорость роста,
Ты по сравнению со мной - малютка просто!
Собеседник
Скучна ты, часто говорят,
И «монотонной» называют,
Что график твой «не держит взгляд»,
Симметрий нет в нём – отмечают.
Функция
Да, монотонна я, это правда:
То возрастаю, то «спускаюсь» вниз,
Но помнить вам о том ещё бы надо,
Что в свойстве этом есть один сюрприз.
Я – обратима! Это ли не счастье –
В логарифмическую обратиться в одночасье.
И симметричны, наши графики бывают,
Когда меж нами биссектриса пробегает
По первому и третьему на плоскости углам,
Давая шанс симметрию познать и нам!
Собеседник
Да доказать сумела ты свою красу,
Но свой последний я вопрос произнесу:
Имеешь ли особую ты точку,
С которой имя свяжется твоё?
Скажи, коль есть, о ней последней строчкой
И укроти тем любопытство ты моё!
Функция
О да, то точки нуль и единица.
И хоть мой график быстро вверх стремится,
В любом он случае через неё проходит –
Она все графики в пучок единый сводит!
Собеседник
Спасибо, нам ты очень помогла
Тем, что о себе здесь речь произнесла.
Теперь, наверно, всем присутствующим в зале
Твою полезность мы отлично доказали.
Историю пора представить нам немного,
События расставим по порядку строго.
Вы знаете, ещё 40 веков назад
В египетском папирусе записан ряд.
Про семь домов, где кошек 49,
И каждая из них по 7 мышей съедает
И тем всем столько зёрен сохраняет,
Ч то мер 17000 составляет.
Мы объяснили факт немножко,
Священна, почему в Египте кошка.
О том известна нам легенда,
Что как – то у арабского царя
Изобретатель шахматной доски. Наверно,
Потребовал за доску ту зерна
Причём за клетку первую – зерно,
А за вторую – два просил изобретатель,
За третью – снова больше раза в два,
Немало времени царь на подсчёт потратил.
Когда же подсчитали – прослезились;
Число двадцатизначно получилось!
Хватило б зёрнами засеять нам всю сушу
И миллионы лет пришлось зерно бы кушать.
Все знают, что такое ростовщик,
Тот человек проценты брать привык.
Они встречались в Вавилоне древнем,
Где пятую часть «лихвы» взимали в среднем!
Пятнадцатый век – рождение банков,
Дающих людям деньги под процент,
Тогда и встал вопрос довольно ярко
О дробном показателе, сомненья нет
Его развили математик Штифель,
Оресм, Шюке, затем Исаак Ньютон,
И, в завершении, Бернулли Иоганном
Был термин «показательной» введён.
На множестве всех чисел нам её он ввёл,
Как открыватель функции в историю вошёл.
Ведущий
Итак, показательная функция
Не случайно родилась,
В жизнь органически влилась
И движением прогресса занялась.
- так путь при равноускоренном движении квадратично зависит от времени.
S =  .
- энергия падающего тела квадратично зависит от его скорости
W=  .
Степенные зависимости более высокого порядка также встречаются на практике
- по закону Стефана – Больцманана, излучательная способность черного тела пропорциональна 4-ой степени его температуры.
Масса шара является кубической функцией его радиуса.
Мы определили значение выражения ax для всех a > 0 и всех x. Если a = 1, то ax = 1 при всех x. Следовательно, при a > 0, a ≠ 1, определена функция y = ax, отличная от постоянной. Эта функция называется показательной функцией с основанием a.
К основным свойствам показательной функции y = ax при a > 1 относятся
1.:Область определения функции − вся числовая прямая.
2. Область значений функции − промежуток ( 0 ;+ )
График показательной функции с основанием a > 1 изображён на рисунке 1.
Рисунок 1.
Функция y = ax при a > 1
|
К основным свойствам показательной функции y = ax при 0 < a < 1 относятся:
Область определения функции − вся числовая прямая.
Область значений функции − промежуток 
Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть, если х1 < х2 то 
График показательной функции с основанием 0 < a < 1 изображён на рисунке 2.
 2
|
Рисунок.2.
Функция y = ax при0 < a < 1
К общим свойствам показательной функции как при 0 < a < 1, так и при a > 1 относятся:
ах . ах = ах для всех х1 и х2
( для всех  и 
 для любого x.
 для любого x и любого 
(ab)x = axbx для любых a, b > 0, a, b ≠ 1.
 для любых a, b > 0, a, b ≠ 1.
После этого даю исследовательскую самостоятельную работу. по вариантам задания: построить график функции, перечислить свойства функции.
В-1 y=2x
В-2 y=( )x
Затем один представитель выходит к доске строит график, и перечисляет ее свойства.
4этап Работа у доски с учебником №445(а,б) №453(а) №447(а,) №448(а).
Далее предлагается решить самостоятельно№447(,б) №448(б)., предварительно побеседовав с учащимися о способе решения. Через две минуты учитель просит одного из учащихся сказать получившийся у него ответ, другие учащиеся проверяют правильность своего ответа.
5этап. Итоги подводятся серией вопросов: с какой функцией познакомились? Перечислите свойства.
6этап. Запишите домашнее задание: §10 п.35№445(в,г) №453(б) №447(в,г) №448(в,г).Учитель комментирует домашнее задание.
7этап. Учитель: Подумайте, все ли вы сегодня поняли на уроке и почему? Если что-то было не понятно, то почему? Все ли вы усилия приложили, чтобы понять новый материал?
На данные вопросы можно побеседовать с учащимися.
Урок-2
Обобщающий урок по теме «Показательная функция»
Эпиграф урока:
“Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь самый благородный,
путь подражания – это путь самый лёгкий
и путь опыта – это путь самый горький”.
Конфуций
Самостоятельная работа с целью текущего контроля на тему «Показательная функция, ее свойства и график».
В-1
1. Из указанных функций выберите те, которые являются показательными функциями. Выпишите их номера.
(1) 
(2) 
(3) y=x2
(4) y=2x+3
(5) y = ex
(6) y=3/x
(7) y =5x + 2.
(8) y=(x-1)2
(9) y=4
(10) у = (sin2 x + cos2x )x
2.
a) Продолжите: Показательной функцией называется функция...
b) Напишите одно из свойств показательной функции . у = ах (0 < a < 1)
c) Нарисуйте схематически график функции (. x
3. Какие из перечисленных показательных функций являются возрастающими, а какие убывающими (выпишите номера).
(1) у = 0,4 х;
(2) y =3x –2.
(3) у = 
(4) y=46x
(5) y=0,7x
(6) y =5x + 2.
|
