Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Государственный университет – Высшая школа экономики
Факультет математики
Программа дисциплины
« Теория характеристических классов»
Направление:
|
010100.68 «Математика»
|
Подготовка:
|
магистр
|
Форма обучения:
|
очная
|
Автор программы Ph.D. проф. М.В.Финкельберг
Рекомендовано
|
|
|
секцией УМС по математике
|
|
|
Председатель
|
|
|
_____________________________________
|
|
|
«___» ________________________2009 г.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Утверждена УС
|
|
Одобрена на заседании
|
факультета математики
|
|
кафедры алгебры
|
Ученый секретарь доцент
|
|
Зав. кафедрой, д. ф.-м. н., профессор
|
_________________________Ю.М.Бурман
|
|
___________________А.Н. Рудаков
|
«___» ________________________2008 г.
|
|
«___» ______________________2008 г.
|
Москва
2008
Рабочая программа дисциплины «Теория характеристических классов» [Текст]/Сост. Финкельберг М.В..; ГУ-ВШЭ.–Москва.–2008.–5 с.
Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки магистров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100 «Математика».
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100 «Математика».
Составитель: Ph.D., проф. Финкельберг М.В. (fnklberg@gmail.com)
©
|
Финкельберг М.В., 2008.
|
©
|
Государственный университет–Высшая школа экономики, 2008.
|
Тематический план учебной дисциплины
№
| Название темы |
Всего часов
|
Аудиторные часы
|
Самостоя-тельная
работа
|
Лекции
|
Семинарские занятия
|
1
|
Когомологии вещественных и комплексных грассманновых многообразий. Циклы Шуберта. Теорема Милнора-Хопфа.
|
4
|
2
|
2
|
5
|
2
|
Классифицирующие пространства главных расслоений. Характеристические классы. Мультипликативность.
|
4
|
2
|
2
|
6
|
3
|
Классы Штифеля-Уитни и квадраты Стинрода. Характеристические классы как препятствия. Класс Эйлера.
|
5
|
2
|
3
|
6
|
4
|
Классы Черна расслоения со связностью как функции от кривизны. Алгебра А.Вейля.
|
6
|
3
|
3
|
7
|
5
|
Топологическая К-теория. Теорема Римана-Роха.
|
6
|
3
|
3
|
7
|
6
|
Периодичность Ботта.
|
6
|
3
|
3
|
7
|
7
|
Кобордизмы и роды. Конструкция Понтрягина и классифицирующее пространство кобордизмов.
|
6
|
3
|
3
|
7
|
8
|
Теорема Хирцебруха о сигнатуре.
|
6
|
3
|
3
|
7
|
9
|
Теорема Атии-Зингера об индексе эллиптических операторов.
|
6
|
3
|
3
|
7
|
Итого
|
108
|
24
|
25
|
59
|
Базовые учебники
Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные топологические структуры и поля. -М.:МЦНМО, 2005.
Васильев В.А. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы.–М.: МЦНМО, 2000.
Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.– М.:Едиториал УРСС, 2000.
Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. Перев. с англ.–М.:Едиториал УРСС, 1998.
Формы контроля
Текущий контроль – решение задач на семинарских занятиях.
Промежуточный контроль: 1 контрольная работа.
Итоговый контроль: экзамен, 3 часа (5 модуль).
Формула для вычисления итоговой оценки
20% оценки за домашние задания + 30% оценки за контрольную работу +50% оценки за экзамен.
Содержание программы
Тема 1. Когомологии вещественных и комплексных грассманновых многообразий. Циклы Шуберта. Теорема Милнора-Хопфа.
Структура Н-пространства на бесконечных грассманнаинах. Клеточная структура. Классификация коммутативных и кокоммутативных алгебра Хопфа.
Основная литература
Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.– М.:Едиториал УРСС, 2000.
Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. Перев. с англ.–М.:Едиториал УРСС, 1998.
Дополнительная литература
Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. -М.:Наука, 1984.
Тема 2. Классифицирующие пространства главных расслоений. Характеристические классы. Мультипликативность.
Конструкция Милнора классифицирующего пространства главных Н-расслоений. Симплициальная реализация классифицирующего пространства главных Н-расслоений. Образующие кольца когомологий классифицирующиго пространства векторных расслоений.
Основная литература
Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.– М.:Едиториал УРСС, 2000.
Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. Перев. с англ.–М.:Едиториал УРСС, 1998.
Дополнительная литература
Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. -М.:Наука, 1984.
Тема 3. Классы Штифеля-Уитни и квадраты Стинрода. Характеристические классы как препятствия. Класс Эйлера.
Когомологии вещественных многообразий Грассманна с коэффициентами кручения по модулю 2. Теория препятствий.
Основная литература
Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.– М.:Едиториал УРСС, 2000.
Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. Перев. с англ.–М.:Едиториал УРСС, 1998.
Дополнительная литература
Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. -М.:Наука, 1984.
Тема 4. Классы Черна расслоения со связностью как функции от кривизны. Алгебра А.Вейля.
Образующие алгебры инвариантных относительно сопряжения функций на пространстве матриц. Эквивариантные когомологии.
Основная литература
Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.– М.:Едиториал УРСС, 2000.
Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. Перев. с англ.–М.:Едиториал УРСС, 1998.
Дополнительная литература
Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. -М.:Наука, 1984.
Тема 5. Топологическая К-теория. Теорема Римана-Роха.
Группа Гротендика. Характер Черна. Прямой образ в когомологиях и К-теории.
Основная литература
Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.– М.:Едиториал УРСС, 2000.
Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. Перев. с англ.–М.:Едиториал УРСС, 1998.
Дополнительная литература
Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. -М.:Наука, 1984.
2. Фултон У. Теория пересечений. М.:Мир, 1989.
Тема 6. Периодичность Ботта.
Распетливание бесконечномерного грассманниана и бесконечномерной унитарной группы. Бесконечнократные пространства петель. Бесконечномерная теория Морса.
Основная литература
Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.– М.:Едиториал УРСС, 2000.
Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. Перев. с англ.–М.:Едиториал УРСС, 1998.
3. Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные топологические структуры и поля. -М.:МЦНМО, 2005.
Дополнительная литература
Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. -М.:Наука, 1984.
Тема 7. Кобордизмы и роды. Конструкция Понтрягина и классифицирующее пространство кобордизмов.
Пространство Тома и изоморфизм Тома. Вычисление кольца кобордизмов.
Основная литература
Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.– М.:Едиториал УРСС, 2000.
Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. Перев. с англ.–М.:Едиториал УРСС, 1998.
3. Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные топологические структуры и поля. -М.:МЦНМО, 2005.
Дополнительная литература
Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. -М.:Наука, 1984.
Тема 8. Теорема Хирцебруха о сигнатуре.
L-род и A-род. Гомотопическая инвариантность сигнатуры. Гипотеза Новикова о высших сигнатурах.
Основная литература
Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.– М.:Едиториал УРСС, 2000.
Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. Перев. с англ.–М.:Едиториал УРСС, 1998.
3. Васильев В.А. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы.–М.: МЦНМО, 2000.
Дополнительная литература
Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. -М.:Наука, 1984.
Тема 9. Теорема Атии-Зингера об индексе эллиптических операторов.
Эллиптические дифференциальные операторы в расслоениях на гладких многообразиях. Фредгольмовость. Символы и их классы в К-теории.
Основная литература
Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.– М.:Едиториал УРСС, 2000.
Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. Перев. с англ.–М.:Едиториал УРСС, 1998.
3. Васильев В.А. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы.–М.: МЦНМО, 2000.
Дополнительная литература
Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. -М.:Наука, 1984.
Тематика заданий по различным формам контроля
Вариант контрольной работы
(темы 1-4).
Вычислите квадрат фундаментального класса многообразия Шуберта коразмерности один в грассманниане двумерных плоскостей в четырехмерном пространстве.
Докажите, что любое ориентируемое гладкое трехмерное многообразие параллелизуемо.
Докажите, что 5-мерное вещественное проективное пространство нельзя вложить в 7-мерное векторное пространство.
Вариант экзамена
Докажите, что комплексный грассманниан не кобордантен нулю.
Вычислите сигнатуру пространства флагов в 5-мерном комплексном векторном пространстве.
Вычислите значение 2-го класса Черна тавтологического расслоения на комплексном грассманниане на его циклах Шуберта.
Можно ли комплексное проективное пространство разложить в произведение многообразий меньших размерностей?
Найдите характеристические числа неособой гиперповерхности степени (1,1) в произведении комплексных проективных пространств.
Автор программы
профессор
М.В.Финкельберг
|
