№ п/п
|
Наименование раздела дисциплины
|
Содержание раздела
|
Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)
|
1.
|
АЛГЕБРА.
1)Матрицы и определители
|
Понятие матрицы. Частные виды матриц. Основные операции матричной алгебры и их свойства. Определители 2-го и 3-го порядков, их вычисление и свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Понятие об определителе  -го порядка. Обратная матрица, её нахождение
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
2) Системы линейных уравнений
|
Системы двух и трёх уравнений с двумя и тремя неизвестными соответственно. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение систем линейных неоднородных уравнений методом Крамера, методом Гаусса, матричным методом. Системы линейных уравнений с  неизвестными. Ранг матрицы, его вычисление. Теорема Кронекера–Капелли.
|
КР 1
|
|
3) Векторная алгебра.
|
Действия над векторами. Векторы. Координаты вектора. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису. Решение основных задач аналитической геометрии. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Некоторые приложения скалярного произведения. Векторное произведение векторов и его основные свойства. Выражение векторного произведения через координаты. Некоторые приложения векторного произведения. Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения векторов через координаты. Некоторые приложения смешанного произведения.
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
2.
|
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1) Аналитическая геометрия на плоскости
|
Линии и поверхности, задаваемые алгебраическими уравнениями первого порядка: прямая и плоскость. Различные способы задания прямых на плоскости (уравнение прямой с угловым коэф- фициентом; общее уравнение прямой; уравнение прямой «в отрезках»; уравнение прямой, проходящей через две данные точки; уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении; параметрические уравнения). Построение прямой по ее уравнению. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Линии и поверхности, задаваемые алгебраи- ческими уравнениями второго порядка. Понятие квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Линии второго порядка на плоскости. Окружность. Определения, канонические уравнения и исследование формы эллипса, гиперболы и параболы
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
1) Аналитическая геометрия в пространстве
|
Нормальный вектор плоскости. Различные способы задания плоскости в пространстве (векторное уравнение; нормальное уравнение; уравнение плоскости «в отрезках»; уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки; параметрические уравнения). Общее уравнение плоскости и его частные случаи. Построение плоскости по ее уравнению. Угол между двумя плоскостями. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Направляющий вектор прямой. Различные способы задания прямой в пространстве (общее уравнение; векторное уравнение; параметрические уравнения; каноническое уравнение; уравнение прямой, проходящей через две точки; уравнение прямой, заданное системой уравнений для двух пересекающихся плоскостей). Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности. Точка пересечения прямой с плоскостью в пространстве. Поверхности 2-го порядка в пространстве. Сфера. Канонические уравнения основных поверхностей 2-го порядка (эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды, конус второго порядка). Исследование поверхностей методом сечений. Цилиндрические поверхности.
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
3.
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1) Понятие множества
|
Понятие множества. Диаграммы Эйлера–Венна. Операции над множествами. Числовые множества. Основные свойства вещественных чисел (сложение и умножение, упорядоченность, непрерывность). Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Расширенная числовая прямая. Промежутки вещественных чисел. Ограниченные и неограниченные множества. Свойство Архимеда. Окрестность точки. Комплексные числа и формы их представления. Арифметические действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа. Формула Муавра и ее применение. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
2) Числовые последовательности
|
Числовые последовательности. Бесконечно малые последовательности и их свойства. Сходящиеся последовательности. Определение предела последовательности. Бесконечные пределы. Ограниченность сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число  . Натуральные логарифмы. Теорема Больцано–Вейерштрасса (без доказательства). Бесконечно малые последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Раскрытие простейших неопределенностей при вычислении пределов
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
2) Предел функции
|
Определение и способы задания функции. Элементарные функции и их классификация. Простейшие свойства функций. Графики элементарных функций. Определение предела функции по Гейне и по Коши. Свойства пределов функции. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условие существования предела функции. Бесконечно малые функции. Сумма бесконечно малых функций. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию. Произведение бесконечно малых функций. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую предел, отличный от нуля. Разложение функции, имеющей предел, на постоянную и бесконечно малую функцию. Бесконечно большие функции. Неограниченность бесконечно большой функции. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. Сравнение функций. Эквивалентные функции
|
КР 2
|
|
3) Непрерывность функции
|
Некоторые замечательные пределы.
Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке: непрерывность суммы, произведения и частного; предел и непрерывность сложной функции. Непрерывность функции на отрезке. Некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наименьшего и наибольшего значений, существование промежуточных значений. Точки разрыва функций и их классификация
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
4) Производная функции
|
Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования: производная постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения и частного. Дифференцируемость функции в точке. Производная степенной функции, тригонометрических функций, логарифмической функции, показательной функции, сложной показательной функции. Производная сложной функции. Неявная функция и ее дифференцирование. Обратная функция. Непрерывность и дифференцируемость обратной функции. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование. Гиперболические функции, их свойства и графики. Вычисление производных гиперболических функций.
Параметрическое задание функции. Производная параметрически заданных функций. Таблица основных формул дифференцирования.
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
6) Дифференциал функции
|
Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Непрерывность дифференцируемой функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Неинвариантность формы дифференциалов порядка выше первого. Уравнения касательной и нормали к кривой. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Раскрытие некоторых видов неопределенностей по правилу Лопиталя
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
7) Формула Тейлора
|
Формула Тейлора. Формула Маклорена. Различные формы представления остаточного члена. Использование формул Тейлора и Маклорена в приближенных вычислениях и прикладных задачах.
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
8) Исследование функции и построение графика
|
Условия возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Достаточные признаки максимума и минимума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба и асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
4.
|
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1) Первообразная. Неопределенный интеграл
|
Первообразная. Неопределенный интеграл и его основные свойства. Табличные интегралы. Простейшие приемы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
2) Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование иррациональных, трансцендентных функций.
|
Разложение правильных рациональных дробей на элементарные дроби. Интегрирование элементарных рациональных дробей. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций. Интегрирование математических выражений, содержащих тригонометрические функции. Понятие об интегрируемости в элементарных функциях.
|
КР 3
|
|
3) Определенный интеграл
|
Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Производная интеграла по верхнему пределу. Связь между определенным интегралом и первообразной функцией. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Приближенное вычисление определенных интегралов. Геометрические приложения определенного интеграла (вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах, вычисление длин дуг кривых, площадей поверхности и объемов тел. Механические приложения определенного интеграла (работа силы, вычисление статических моментов и центра тяжести кривой).
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
5.
|
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1) Основные понятия. Дифференцируемость
|
Определение функции нескольких переменных и ее геометрическое изображение. Область определения. Предел функции, ее непрерывность. Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных в точке. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Достаточные условия дифференцируемости. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
2) Полная производная и полный дифференциал
|
Дифференцирование сложной функции. Полная производная. Инвариантность формы полного первого дифференциала относительно выбора переменных. Неявные функции. Теорема существования. Производная неявной функции. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
3) Частные производные высших порядков
|
Частные производные высших порядков. Теорема о независимости результата дифференцирования от порядка дифференцирования. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Производная по направлению. Градиент функции
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
4) Экстремум функции нескольких переменных
|
Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия максимума и минимума функции нескольких переменных. Условные максимумы и минимумы
|
КР 4
|
6.
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1) Дифференциальные уравнения первого порядка
|
Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общие понятия и определения. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка: с разделенными и разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к ним, линейные, уравнение Бернулли. Задача Коши, ее геометрический смысл. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (без доказательства). Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах и их интегрирование. Интегрирующий множитель. Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка.
|
КР 5
|
|
2) Дифференциальные уравнения высшего порядка
|
Дифференциальные уравнения  -го порядка. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков (однородные и неоднородные). Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Определитель Вронского и его свойства. Структура общего решения однородного дифференциального уравнения. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения, структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
3) Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
|
Линейные однородные дифферен-циальные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные неод-нородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Некоторые приближенные методы решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
4) Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
|
Системы обыкновенных дифференци- альных уравнений. Каноническая и нормальная формы систем дифференциальных уравнений. Задача Коши. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
7.
|
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1) Двойной интеграл
|
Определение двойного интеграла, его свойства. Вычисление двойного интеграла последовательным интегрированием. Замена переменных в двойном интеграле. Общий случай замены в двойном интеграле. Приложения двойного интеграла (вычисление площадей на плоскости, объемов тел, площади криволинейной поверхности, массы, моментов инерции, координат центра тяжести плоской фигуры)
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
2) Тройной интеграл
|
Определение тройного интеграла, его свойства. Вычисление тройного интеграла последовательным интегрированием. Замена переменных в тройном интеграле. Общий случай замены в тройном интеграле. Приложения тройного интеграла (вычисление моментов инерции, координат центра тяжести тела)
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
3) Криволинейный интеграл
|
Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определение криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги), его основные свойства и вычисление. Определение криволинейного интеграла второго рода (по координатам), его основные свойства и вычисление. Связь между ними. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
4) Поверхностный интеграл
|
Некоторые приложения криволинейных интегралов: вычисление масс, распределенных вдоль кривой; координат центра масс; моментов инерции. Односторонние и двусторонние поверхности. Определение поверхностного интеграла первого рода, его свойства и вычисление. Определение поверхностного интеграла второго рода, его свойства и вычисление. Формулы Стокса и Остроградского
|
КР 6
|
8.
|
РЯДЫ
1) Числовые ряды
|
Числовые ряды. Определение. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Числовые ряды с положительными членами: сравнение рядов, признак Даламбера, признак Коши. Интегральный признак сходимости числового ряда. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница, оценка остатка знакочередующегося ряда. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
2) Функциональные ряды
|
Общие функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость ряда. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное интегрирование и почленное дифференцирование функциональных рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы ряда. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенных рядов. Ряд Тейлора. Теорема о единственности разложения функции в степенной ряд. Необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Примеры разложения элементарных функций в степенной ряд
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
3) Ряды Фурье. Интеграл Фурье
|
Применение степенных рядов в приближенных вычислениях: вычисление определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений. Тригонометрические ряды Фурье. Определение ряда Фурье. Постановка основных задач. Коэффициенты Фурье, их стремление к нулю. Сходимость тригонометрических рядов Фурье в точке и в среднем. Понятие ортонормированной системы, разложение по полной системе. Разложение в тригонометрический ряд Фурье четных и нечетных функций, заданных на интервале   . Разложение в тригонометрический ряд Фурье функций, заданных на интервале  . Интеграл Фурье. Определение. Представление функции интегралом Фурье
|
КР 7
|
9.
|
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА
1) Случайное событие
|
Случайные события и их вероятности. Классификация событий. Понятие случайного события. Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности. Относительная частота. Эмпирический закон устойчивости частот. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность. Вероятностное пространство
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
2) Теоремы сложения и умножения вероятностей
|
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Операции над событиями (сложение и умножение). Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события. Практически невозможные и практически достоверные события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
3) Следствия теорем сложения и умножения
|
Следствия теорем сложения и умножения. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса .
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
4) Схема независимых испытаний.
|
Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра–Лапласа и их применение. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности. Формула Пуассона. Общая теорема о повторении опытов (производящая функция). Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
5) Случайные величины и их числовые характеристики.
|
Случайные величины и их числовые характеристики. Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Биномиальное, пуассоновское и геометрическое дискретные распределения. Простейший поток случайных событий. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение. Начальные и центральные теоретические моменты
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
6) Функция и плотность распределения вероятностей случайной величины
|
Функция и плотность распределения вероятностей случайной величины. Функция распределения (интегральная функция), ее свойства и график. Функция плотности распределения вероятностей (дифференциальная функция), ее свойства и график. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение непрерывных случайных величин и их свойства. Равномерное, нормальное и экспоненциальное распределения. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального.
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
7) Закон больших чисел и предельные теоремы
|
Закон больших чисел и предельные теоремы. Лемма, неравенство и теорема Чебышева. Значение теоремы Чебышева для практики. Теорема Бернулли о сходимости частот. Теорема Пуассона. Понятие о предельных распределениях. Центральная предельная теорема Ляпунова
|
КР 8
|
|
8) Основные понятия математической статистики.
|
Основные понятия математической статистики. Задачи математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Репрезентативность выборки. Способы отбора. Обеспечивающие репрезентативность выборки. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Выборочные характеристики и их распределение. Генеральная и выборочная средние. Групповая и общая средние. Генеральная и выборочная дисперсии. Групповая, внутригрупповая и общая дисперсии
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
9) Статистическое оценивание.
|
Статистическое оценивание. Понятие о статистической оценке. Оценки параметров распределения по эмпирическим (выборочным) данным. Несмещенность, эффективность и состоятельность оценок. Несмещенные и состоятельные оценки генеральной средней и дисперсии. Точечные оценки параметров. Основные методы оценивания: метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов. Понятие об интервальном оценивании. Погрешность оценивания. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
|
10) Оценка результатов наблюдений над нормально распределенной случайной величиной с помощью статистических гипотез.
|
Оценка результатов наблюдений над нормально распределенной случайной величиной с помощью статистических гипотез. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Простые и сложные гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий. Критерий согласия. Уровень значимости. Критическая область, критические точки. Область принятия гипотезы. Отыскание левосторонней, правосторонней и двусторонней критических областей. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Проверка однородности наблюдений
|
Опрос студентов на занятиях, в т.ч. контроль выполнения домашнего задания
|
