Обобщенная теорема Виета

Скачать 17.79 Kb.

Название	Обобщенная теорема Виета
Дата публикации	24.12.2014
Размер	17.79 Kb.
Тип	Документы

100-bal.ru > Математика > Документы

Обобщенная теорема Виета

Если $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ — корни многочлена

$x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n,\,\!$

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты $a_1, \ldots, a_n$ выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

$\begin{matrix} a_1 &=& -(\alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_n) \\ a_2 &=& \alpha_1 \alpha_2 + \alpha_1 \alpha_3 + \ldots + \alpha_1 \alpha_n + \alpha_2 \alpha_3 + \ldots + \alpha_{n-1} \alpha_n \\ a_3 &=& -(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 + \alpha_1 \alpha_2 \alpha_4 + \ldots + \alpha_{n-2} \alpha_{n-1} \alpha_{n}) \\ & &\ldots \\ a_{n-1} &=& (-1)^{n-1} (\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_{n-1} + \alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_{n-2} \alpha_n + \ldots + \alpha_2 \alpha_3...\alpha_n) \\ a_n &=& (-1)^n \alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n \end{matrix}.$
Иначе говоря

равно сумме всех возможных произведений из

корней.

Если старший коэффициент многочлена $a_0 \ne 1$ , то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на

(это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Квадратное уравнение

Если

— корни квадратного уравнения $\ ax^2+bx+c=0$ то

$\begin{cases} ~x_1+x_2=~-\cfrac{b}{a} \\ ~x_1 x_2= ~\cfrac{c}{a} \end{cases}$

В частном случае, если

(приведенная форма

), то

$\begin{cases} ~x_1+x_2=-b \\ ~x_1 x_2=c\end{cases}$

Кубическое уравнение

— корни кубического уравнения

$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\cfrac{b}{a}\\(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) = \cfrac{c}{a} \\ x_1 x_2 x_3 = -\cfrac{d}{a}\end{cases}$

В частном случае

$x^{3}+px^{2}+qx+r=0$

Формула Кардано

для корней неполного кубического уравнения

Уравнение 4-ой степени

$x^{4}+px^{3}+qx^{2}+rx+d=0$

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

	Тема: Теорема Виета Основная цель: Усвоение теоремы Виета для решения приведенных квадратных уравнений и теоремы, обратной теореме Виета		Урока «Теорема Виета» Цель урока: изучить теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета; сформулировать приём, позволяющий свести решение уравнения общего...
	Урок алгебры в 8 классе по теме "Теорема Виета" «открыть» зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами, научить применять теорему Виета и обратную ей теорему в различных...		Конспект урока алгебры в 8-м классе по теме " Теорема Виета" ( учебник...
	Урок по теме Теорема Виета в 8 классе Развивающие: новые способы решения квадратных уравнений и их количество в зависимости от коэффициентов a, b, c		«Теорема Виета» Материал широко используется в 8-11 классах на уроках повторения, в устной работе с учащимися, при подготовке к гиа и егэ
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Решение квадратных уравнений. Теорема Виета. Разложение квадратного трёхчлена на множители		Конспект урока «Теорема Виета» фио: Белоглазова Татьяна Анатольевна Место работы Моу «Ромодановская средняя общеобразовательная школа №1» Ромодановского района Республики Мордовия
	Урок в 8 классе по теме: Теорема Виета Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. – 10-е изд., стер. – М....		Конспект урока теорема Виета. Фио (полностью) Марченко Ольга Анатольевна Место работы Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. – 10-е изд., стер. – М....
	Обобщенная теорема Фалеса В этом учебном году на школьной олимпиаде по математике была предложена геометрическая задача, которая нам показалась очень сложной....		Обобщенная теорема Фалеса В этом учебном году на школьной олимпиаде по математике была предложена геометрическая задача, которая нам показалась очень сложной....
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Здравствуйте. Садитесь. Сегодня последний урок по теме «Теорема Пифагора». Теорема Пифагора – это одно из самых замечательных утверждений...		Вступительных испытаний по направлению подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре Локальные свойства непрерывных функций. Глобальные свойства непрерывных функций. Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной...
	Конспект урока алгебры в 9 классе «Решение систем уравнений, используя... Цель урока: Формирование и закрепление у учащихся навыков решения систем уравнений, используя теорему Виета		Повторить основные термины данной темы, решив кроссворд. Заготовки... Подвести учащихся к самостоятельному выводу Теоремы Виета, для нахождения корней приведённого квадратного уравнения на основе имеющихся...

Школьные материалы