Реферат Математика
Скачать 285.74 Kb.
|
Квазикристаллы С давних пор, когда только зарождалась наука о твердых телах, было замечено, что все тела в природе можно разделить на два диаметрально противоположных класса: разупорядоченные аморфные тела, в которых полностью отсутствует закономерность во взаимном расположении атомов, и кристаллические тела, характеризующиеся их упорядоченным расположением. Такое разделение структуры твердых тел просуществовало почти до конца ХХ века, когда были открыты не совсем "правильные" кристаллические тела - квазикристаллы. Их стали рассматривать как промежуточные формы между аморфными и кристаллическими телами. Квази (лат. quasi - как будто, будто бы) - приставка при различных словах, соответствующая по значению словам "мнимый", "ненастоящий", "якобы". В 1984 году был обнаружен сплав алюминия с марганцем Al0,86Mn0,14 , образец которого, подвергнутый специальному методу быстрого охлаждения, рассеивал пучок электронов так, что на фотопластинке образовывалась ярко выраженная дифракционная картина с симметрией пятого порядка в расположении дифракционных максимумов (симметрия икосаэдра). Наличие резких дифракционных максимумов свидетельствовало о присутствии в структуре дальнего порядка в расположении атомов, характерного для кристаллов, поскольку это означает, что атомы в разных участках образца одинаково отражают пучок электронов. Однако симметрия наблюдавшейся дифракционной картины противоречила фундаментальным представлениям классической кристаллографии: такая симметрия физически невозможна для любых кристаллических веществ. Дальнейшие исследования показали, что в новом материале реализуется новый тип порядка, некристаллический и неаморфный (для аморфного вещества характерно наличие ближнего атомного порядка - кристаллического порядка только в пределах нескольких межатомных расстояний). Поэтому данное вещество было названо квазикристаллом. Некоторое время спустя были найдены другие металлические сплавы с дальним порядком, но имеющие оси симметрии седьмого, восьмого, десятого, двенадцатого и т.д. порядков, запрещенные для кристаллов. В связи с этим расширилось и понятие квазикристаллов: в настоящее время под квазикристаллами принято понимать твердые металлические сплавы с дальним порядком, дифракционные пики которых расположены с некристаллографической симметрией. Структура квазикристаллов Важную проблему физики квазикристаллов представляет их атомная структура. Их структуру можно понять с помощью математической теории замощения. Обычный кристалл представляет собой периодическую структуру из атомов или молекул. Любой кристаллической структуре присуща определенная симметрия. Кристаллы обладают дальним порядком двух типов, ориентационным и трансляционным. Трансляционный порядок означает возможность построить кристаллическую структуру путем трансляций элементарного строительного блока структуры с определенным расположением атомов на некоторый вектор элементарной ячейки кристалла. В таком случае говорят о существовании дальнего порядка в кристалле. Ориентационный порядок означает, что поворот кристалла вокруг определенной оси совмещает атомные позиции с самими собой. Кристаллы могут иметь вращательную симметрию третьего, четвертого или шестого порядка. Например, если кристалл имеет ось симметрии третьего порядка, то его кристаллическая решетка не изменится после поворота на одну треть окружности. Структура элементарной ячейки большинства кристаллов основана на таких простых геометрических телах, как куб, тетраэдр и октаэдр. Структура квазикристаллов , таких, как сплав алюминия с марганцем, основана на другом геометрическом теле - икосаэдре. Икосаэдр - это многогранник, имеющий 20 граней, каждая из которых представляет собой равносторонний треугольник, 12 вершин и 30 ребер. Икосаэдр имеет симметрию пятого порядка: в каждой его вершине соединены пять граней. Икосаэдры невозможно упаковать так, чтобы они плотно, без зазоров, заполняли все пространство, поэтому они не могут служить элементарными ячейками кристаллов. Элементы структуры квазикристалла из пяти тетраэдров: фрагмент икосаэдра (а), 32 - вершинник триаконтаэдр (6) Икосаэдр (от греч. εικοσάς — двадцать; -εδρον — грань, лицо, основание) — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Тетраэдр (греч. τετραεδρον — четырёхгранник) — многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. Триаконтаэдр — (греч., от triaconta тридцать, и hedra основание). Тридцатигранник, т. е. тело, ограниченное 30-ю равными ромбическими плоскостями. Свойства квазикристаллов Квазикристаллы, как правило, сплавы металлических элементов. Но физические свойства квазикристаллов отличаются от свойств других металлических систем. Электросопротивление металлов увеличивается при возрастании температуры, концентрации примесей, структурных дефектов. Квазикристаллы не изоляторы и не полупроводники, но в отличие от металлов их электросопротивление при низких температурах аномально велико, уменьшается с ростом температуры и возрастает по мере увеличения структурного порядка и отжига дефектов (длительный нагрев, устраняющий дефекты). Интересная закономерность наблюдается у декагональных квазикристаллов. Это слоистые объекты: квазикристаллические плоскости упакованы вдоль оси десятого порядка с конечным периодом. Вдоль оси упаковки проводимость ведет себя как в нормальном металле, а в квазикристаллических плоскостях – по-другому. Практически все квазикристаллические сплавы - диамагнетики. Исключение составляют сплавы с марганцем, являющиеся парамагнетиками. Теория твердого тела прекрасно объясняет электронные свойства нормальных металлов и их сплавов. Отправным пунктом является периодичность кристаллической структуры. Однако теория еще не в состоянии объяснить, почему квазипериодичность является источником специфичного поведения свойств. Для ответа на этот вопрос необходима большая экспериментальная и теоретическая информация об электронном строении (электронном спектре) квазикристаллов. В настоящее время открыто более 200 квазикристаллических сплавов, свойства которых активно исследуются. Каждый год появляются сообщения и о новых по составу квазикристаллах, и о новых вариантах структур, существование которых ранее нельзя было даже предположить. На данный момент в большинстве синтезированных квазикристаллов обнаружены оси симметрии 5-го, 7-го, 8-го, 10-го, 12-го и еще более высоких порядков, запрещенные для идеальных кристаллов. Эти объекты пока не нашли практического применения, но их изучение расширяет наши представления о строении вещества. Вопрос о квазикристаллическом состоянии не ограничивается физикой твердого тела. Симметрийные свойства квазикристаллов обладают универсальностью. Это означает, что если какой-либо способ упаковки ячеек некоторой формы найден в твердом теле, то такой же способ упаковки "жидких ячеек'' может быть обнаружен в гидродинамических течениях, проблеме хаоса (в структуре фазовой плоскости динамической системы) и др. Поэтому в исследование квазикристаллов вовлечены физики, математики, кристаллографы и материаловеды. Однако вопрос о природе квазикристаллического состояния материи и объяснении свойств квазикристаллов все еще остается загадкой, которую преподнесла нам Природа. Приведем интересный факт, замеченный исследователями. Строжайше запрещенная в кристаллографии поворотная симметрия 5-го порядка наиболее эффективно представлена в мире растений и в простейших живых организмах, в частности в некоторых разновидностях вирусов, в некоторых обитателях морей (морские звезды, морские ежи, колонии зеленых водорослей и др.) и в иных объектах, "строящих жизнь". Поворотная симметрия 5-го порядка характерна для многих полевых цветов (зверобой, незабудка, колокольчик и др.), для цветов плодово-ягодных растений (малина, калина, рябина, шиповник и др.), для цветов плодовых деревьев (вишня, груша, яблоня, мандарин и др.). Чешуйки у еловой шишки, зерна у подсолнуха или ячейки у ананаса также образуют некоторое квазирегулярное покрытие поверхности, в котором соседние ячейки организуются в хорошо различимые спирали и образуют структуру, близкую к квазикристаллам. Как видим, поворотная симметрия 5-го порядка, играющая важную роль в квазикристаллах, наиболее ярко проявляется как бы в переходной области между статично неживым и податливо гибким живым миром природы. Изучение квазикристаллических объектов привело к целому ряду открытий и прикладных разработок. Структурное совершенство термодинамически стабильных квазикристаллов ставит их в один ряд с лучшими образцами обычных кристаллов. На их основе получают легкие и очень прочные стекла. Тонкие пленки и покрытия из квазикристаллов обладают очень низким коэффициентом трения. С использованием квазикристаллов создают композиционные материалы, например устойчивые к трению резины. Особо заманчивы их малая электро- и теплопроводность, высокая твердость, стойкость к коррозии и окислению, химическая инертность и нетоксичность. Сегодня уже получено немало перспективных квазикристаллов, о которых несколько десятилетий назад даже не мечтали. Одной из приоритетных задач является разработка методов синтеза по заданным параметрам, которая позволила бы заранее «программировать» физические свойства создаваемых материалов. Неожиданное появление золотой пропорции в структуре квазикристаллов говорит о присутствии в их симметрии живого "мотива", так как в отличие от неживых кристаллов только живой мир допускает замечательные соотношения золотой пропорции. В природе квазикристаллов многое до сих пор не ясно. Кроме того, нет окончательно сформированных физических представлений об особенностях их строения, не получено физическое обоснование их прочностных, пластических, упругих, электрических, магнитных и других свойств. Несмотря на эти трудности, повышенный интерес ученых к загадке, которую им преподнесла природа в виде квазикристаллов, не ослабевает, и в дальнейшем, несомненно, еще не раз будут получены неожиданные результаты. Фуллерены и квазикристаллы Непосредственное отношение к строению квазикристаллов имеют и открытые в середине 1980-х годов так называемые фуллерены - неизвестная ранее форма объединения атомов углерода в практически сферические молекулы Сn (n = 28, 54, 60, 70, 84, 120 …). Фуллерены - класс углеродных молекул, содержащих более 20 атомов. Их открытие усугубило «кристаллографическую катастрофу", вызванную открытием квазикристаллов. Наиболее изученный углеродный нанообъект - фуллерен С60. До этого считалось, что в свободном состоянии углерод может находиться в виде двух модификаций - алмаза и графита. Структура же молекулы С60 представляет нечто иное. Это усеченный по вершинам икосаэдр, то есть один из 14 неправильных (или полуправильных) многогранников Архимеда, в котором шестиугольники связаны между собой пятиугольниками. Не вдаваясь в детальное рассмотрение этой фигуры, отметим, что подобная структура напоминает футбольный мяч, сшитый по традиции из черных пятиугольников и белых шестиугольников. Неудивительно, что такая молекула обладает икосаэдрической симметрией. Знакомство с фуллерена ми захватывает сразу, поражает их красота и соразмерность. Фуллерены, как и квазикристаллы, говорят об удивительной гармонии мира, о непрерывном единстве во всех его проявлениях. Интерес к фуллеренам возник, прежде всего, из-за их своеобразной структуры и симметрии, а также из-за возможности создавать на их основе материалы, находящие применение во множестве высоких технологий. В первую очередь они рассматриваются как перспективные материалы для электронной техники. Кроме того, на основе фуллеренов созданы сверхнизко- и сверхвысокотемпературные смазочные материалы и соединения, обладающие сверхпроводимостью, получены вещества, по твердости превосходящие алмаз (см. "Наука и жизнь" № 10, 1995 г.). Название "фуллерены" дано новому классу модификаций углерода в честь американского архитектора Бакминстра Фуллера, разработавшего конструкцию сферических куполов. Одно из таких зданий было построено на международной выставке ЕХРО-67 в Монреале. Основной мотив постройки - повторяющиеся шестиугольные фрагменты, между которыми в определенных местах введены пятиугольные, придающие необходимую кривизну объемной конструкции. Первые фуллерены выделяли из конденсированных паров графита, получаемых при лазерном облучении твёрдых графитовых образцов. Фактически, это были следы вещества. Следующий важный шаг был сделан в 1990 году В. Кретчмером, Лэмбом, Д. Хаффманом и др., разработавшими метод получения граммовых количеств фуллеренов путём сжигания графитовых электродов в электрической дуге в атмосфере гелия при низких давлениях. В процессе эрозии анода на стенках камеры оседала сажа, содержащая некоторое количество фуллеренов. Впоследствии удалось подобрать оптимальные параметры испарения электродов (давление, состав атмосферы, ток, диаметр электродов), при которых достигается наибольший выход фуллеренов, составляющий в среднем 3-12 % материала анода, что, в конечном счёте, определяет высокую стоимость фуллеренов. Морис Эшер Исследуем более подробно работы Мориса Эшера на предмет описанных выше математических закономерностей. Эшер интересовался всеми видами мозаик — регулярными и нерегулярными (периодическими и квазипериодическими) — а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость. Этот вид мозаик был описан в предыдущей главе. Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и впоследствии сказал, что это было для него «богатейшим источником вдохновения». Позже в своем эссе о мозаиках Эшер написал: «В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически…. Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь, ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней». После того, как мы разобрались в способах создания периодических и квазипериодических замощений мы можем предположить, каким образом Морис Эшер создавал свои мозаики. При подробном рассмотрении и изучении мозаик Эшера можно предположить, что художник пользовался следующим очень интересным, но в, то, же время простым способом. Намечал правильный шестиугольник (известно, что эту фигуру можно использовать при создании периодической мозаики). После этого он искривлял три смежные стороны шестиугольника, придавая им необходимый контур и, с помощью параллельного переноса, отображал эти стороны на противолежащие. Таким образом, мастер добивался того, что мозаику всё ещё можно было составить из полученной фигуры. После этого он изменял фигуру изнутри. Художник разбивал на шесть равных треугольников. В каждом треугольнике были изменены боковые ребра таким образом, что в сочетании с измененной стороной шестиугольника (основанием треугольника), они образовывали контур необходимого животного. В нашем случае получились «рыбки». Применив способ, описанный выше, он получал готовое к печати изображение. В доказательство справедливости вышеописанного способа можно привести нечеткие линии предварительной разметки, сохранившиеся на некоторых отпечатках гравюр мастера. Эти линии в точности повторяют рисунок, который должен получиться при выполнении первых этапов предполагаемого нами способа. Руководствуясь вышеизложенными соображениями, можно разделить весь массив «мозаичных» работ на два фундаментальных класса. Первый — периодические работы и второй — квазипериодические. Сам Морис Эшер, как многие гении и до и после него, утверждал: «Все мои произведения — это игры. Серьезные игры». Однако в этих играх математики всего мира вот уже несколько десятилетий рассматривают абсолютно серьёзные, материальные доказательства идей, созданных с помощью исключительно математического аппарата. Периодические замощения могут быть и весьма замысловатыми, некоторые из них очень красивы. Примером может служить периодическое замощение, п  ридуманное Морисом Эшером («Всадники»). |
Похожие:
 | ЕН. Ф. 1 Математика и информатика: математика Учебная дисциплина Математика и информатика: "Математика" введена в процесс обучения для бакалавров по направлению подготовки "Художественное... | | Реферат: Коваленко А. Е. Разработка системы научной визуализации.... Коваленко А. Е. Разработка системы научной визуализации. Квалификационная работа на степень магистра наук по направлению «Математика.... |
| Реферат: Шайдуров А. Г. Исследование и разработка некоторых графических... Шайдуров А. Г. Исследование и разработка некоторых графических алгоритмов. Квалификационная работа на степень магистра наук по направлению... | | Реферат Проблемы Гильберта и советская математика |
| Реферат по дисциплине «Философия» на тему: «Роль философии в жизни общества» «свести на нет» арифметику, на которой зиждится вся алгебра, геометрия и высшая математика. Казалось бы, что более «приземленной»... | | Реферат по дисциплине: «Математика» по теме: «Необыкновенные обыкновенные дроби» |
 | Учебно-методический комплекс для студентов не психологических специальностей... Гидрология 010100. 62 Математика 010101. 65 Математика 010101. 65 Математика 010101. 65 Математика 010300. 62 Математика. Компьютерные... | | Аннотация рабочей программы Математика и информатика (математика)... Рассмотрено и утверждено на заседании учёного совета факультета педагогики и психологии(протокол от «29»марта 2012 г. №8) |
| Моро М. И. Математика: учебник для 1 класса: в 2 частях / М. И. Моро, М. А. Бантова Рабочая программа предмета «Математика» для 1 класса разработана на основе авторской программы «Математика» М. И. Моро, М. А. Бантовой,... | | Рабочая программа По предмету математика «Математика», а также на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования по математике при... |
| Реферат по дисциплине «Математика» на тему: «И это ещё не всё о них…... | | Список дисков, имеющихся в фонде читального зала средней школы №621... Открытая Математика Функции и Графики Сетевая версия, 1 cd, инструкция, dvd-box |
| Реферат по дисциплине «Математика» на тему Богатовская средняя общеобразовательная школа «Образовательный центр» муниципального района Богатовский Самарской области | | Реферат по дисциплине Математика Эпиграфом к своей работе я выбрала слова японской народной пословицы: «Великий квадрат не знает пределов» |
| Реферат по дисциплине «Математика» на тему : «Число» Целью нашего реферата является изучение истории возникновения числа π, его развития и применения в повседневной жизни | | Реферат по дисциплине «Математика» на тему : «Число» Целью нашего реферата является изучение истории возникновения числа π, его развития и применения в повседневной жизни |
