Рабочая программа учебной дисциплины «Математика»

Вопросы к экзамену 1 семестр

1. 
   Понятие матрицы. Частные виды матриц. Операции над матрицами.
   
2. 
   Определители 2-го и 3-го порядков, их вычисление и свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Понятие об определителе n-го порядка.
   
3. 
   Обратная матрица, её нахождение
   
4. 
   Системы линейных уравнений с неизвестными. Ранг матрицы, его вычисление. Теорема Кронекера–Капелли.
   
5. 
   Решение систем линейных неоднородных уравнений методом Крамера.
   
6. 
   Метод Гаусса и матричный методы решения линейных систем.
   
7. 
   Векторы. Координаты вектора. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису.
   
8. 
   Скалярное произведение векторов и его свойства.
   
9. 
   Векторное произведение векторов и его основные свойства.
   
10. 
    Смешанное произведение векторов и его свойства.
    
11. 
    Прямая на плоскости.
    
12. 
    Линии второго порядка.
    
13. 
    Способы задания плоскости.
    
14. 
    Прямая в пространстве.
    
15. 
    Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
    
16. 
    Поверхности второго порядка.
    
17. 
    Комплексные числа
    
18. 
    Предел последовательности. Его свойства.
    
19. 
    Предел функции.
    
20. 
    Бесконечно малые функции.
    
21. 
    Некоторые замечательные пределы.
    
22. 
    Непрерывность функции.
    
23. 
    Свойства функций непрерывных на отрезке.
    
24. 
    Точки разрыва функций и их классификация
    
25. 
    Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования.
    
26. 
    Производная сложной функции.
    
27. 
    Неявная функция и ее дифференцирование.
    
28. 
    Дифференцирование обратной функции.
    
29. 
    Производные обратных тригонометрических функций.
    
30. 
    Параметрическое задание функции. Производная параметрически заданных функций.
    

Вопросы к экзамену 2 семестр

1. 
   Дифференциал функции.
   
2. 
   Непрерывность дифференцируемой функции.
   
3. 
   Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
   
4. 
   Уравнения касательной и нормали к кривой. Теоремы о дифференцируемых функциях.
   
5. 
   Правило Лопиталя.
   
6. 
   Формула Тейлора.
   
7. 
   Разложение по формуле Тейлора элементарных функций.
   
8. 
   Возрастание и убывание функции. Точки экстремума.
   
9. 
   Исследование на максимум и минимум с помощью второй производной.
   
10. 
    Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
    
11. 
    Исследование на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора.
    
12. 
    Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
    
13. 
    Асимптоты.
    
14. 
    Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Действия над комплексными числами.
    
15. 
    Разложение многочлена на множители.
    
16. 
    Неопределенный интеграл, его свойства.
    
17. 
    Интегрирование методом замены переменной.
    
18. 
    Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.
    
19. 
    Интегрирование по частям.
    
20. 
    Простейшие рациональные дроби, их интегрирование.
    
21. 
    Интегрирование рациональных функций.
    
22. 
    Интегрирование иррациональных функций. Подстановки Чебышева.
    
23. 
    Подстановки Эйлера.
    
24. 
    Интегрирование тригонометрических функций.
    
25. 
    Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок.
    
26. 
    Определенный интеграл. Теорема существования.
    
27. 
    Свойства определенного интеграла.
    
28. 
    Формула Ньютона Лейбница.
    
29. 
    Замена переменной в определенном интеграле.
    
30. 
    Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
    
31. 
    Несобственные интегралы.
    
32. 
    Приложения определенного интеграла.
    
33. 
    Функции нескольких переменных. Частные производные функции нескольких переменных.
    
34. 
    Полный дифференциал.
    
35. 
    Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции.
    
36. 
    Частные производные высших порядков.
    
37. 
    Производная по направлению. Градиент.
    
38. 
    Экстремум функции 2-х переменных.
    

Вопросы к экзамену 3 семестр

1. 
   Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее решение. Особое решение.
   
2. 
   Теорема существования и единственности.
   
3. 
   Уравнения с разделяющимися переменными.
   
4. 
   Однородные дифференциальные уравнения.
   
5. 
   Уравнения, приводимые к однородным.
   
6. 
   Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
   
7. 
   Уравнения в полных дифференциалах.
   
8. 
   Уравнения, не разрешенные относительно производной. Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро.
   
9. 
   Уравнения высших порядков. Случаи понижения порядка.
   
10. 
    Линейные уравнения n-го порядка. Общее решение.
    
11. 
    Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.
    
12. 
    Линейные неоднородные уравнения с переменными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.
    
13. 
    Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью. Метод Эйлера.
    
14. 
    Двойной интеграл. Замена переменных в двойном интеграле.
    
15. 
    Двойной интеграл в полярных координатах.
    
16. 
    Приложения двойного интеграла.
    
17. 
    Тройной интеграл.
    
18. 
    Замена переменных в тройном интеграле.
    
19. 
    Тройной интеграл в цилиндрических координатах.
    
20. 
    Тройной интеграл в сферических координатах.
    
21. 
    Приложения тройного интеграла.
    
22. 
    Криволинейный интеграл первого рода.
    
23. 
    Криволинейный интеграл второго рода.
    
24. 
    Приложения криволинейных интегралов.
    
25. 
    Формула Грина.
    
26. 
    Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.
    
27. 
    Поверхностный интеграл первого рода.
    
28. 
    Поверхностный интеграл второго рода.
    
29. 
    Формула Стокса.
    
30. 
    Формула Остроградского.
    
31. 
    Элементы теории поля.
    

Вопросы к экзамену 4 семестр

1. 
   Понятие сходящегося ряда. Необходимый признак сходимости ряда.
   
2. 
   Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов.
   
3. 
   Абсолютная и неабсолютная сходимость знакопеременного ряда.
   
4. 
   Признак сходимости знакочередующегося ряда.
   
5. 
   Функциональные ряды. Равномерная сходимость функционального ряда.
   
6. 
   Степенные ряды.
   
7. 
   Разложение функций в степенные ряды. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям.
   
8. 
   Ряды Фурье
   
9. 
   Определение вероятности: классическое и статистическое определение вероятности.
   
10. 
    Основные теоремы: теорема сложения и умножения вероятностей, вероятность появления хотя бы одного события.
    
11. 
    Формула полной вероятности.
    
12. 
    Формула Байеса.
    
13. 
    Повторение испытаний: формула Бернулли.
    
14. 
    Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
    
15. 
    Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях, наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях, производящая функция.
    
16. 
    Дискретные случайные величины. Числовые характеристики.
    
17. 
    Биномиальный закон и закон Пуассона.
    
18. 
    Закон больших чисел: неравенство Чебышева, теорема Чебышева.
    
19. 
    Функции и плотности распределения вероятностей случайных величин
    
20. 
    Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
    
21. 
    Равномерное распределение.
    
22. 
    Нормальное распределение.
    
23. 
    Показательное распределение.
    
24. 
    Выборочный метод: статистическое распределение выборки, эмпирическая функция распределения, полигон и гистограмма.
    
25. 
    Статистические оценки параметров распределения.
    
26. 
    Статистическая проверка статистических гипотез
    
27. 
    Элементы теории корреляции: линейная корреляция, криволинейная корреляция.
    
28. 
    Определение характеристик случайных величин на основе опытных данных.
    
29. 
    Нахождение законов распределения случайных величин на основе опытных данных.
    

9. Учебно-методическое и информационное обеспечение учебной дисциплины

Основная литература

1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д. В. Беклемишев: Учеб. для студ. вузов. Рек. Минобразования России. 10-е изд., испр. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 304 с.

2. Бугров Я. С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я. С. Бугров, С. М. Никольский: Доп. Мин-вом высшего и среднего спец. образов. СССР в качестве учебника для студ. инж.-техн. спец. вузов. М.: Наука, 1980. 432 с.

3. Бугров Я. С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я. С. Бугров, С. М. Никольский: Доп. Мин-вом высшего и среднего спец. образов. СССР в качестве учебника для студ. инж.-техн. спец. вузов. М.: Наука, 1981. 448 с.

4. Бугров Я. С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я. С. Бугров, С. М. Никольский: Доп. Мин-вом высшего и среднего спец. образов. СССР в качестве учебника для студ. инж.-техн. спец. вузов. М.: Наука, 1988. 224 с.

5. Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые её приложения / Л. И. Головина: Учеб. пособие для вузов. 4-е изд., испр. М.: Наука, 1985. 392 с.

6. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под ред. Б. П. Демидовича: Доп. Мин-вом высшего и среднего спец. образов. СССР в качестве учеб. пособия для студ. втузов. М.: Наука, 1970. 472 с.

7. Башмакова И. Г. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия: В 3 т. Т. 1. История математики с древнейших времён до начала нового времени / И.°Г.°Башмакова, Э. И. Берёзкина, А. И. Володарский и др. Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1970. 352 с.

8. Башмакова И. Г. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия: В 3 т. Т. 2. Математика XVII столетия / И. Г. Башмакова, Л. Е. Майстров, Б. А. Розенфельд и др. Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1970 300 с.

9. Антропова В. И История математики с древнейших времён до начала XIX столетия: В 3 т. Т. 3. Математика XVIII столетия / В. И. Антропова, И. Г. Башмакова, А. В. Дорофеева и др. Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1972. 496 с.

10. Краснов М. Л. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям / М. Л. Краснов, А. И. Киселёв, Г. И. Макаренко: Доп. Мин-вом высшего и среднего спец. образов. СССР в качестве учеб. пособия для студ. втузов. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1978. 288 с.

11. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчёты) / М.°Л.°Кузнецов. Доп. Мин-вом высшего и среднего спец. образов. СССР в качестве учеб. пособия для студ. втузов. М.: Высш. шк., 1983. 176 с.

12. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления / Г. Ф. Лаптев: Учеб. руководство для студ. втузов. М.: Наука, 1975. 336 с.

13. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике / В. П. Минорский: Доп. Мин-вом высшего и среднего спец. образов. СССР в качестве учеб. пособия для втузов. М.: Наука, 1969. 352 с.

14. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. Т. 1. Н.°С.°Пискунов: Доп. Мин-вом высшего и среднего спец. образов. СССР в качестве учеб. пособия для втузов. М.: Наука, 1978. 456 с.

15. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. Т. 2. / Н.°С.°Пискунов: Доп. Мин-вом высшего и среднего спец. образов. СССР в качестве учеб. пособия для втузов. М.: Наука, 1978. 576 с.

16. Самарский А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А.°А.°Самарский, А. П. Михайлов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 320 с.

17. Шипачёв В. С. Задачник по высшей математике / В. С. Шипачёв: Учеб. пособие для студ. вузов: Рек. Мин-вом образов. РФ. 4-е изд., стереотип. М.: Высш. шк., 2000. 304°с.

18. Шипачёв В. С. Основы высшей математики / В. С. Шипачёв: Учеб. пособие для студ. вузов: Рек. Мин-вом образов. РФ. 5-е изд., стереотип. М.: Высш. шк., 2003. 480 с.

19. Шнейдер В. Е. Краткий курс высшей математики / В. Е. Шнейдер, А. И. Слуцкий, А. С. Шумов: Доп. Мин-вом высшего и среднего спец. образов. СССР в качестве учеб. пособия для студ. втузов. М.: Высш. шк., 1972. 640 с.

20. Шестаков А. А. Курс высшей математики: Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Векторный анализ / А. А. Шестаков, И. А. Малышев, Д. П. Полозков: Доп. Мин-вом высшего и среднего спец. образов. СССР в качестве учебника для студ. втузов. М.: Высш. шк., 1987. 320 с.

21. Лунгу К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д.°Т.°Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко: Доп. Мин-вом образов. РФ в качестве учеб. пособия для студ. вузов, обуч. по направлениям и спец. в области науки и технологии. 5-е изд. М.: Айрис-пресс, 2006. 576 с. (Высшее образование).

22. Лунгу К. Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К. Н. Лунгу, В. П. Норин, Д. Т. Письменный, Ю. А. Шевченко: Доп. Мин-вом образов. РФ в качестве учеб. пособия для студ. вузов, обуч. по направлениям и спец. в области науки и технологии. 3-е изд., испр. М.: Айрис-пресс, 2005. 592 с. (Высшее образование).

23. Рябушко А. П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3-х частях. Ч. 1 / А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Державец, И. Е. Юруть. Доп. Мин-вом народного образования БССР в качестве учеб. пособия для студ. инж.-техн. спец. вузов. Минск: Вышэйш. шк., 1990. 272 с.

24. Рябушко А. П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3-х частях. Ч. 2 / А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Державец, И. Е. Юруть. Доп. Мин-вом народного образования БССР в качестве учеб. пособия для студ. инж.-техн. спец. вузов. Минск: Вышэйш. шк., 1991. 352 с.

25. Рябушко А. П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3-х частях. Ч. 3 / А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Державец, И. Е. Юруть. Доп. Мин-вом народного образования БССР в качестве учеб. пособия для студ. инж.-техн. спец. вузов. Минск: Вышэйш. шк., 1991. 288 с.

26. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: Справочное пособие к решению задач / А. А. Гусак. Изд. 3-е, стереотип. Минск: ТетраСистемс, 2003. 288 с.

27. Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: Справочное пособие к решению задач / А. А. Гусак. Изд. 3-е, стереотип. Минск: ТетраСистемс, 2003. 416°с.

28. Баранова Е. С. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчёты: Учебное пособие / Е. С. Баранова, Н. В. Васильева, В. П. Федотов. СПб.: Питер, 2008. 320 с.

Дополнительная литература

29. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры / П. С. Александров. Для университетов. М.: Наука, 1968. 912°с.

30. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Г. Вилейтнер: Пер. с нем. под ред. А. П. Юшкевича. М.: Физматгиз, 1960. 468 с.

31. Даан-Дальмедико А. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики / А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер: Пер. франц. под ред. И. Г. Башмаковой. М.: Мир, 1986. 432 с.

32. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин. 2-е изд., перераб. и доп. Минск: Наука и техника, 1972. 664 с.

33. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 2-х томах. Т. 1 / Л. Д. Кудрявцев: Доп. Мин-вом высшего и среднего спец. образов. СССР в качестве учебника для студ. физ.-мат. и инж.-физ. спец. вузов. М.: Высш. шк., 1981. 688 с.

34. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 2-х томах. Т. 2 / Л. Д. Кудрявцев: Доп. Мин-вом высшего и среднего спец. образов. СССР в качестве учебника для студ. физ.-мат. и инж.-физ. спец. вузов. М.: Высш. шк., 1981. 584 с.

35. Моденов П. С. Сборник задач по аналитической геометрии / П. С. Моденов, А.°С.°Пархоменко: Доп. Мин-вом высшего и среднего спец. образов. СССР в качестве учеб. пособия для студ. мех.-мат. и физ. спец. вузов. М.: Наука, 1976. 384 с.

36. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике / А. Д. Мышкис. Для втузов. 4-е изд., стереотип. М.: Наука, 1973. 640 с.

37. Привалов И. И. Аналитическая геометрия / И. И. Привалов: Учебник для втузов. 35-е изд., стереотип. СПб: Лань, 2005. 300 с.

38. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики / Д. Я. Стройк: Пер. с нем. М.: Наука, 1964. 236 с.

39. Тихонов А. Н. Дифференциальные уравнения / А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, А.°Г.°Свешников: Доп. Мин-вом высшего и среднего спец. образов. СССР в качестве учебника для студ. физ.-мат. спец. вузов. М.: Наука, 1980. 232 с.

40. Фролов С. В. Курс высшей математики / С. В. Фролов, Р. Я. Шостак: Доп. Мин-вом высшего и среднего спец. образов. СССР в качестве учеб. пособия для студ. втузов. М.: Высш. шк., 1966. 664 с.

41. Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович: Доп. Мин-вом высшего и среднего спец. образов. СССР в качестве учебника для студ. втузов. 8-е изд., испр. и доп. М.: Наука, 1973. 720 с.

10. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

Наличие лекционных курсов по математике с использованием компьютерных технологий и тестирующих программ.

11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

Для более эффективного усвоения курса математики рекомендуется использовать на лекциях и практических занятиях видеоматериалы, обобщающие таблицы и др. Для повышения интереса к дисциплине и развития математической культуры целесообразно сообщать на лекциях сведения из истории математики и информацию о вкладе российских ученых в математическую науку. Важным условием успешного освоения дисциплины «Математика» является самостоятельная работа студентов. Для осуществления индивидуального подхода к студентам и создания условий ритмичности учебного процесса рекомендуются индивидуальные расчетно-графические работы (РГР) в группах и контрольные работы (КР). Контрольная работа является не только формой промежуточного контроля, но и формой обучения, так как позволяет своевременно определить уровень усвоения студентами разделов программы и провести дополнительную работу, если этот уровень неудовлетворительный.

Авторы (разработчики):

МГУ им. Н.П. Огарева       математический факультет кафедра                                дифференциальных            уравнений                          (место работы)		Доцент кафедры           дифференциальных      уравений                       (занимаемая должность)		Афиногентова Е. В.      (инициалы, фамилия)
Рецензенты(эксперт)
____________________ (место работы)		_______________ (занимаемая должность)		_________________ (инициалы, фамилия)
____________________ (место работы)		_______________ (занимаемая должность)		_________________ (инициалы, фамилия)

Программа одобрена на заседании

(Наименование уполномоченного органа вуза (УМК, НМС, Ученый совет)
от года, протокол № .

*В качестве экспертов программы привлекаются работодатели.