Типовые задания по базовому модулю №6 «Элементы комбинаторики
и теории вероятностей»
Найти вероятность выпадения цифры при одном бросании монеты.
Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков.
Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.
Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру и набрал ее наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?
В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?
В окружность вписан правильный треугольник. В круг наугад бросают точку. Какова вероятность того, что она попадет в треугольник?
При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность выстрела на оценку «хорошо» равна 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»?
Вероятность того, что лицо умрет на 71-м году жизни, равна 0,04. Какова вероятность того, что человек не умрет на 71-м году?
Бросается один раз игральная кость. Определить вероятность выпадения 3 или 5 очков.
В урне 30 шаров: 15 белых, 10 красных и 5 синих. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?
В денежно-вещевой лотерее на серию в 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один лотерейный билет?
В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.
В колоде 36 карт. Наудачу вынимаются из колоды 2 карты. Определить вероятность того, что вторым вынут туз, если первым тоже вынут туз.
В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. 15. Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд два туза?
Два стрелка стреляют по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, вторым стрелком — 0,7. Найти вероятность поражения цели двумя пулями в одном залпе.
Найти вероятность одновременного появления герба при одном бросании двух монет.
Имеется два ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе вынутые детали окажутся стандартными.
В семье двое детей. Принимая события, состоящие в рождении мальчика и девочки равновероятными, найти вероятность того, что в семье: а) все девочки; б) дети одного пола.
Пусть всхожесть семян оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из двух посеянных семян взойдет какое-либо одно?
Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута пика или туз?
Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное или кратное трем число очков.
Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго — 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) — стандартная.
В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке — 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.
Типовые задания по базовому модулю №7 «Элементы
математической статистики»
Найти: а) математическое ожидание и б) дисперсию числа бракованных изделий в партии из 5000 изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0,02.
Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X — числа появлений события А в этих испытаниях.
Найти дисперсию случайной величины X — числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если М(Х) = 0,8.
Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами: а=164 см, о = 5,5 см. Найти плотность вероятности этой величины.
Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 0 и 2. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (—2; 3).
Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 6 и 2. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (4; 8). [0,6826.]
Пусть масса пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами: а = 375 г, а = 25 г. Найти вероятность того, что масса пойманной рыбы будет от 300 до 425 г.
Диаметр детали, изготовленной цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, а математическое ожидание —2,5 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.
Случайная величина X распределена по нормальному закону. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,4. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.
Случайная величина X распределена по нормальному закону. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 2. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,1.
Случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием 30 и дисперсией 100. Найти вероятность того, что значение случайной величины заключено в интервале (10; 50).
При выработке некоторой массовой продукции вероятность появления одного нестандартного изделия составляет 0,01. Какова вероятность того, что в партии из 100 изделий этой продукции 2 изделия будут нестандартными?
На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что одна деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди поступивших деталей будет 5 бракованных?
Игральную кость бросают 80 раз. Определить вероятность того, что цифра 3 появится 20 раз.
При установившемся технологическом режиме завод выпускает в среднем 70% продукции первого сорта. Определить вероятность того, что из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760.
По данным девяти независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметическое результатов отдельных измерений хв = 42,319 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение 5 = 5. Требуется оценить истинное значение а измеряемой величины с надежностью 0,95.
По данным 16 независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметическое результатов отдельных измерений хв — = 23,161 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение 5 = 0,4. Требуется оценить истинное значение а измеряемой величины и точность измерений а с надежностью 0,95.
По данным 100 независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметическое результатов отдельных измерений х = 3,226 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение 5 = 0,0206. Требуется оценить истинное значение а измеряемой величины и точность измерений а с надежностью 0,99.
Типовые задания по базовому модулю №8 «Численные методы»
Найдите общее решение дифференциального уравнения.
y’’(y+1)=3(y’)2=1;
|
x3y’’+x2y’=1;
|
y’’tgy=2(y’)2;
|
3yy’’+(y’)2=0;
|
3yy’’+(y’)2=0;
|
y’’tgy=2(y’)2;
|
2xy’y’’=2(y’)2+1;
|
yy’’+(y’)2;
|
y’’(y+1)-5(y’)2=0;
|
1+(y’)2+yy’’=0;
|
y’’tgy=2yy’;
|
2yy’’+(y’)2=0;
|
y’’+2y(y’)3=0;
|
2yy’’=(y’)2;
|
(1+x2)y’’=xy’;
|
2yy’’=1+(y’)2;
|
4xy’’-(’y)2=4y’
|
(y’)2+2yy’’=0;
|
y’’-2y’tgx=sinx;
|
y’’=1/(1+x2);
|
xy’’+2y’=x3;
|
yy’’+(y’)2;
|
Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А(3,4) и обладающей тем свойством, что отрезок, касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания. Сделать чертеж.
Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А(2,1), для которой отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс, делится пополам в точке пересечения с осью ординат. Сделать чертеж.
Кривая проходит через точку (1,2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой кривой, проведенной в той же точке, с коэффициентом пропорциональности к=3. Найти уравнение кривой.
Типовые задания по базовому модулю №9 «Функции комплексной переменной»
Выполните действия над комплексными числами в алгебраической форме:
(7 – 4i)3 + 4 – i;
(2 + 4i) × (3 – 2i) + (5 – 3i) 2 ;
 ;
 ;
Комплексное число z запишите в тригонометрической форме и изобразите на комплексной плоскости:
z =  – i;
z = 2 + 2i;
z = ;
z = + i;
z =  – ;
z =  ;
z = –– i;
z = –2 + 2i;
z = –.
Перечень вопросов для самостоятельной работы
Множества и операции над ними.
Высказывания и операции над ними. Предикаты. Кванторы.
Определители 2-го и 3-го порядков.
Основные методы решения систем линейных уравнений.
Многочлены с числовыми коэффициентами.
Геометрические операции над векторами.
Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
Полярная система координат.
Скалярное векторное и смешанное произведения векторов и их приложения.
Прямая на плоскости и ее уравнения.
Кривые 2-го порядка.
Плоскость и ее уравнения.
Прямая и плоскость в пространстве.
Поверхности второго порядка.
Числовая последовательность и ее предел.
Основные элементарные функции и их графики.
Предел функции.
Непрерывность функции.
Производная и ее приложения.
Неопределенный интеграл.
Определенный интеграл и его приложения.
Обыкновенные дифференциальные уравнения в описании реальных физических процессов и природных явлений.
Перестановки, размещения и сочетания.
Случайные события.
Случайные величины.
Статистические методы обработки экспериментальных данных.
Статистическое оценивание и проверка гипотез.
Введение в теорию погрешностей.
Приближенное решение уравнений.
Аналитическое приближение табличных функций.
Численное дифференцирование и интегрирование.
Численное решение обыкновенных дифференциальный уравнений.
Комплексные числа.
Элементарные функции комплексного переменного.
Элементы функционального анализа.
ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ И ЭКЗАМЕНУ
по дисципЛине «математика»
Вопросы к зачету
Понятие множества. Способы задания множеств. Графическое изображение множеств.
Операции над множествами.
Матрица и ее элементы. Действия над матрицами.
Определители. Основные свойства определителей. Способы вычисления определителей.
Линейные уравнения. Система линейных уравнений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Способы ее решения.
Понятие вектора. Действия над векторами. Модуль вектора.
Угол между векторами. Ортогональные векторы.
Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного умножения.
Прямоугольная система координат на плоскости. Точка. Вектор.
Полярная система координат на плоскости. Связь между полярными и декартовыми координатами.
Система координат в пространстве. Точка. Вектор.
Скалярное произведение векторов в пространстве.
Векторное произведение векторов, его свойства. Приложения векторного произведения векторов.
Смешанное произведение векторов, его свойства. Приложения смешанного произведения векторов.
Прямая на плоскости и ее различные уравнения.
Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
Кривые второго порядка (окружность, эллипс), их канонические уравнения, основные характеристики и свойства.
Кривые второго порядка (гипербола, парабола), их канонические уравнения, основные характеристики и свойства.
Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Теоремы о пределах. Число е.
Понятие функции. Основные свойства функций.
Прямая и обратная пропорциональности, их графики и свойства.
Показательная и логарифмическая функции, их графики и свойства.
Линейная и степенная функции, их графики и свойства.
Тригонометрические функции и их графики.
Обратные тригонометрические функции и их графики.
Понятие производной. Геометрический и механический смысл производной.
Правила дифференцирования функций. Таблица производных.
Исследование функции с помощью производных и построение графиков.
Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов.
Основные приемы интегрирования.
Понятие определенного интеграла, его геометрический и физический смысл.
Основные приемы вычисления определенного интеграла.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения.
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Перестановки. Размещения. Сочетания.
Определение вероятности. Свойства вероятности. Полная вероятность.
Понятие дискретной случайной величины. Дисперсия и математическое ожидание дискретной случайной величины.
Вопросы к экзамену
Множества и операции над ними. Основные числовые множества. Промежутки. Грани числовых множеств.
Высказывания. Виды высказываний. Операции над высказываниями. Предикаты. Кванторы.
Определители 2-го и 3-го порядков. Правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков. Основные свойства определителей.
Основные способы решения систем линейных уравнений: формулы Крамера, метод Гаусса.
Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители над полями комплексных, действительных и рациональных чисел. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби.
Геометрические операции над векторами. Коллинеарные и компланарные векторы. Ортогональные векторы.
Базис на плоскости. Прямоугольные, координаты на плоскости. Координаты вектора. Длина отрезка. Деление отрезка в данном отношении. Действия над векторами, заданными своими координатами.
Базис в пространстве. Прямоугольные координаты в пространстве. Действия над векторами, заданными своими координатами. Длина отрезка. Деление отрезка в данном отношении.
Полярная система координат. Связь между полярными и декартовыми координатами.
Скалярное произведение векторов, его физический смысл, основные свойства и приложения.
Векторное произведение векторов, его основные свойства, правило вычисления и основные приложения.
Смешанное произведение векторов, его основные свойства, правило вычисления и основные приложения.
Прямая на плоскости и ее различные уравнения. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
Кривые второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола), их канонические уравнения, основные характеристики и свойства.
Плоскость и ее различные уравнения. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
Прямая в пространстве и ее различные уравнения. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве. Расстояние от точки до прямой.
Прямая и плоскость в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Расстояние от прямой и плоскости. Расстояние от прямой до плоскости. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Теоремы о пределах. Число е.
Понятие функции. Основные свойства функций. Прямая и обратная пропорциональности, линейная функция, степенная, показательная и логарифмическая функция и их графики.
Тригонометрические функции и их графики. Обратные тригонометрические функции и их графики.
Понятие предела функции. Теоремы о пределах. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых. Замечательные пределы. Односторонние пределы.
Непрерывность функции в точке и на отрезке. Основные свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва. Непрерывность основных элементарных функций.
Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнения касательной и нормали.
Правила дифференцирования. Таблица производных. Односторонние производные. Производные высших порядков.
Дифференциал функции и его приложения. Основные свойства дифференцируемых функций.
Исследование функций с помощью производных и построение графиков. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
Нахождение приближенных значений корней многочленов с помощью методов хорд и касательных.
Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
Основные приемы интегрирования. Интегрирование некоторых классов функций. Примеры “неберущихся” интегралов.
Приближенные вычисления интегралов.
Некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла, его геометрический и физический смысл. Условия существования определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница. Основные методы приближенного интегрирования.
Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы I-го и II-го рода.
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения, сводящиеся к линейным.
Дифференциальные уравнения второго порядка. Некоторые частные виды дифференциальных уравнений второго порядка. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Аналитическое приближение табличной функции.
Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме.
Действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.
Элементарные функции комплексной переменной.
Числовые ряды в комплексной области. Степенные ряды в комплексной области.
Предел последовательности комплексных чисел. Производная функция комплексной переменной.
Перестановки, размещения, сочетания. Их основные свойства. Основные формулы для вычислений. Бином Ньютона.
Определение вероятности. Основные свойства вероятности. Полная вероятность.
Понятие дискретной случайной величины. Дисперсия и математическое описание дискретной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины.
Основные законы распределения случайных величин. Двумерные случайные величины.
Статистические оценки параметров распределения.
Критерии проверки статистических гипотез.
ТематикА рефератов по дисциплине «МАТЕМАТИКА»
Гипотеза как форма развития знаний.
Дискуссия и полемика.
Спор как разновидность аргументации.
Логические парадоксы.
Логика, мышление и язык.
Софизмы.
Особенности древнеегипетской математики.
Особенности шумеро-вавилонской математики.
Апории Зенона.
Платон и математика.
Идеальные числа (Лосев, Беккер, Паршин).
Три знаменитые задачи древности.
Аристотель о математике.
Конические сечения (от Аполлония до Кеплера и Ньютона).
Методы интегрирования и дифференцирования в работах Архимеда (метод исчерпывания) и античный атомизм.
Структура математики: от пифагорейцев и Гемина до Нового времени.
Математика древней Индии.
Математика древнего Китая.
Особенности арабской математики: возникновение алгебры.
Геометрические методы эпохи Возрождения: да Винчи, Дюрер. Перспектива.
Возникновение теории вероятностей (Ферма, Паскаль).
Открытие неевклидовой геометрии и ее значение для развития математики и математического естествознания.
Парадоксы бесконечного (Зенон, Больцано, Кантор).
Феномен Раманунджана: тайна математического творчества.
Теория фракталов.
|
