ИЗ ОПЫТА ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ С УЧАЩИМИСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ ПО ФОРМИРОВАНИЮ ПОНЯТИЯ «ФРАКТАЛ»
Мамалыга Р.Ф., Ахмедьянова Н.А., Корелин Д.С., Сукова Т.В.
Уральский Государственный Педагогический Университет
Екатеринбург, Россия
Подготовка высококвалифицированных специалистов, способных разрабатывать и реализовывать инновационные проекты, является приоритетной национальной задачей, требующей комплексного решения. Для того чтобы появились такие кадры, важно создать условия для формирования и развития рационального и логического мышления еще в средней школе, так как по мнению психологов такое мышление закладывается именно на ранней ступени школьного обучения[4]. В Новом стандарте школьного образования рассматривается как дополнительная возможность для формирования и развития всех видов мышления внеклассная работа с учениками (на кружках, спортивных секциях, различного рода творческих объединениях), начиная уже с 5-7 классов.
Нам представляется, что кружковая работа по изучению такого нового понятия как «фрактал» своевременна и необходима. Многие реальные природные и рукотворные объекты настолько сложны, что использование понятий классической геометрии (прямая, круг, многоугольник, сфера, конические сечения и так далее) для их моделирования явно недостаточно. В последнее время при изучении сложных систем в различных областях человеческой деятельности всё чаще используются фракталы. Отсюда живой интерес к фрактальной геометрии, как у теоретиков, так и у практиков.
В. А. Тестов в коллективной монографии «Современные проблемы математического образования: вопросы теории и практики» пишет: «…новым важным разделом математики, требующем своего внедрения, как в вузовскую, так и в школьную программу по математике, является фрактальная геометрия» []. В ряде ВУЗов изучение теории фракталов уже проходит в рамках курсов по выбору. На математическом факультете УрГПУ в 2007 году при кафедре геометрии был организован семинар для студентов 1-2 курсов «Фракталы и геометрия». В программу входили вопросы, связанные с детерминированными фракталами: самоподобие, размерность, системы итерированных функций, L-системы. Студенты занимались и стохастическими фракталами, необходимыми для моделирования «естественных фракталов»: береговой линии, кроны деревьев, облаков, кровеносной системы и др. Свои работы по созданию фракталов студенты выполняли на языках программирования Pascal, Лого, в программе Fractal Explorer, Ultra Fractal, в системах Matlab и Matematica.
К зачетному занятию каждый студент разработал программу по изучению элементов фрактальной геометрии в школе. В 2008-2009 году лучшие программы были реализованы на занятиях с группой десятиклассников школы № 208 (г. Екатеринбург) и №7 (г. Реж). Знакомство школьников с элементами этой прикладной науки началось с изучения: истории появления первых фрактальных множеств, биографий «отцов» этой науки, альбомов авторских фракталов и информации в сети Internet.
У учащихся было сформировано понятие фрактальной размерности (размерности подобия). Учащимися посчитаны размерности классических фракталов: Кривая Коха, губка Менгера, ковер Серпинского, пыль Кантора. Также решались задачи на вычисления площадей и объема некоторых фракталов: площадь ковра Серпинского и объем губки Менгера. Были рассмотрены различные классификации фракталов, проведено знакомство с приложениями фрактальной геометрии: в метеорологии и экономике (долгосрочные прогнозы), физиологии (электрокардиограммы), киноиндустрии (ландшафт поверхности планеты в фантастических фильмах).
В конце занятий проводились дидактические игры, такие как ««Детерминированный хаос» и салфетка Серпинского», ««Детерминированный хаос» и ковер Серпинского», ««Странные аттракторы» и салфетка Серпинского». В ходе этих игр учащиеся должны были заметить, что выигрыш зависит либо от расположения первоначальной точки, либо от выявления взаимосвязи стратегии игры с ковром или салфеткой Серпинского (в зависимости от поля игры).
Кроме того, осваивались компьютерные программы, а именно «Лого» и «Fractal Explorer», в которых возможно реализовать построение фрактальных множеств на компьютере.
В конце года была оформлена выставка фракталов «Фрактальная весна». В следующем 2009 году эта экспозиция пополнилась новыми фракталами учащихся. Изображения фракталов демонстрировались в нескольких школах, вызвав большой интерес среди учеников и учителей. В ближайшее время выставка будет размещена в главном учебном корпусе УрГПУ.
По окончании курса десятиклассники выразили желание продолжить знакомство с теорией фракталов и представить на городском конкурсе рефератов свои работы. Были определены такие темы, как «Создание трехмерных фрактальных объектов в Blender», «Фракталы и дендриты», «Использование «Fractal Explorer» в компьютерной графике», «Различные способы создания фракталов в среде программирования «Лого»». За реферат «Использование «Fractal Explorer» в компьютерной графике» десятикласснику было присуждено первое место.
Опыт работы с учащимися двух 10-х классов общеобразовательных школ (2008-2009 г.) показал, что у них могут быть сформированы необходимые знания для усвоения элементов теории фракталов.
Будет ли успешен такой эксперимент при массовом внедрении в учебные заведения? По каким учебникам и в каком объеме можно обучать этому интегрированному курсу школьников? Возможно ли более раннее знакомство с элементами фрактальной геометрии?
Следующий этап нашего исследования (2009-2011 год), направленный на поиск ответов на поставленные вопросы, - организация систематических занятий кружка «Фракталенок». Учащиеся были поделены на две группы: младшая (5-6 классы), старшая (7-8 классы).
Для занятий с первой группой была подготовлена в виде дидактическая сказка «ФрактаЛ-ОГО!» [1].
 
Рис. 1 Обложка книги «Фрактал-Лого!»
При работе с ней школьники овладели некоторыми знаниями, необходимыми для занятий по изучению элементов фрактальной геометрии, в том числе интерфейсом Лого и его основными командами. Деятельность обучаемых заключалась в анализе готовых и создании собственных изображений, содержащих фрактальные элементы как ручным способом – карандашом на бумаге, так и автоматизированным – в среде Лого. Итогом обучения в этой группе являлось сформированное у учащихся предпонятие «фрактал».
Впервые схема формирования понятий, включающая в себя термин предпонятие, предложена в работах Л.С. Выготского и Н.С. Подходовой [2,6]. Л.С. Выготский рассматривал предпонятие как не достигший высшей ступени своего развития концепт, находящийся в простом и непосредственном отношении к объекту и не включенный в систему вышестоящего понятия [2].
Н.С. Подходова в качестве психологической основы формирования понятий у учащихся разработала структуру ‘перцепт – понятие’, выделяя следующие этапы в данной структуре: образ восприятия (перцепт); представление; обобщенное представление, или предпонятие (образ-концепт); понятие; система понятий. Эта последовательность разбита автором на 2 блока: «1 блок – до предпонятия, включая его; 2 блок – от предпонятия к понятию, то есть формирование предпонятия является самостоятельным этапом в процессе обучения» [5].
Важно отметить, что при формировании понятия по схеме «перцепт-понятие», этапы «представление» и «предпонятие» не являются независимыми последовательными составляющими, а проходят в тесном контакте таким образом, что формирование одного, способствует формированию другого.
Дальнейшее развитие структура «перцепт-понятие» получила в работах Н.И.Никулиной. В частности, она предлагает следующее определение: «предпонятие – множество образов, объединенных по наличию у них некоторых общих свойств»[4].
Формирование предпонятия «фрактал» осуществлялось на основе модели (рис. 1), разработанной в результате анализа научных и научно-методических работ и экспериментального опыта [3,4].
Рис.2 Модель формирования предпонятия «Фрактал»
Остановимся подробнее на этапе формирования содержания понятия, так как он является методически наиболее сложным в процессе формирования предпонятия «фрактал».
На этом этапе ученики выполняли три серии заданий. В первой серии обучаемые знакомились с «фракталами-деревьями». С помощью карандаша и линейки учащиеся сначала рисовали деревья с коэффициентами ½, 1/3 и двоичным разбиением (рис 3, а, б). Затем ученикам предлагалось ответить на следующие вопросы: возможно ли построить деревья с другими коэффициентами и варьированным числом разбиений? Учащиеся строили деревья троичного, пятеричного, и др. разбиения с различными коэффициентами подобия (рис 3, в). Итогом данной работы являлись суждения учащихся о «фракталах-деревьях» как о объектах дробящихся на несколько одинаковых частей с определенным коэффициентом подобия (подобие было темой предварительных двух занятий).
  
а) б) в)
Рис 3. Фрактальные деревья.
Далее учащиеся изучали фигуры, содержащие не только отрезки и линии. Например, в построении «Дерева Пифагора» было выделено повторение треугольника и квадрата (рис. 4). Тем самым расширилась группа фракталов обладающих дроблением и повторением.
 
Рис. 4. Пифагорово дерево
Рассматривая такие множества, как Кривая Коха, Ковер Серпинского, Пифагорово дерево у учащихся возникла гипотеза, что все рассмотренные фрактальные множества обладают свойством повторения и дробления. Данную гипотезу подтверждает учитель-член студии и называет это свойство самоподобием.
Вторая серия заданий включала элементы программирования: создание процедуры для рисования фигуры на определенном этапе построения и экспериментирование с готовыми программами (использовалась компьютерная среда Лого). Созданные процедуры наглядно показывали выявленное свойство фракталов – самоподобие.
Экспериментирование с готовой программой заключалось в придании параметрам, встречающимся в алгоритме программы, различных значений (рис. 5). При этом предлагались следующие вопросы: 1) каково назначение каждого параметра? 2) как изменится изображение, если придавать параметрам те или иные различные значения?
  
Рис. 5. Изображение Салфетки Серпинского при различных значениях параметра.
Ученики замечали, что изменение параметров, отвечающих за движение черепашки и размер рисунка, приводит к изображению фрактала на различных этапах построения.
Этими двумя сериями заданий обучаемые были подведены к свойству самоподобия, с помощью которого учащиеся в дальнейшем определяют принадлежность того или иного объекта к классу фракталов. На этом этапе целесообразно использовать компьютерные изображения (желательно из разных классов классификации, основанием которой является способ построения). Также на данном этапе учащиеся познакомились с фракталом «матрешка», отличающейся от классической содержанием двух меньших матрешек в большей (рис. 6).
Рис. 6. Фрактальная «матрешка»
Взяв за основу рассмотренный фрактал, учащиеся создали свои фрактальные экспозиции (рис. 7). Примечательным было предложение учащихся о создании фрактальных объектов соответствующих «матрешечному» типу, где три или четыре меньших матрешек расположены в одной большей.
Рис. 7. Фрактальные «Инь-Янь»
Для диагностики успешности усвоения свойства самоподобия предлагались задания третьей серии со следующей формулировкой: исправить неверно написанную программу (ошибка находится в части программы, задающей самоподобие). При выполнении этого задания ученик должен был разобрать код программы и найти ошибку.
Кроме дидактической сказки «ФрактаЛ-ОГО!», к этим занятиям были подготовлены презентации и методические рекомендации.
Основой содержания курса второго года обучения является разработанная нами классификация самоподобных фракталов по способу построения. Одна из главных целей курса – формирование у обучаемых понятия фрактальной размерности и навыка подсчета размерности как известных им фрактальных множеств, так и фрактальных структур, созданных ими в процессе обучения.
Итогом второго года обучения станут подготовленные учащимися проекты по фрактальной тематике: «Самоподобные фракталы: тип «Гомеоморфный образ Кривой Коха»», «Самоподобные фракталы: тип «Драконообразные»», «Самоподобные фракталы: тип «Древовидные»», «Самоподобные фракталы: тип «Пылеподобные»».
Библиографический список:
Атфак, М. ФрактаЛ-ОГО! Дидактическая сказка. Екатеринбург [Текст]. Юр.Издат., 2009. - 64с.
Выготский, Л.С. Психология развития человека [Текст]. – М.: Изд-во Смысл; Эксмо, 2005. – 1136 с.
Мамалыга, Р.Ф. Развитие пространственного мышления у студентов педагогического вуза при формировании понятий в курсе геометрии [Текст]: автореф. дис. ... канд. пед. наук : 13.00.02 : Екатеринбург, 2005. - 157 c.
Никулина, Н.И. Использование компьютерной среды Лого для пропедевтической подготовки по геометрии школьников 5-6 классов [Текст]: автореф. дис ... канд. пед. наук : 13.00.02 Ярославль, 2006. – 211 с.
Петровский А.В., Ярошевский М.Г. Психология. / Учебник. М.: Academ A, 1998.
Подходова, Н.С. Формирование пространственных представлений младших школьников при изучении геометрического материала [Текст]: Автореф. дис…канд. пед. наук. – СПб, 1992. – 20 с.
|
