Глава 1 Золотое сечение - симметрия или ассиметрия?
Важнейшая цель этого реферата – показать красоту как главную категорию эстетики и математики.
Задумывались ли вы когда-нибудь над значением слова «гармония»?
Гармония греческое слово, обозначающее «согласованность, соразмерность, единство частей и целого». Внешне гармония может проявляться в мелодии, ритме, симметрии и пропорциональности. Две последние относятся к математике. Математика уникальное средство познания красоты. Поскольку красота многогранна и многолика, она подтверждает универсальность математических закономерностей.
Во всем царит гармонии закон,
И в мире всё суть ритм, аккорд и тон.
Дж. Драйден1
Продолжим рассказ по принципу от большего к меньшему.
Симметрия – основополагающий принцип устройства мира.
Симметрия – в широком или узком смысле, в зависимости от того, как вы определяете значение этого понятия, - является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.2
Г. Вейль
Симметрия – распространенное явление, ее всеобщность служит эффективным методом познания природы. Симметрия в природе нужна, чтобы сохранять устойчивость. Внутри внешней симметрии лежит внутренняя симметрия построения, гарантирующая равновесие. Симметрия – проявление стремления материи к надежности и прочности.
Симметричные формы обеспечивают повторяемость удачных форм, поэтому более устойчивы к различным воздействиям. Симметрия многообразна.
Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разным операциям – поворотам, отражениям, переносам.
Существует три главных вида симметрии изучаемых в школе: симметрия относительно точки (центральная симметрия), симметрия относительно прямой (осевая симметрия) и симметрия относительно плоскости.
Центральная симметрия цветка
Центральная симметрия в орнаменте созданном человеком.
Симметрия относительно прямой на примере здания МГУ
Симметрия относительно плоскости в шаре.
Это не единственные виды симметрии, также существует и винтовая симметрия. Если рассматривать расположение листьев на ветке дерева мы заметим, что лист отстоит от другого, но и повернут вокруг оси ствола. Листья располагаются на стволе по винтовой линии, чтобы не заслонять друг от друга солнечный свет.
Винтовая симметрия в природе на примере ракушки.
Использование винтовой симметрии человеком на примере лестницы.
Симметрия многолика. Она обладает свойствами, которые одновременны и просты и сложны, способны проявляться и единожды и бесконечно много раз.
Если человеку мало знакомому предложить несколько фигур, он интуитивно выберет наиболее симметричные. Скорее всего, оказавшись в такой ситуации, мы выберем равносторонний треугольник или квадрат.
Человек инстинктивно стремится к устойчивости, удобству и красоте. Мир настолько хаотичен и непредсказуем, что человеку наиболее приятны для восприятия фигуры и вещи, содержащие в себе порядок, гармонию, симметрию. Работать с фигурами, у которых больше симметрий легче.
По тому, сколько симметрий имеют фигуры, можно проводить их классификацию. Самой совершенной фигурой считается шар, обладающий всеми видами симметрии.
Симметрия трудолюбива. Каждому своему виду она дает могущество порождать все новые и новые фигуры.
Симметрию можно наблюдать во всех сферах нашей жизни: симметрия построения зданий, музыки и симметрия образов в литературе, симметрия танца.
Симметрия является одним из принципов построения мира.
Симметрия – страж покоя,
Асимметрия – двигатель жизни.3
Гармоничным может быть и ассиметричное. Симметрия вызывает чувство покоя, неподвижности, то асимметрия вызывает ощущение движения и свободы.
Исследователи, получившие Нобелевскую премию, показали, что наш мир несимметричен, законы симметрии во Вселенной не наблюдаются. Мир асимметричен на всех уровнях: от элементарных частиц до биологических видов.
Золотое сечение
Самым известным примером гармонии ассиметрии является золотое сечение. Есть слова, принадлежащие Иоганну Кеплеру: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – теорема Пифагора, другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении»4 Великий ученый пол словами «деление отрезка в среднем и крайнем отношении» имеет ввиду известную пропорцию – золотое сечение. Именно эта пропорция является темой моего реферата. В следующих главах я расскажу о применении золотого сечения, а ниже дам определение этого понятия и способы его получения.
Деление отрезка в среднем и крайнем отношении называют золотым сечением. Другое название – «золотая пропорция».5
с : b = b : а.
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему отрезку.
a=c-b
b:c= (c-b):а
В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних
b 2 + cb – c2=0
Длина отрезка выражается положительным числом, поэтому после преобразований
b= −(c+√5с2)∕2 или b=(√5−1)∕2∙с
Число (√5−1)∕2 обозначается буквой  в честь древнегреческого скульптора Фидия, в творениях которого это число встречается многократно.
Число - иррациональное. В практике его используют округляя до тысячных 0,618 или сотых 0,62 или десятых 0,6.
Части золотого сечения приблизительно составляют 62% и 38% всего отрезка.
Древние математики обнаружили, что золотое сечение можно получить при помощи геометрии, и потом применять в любом масштабе, даже для строительства пирамид.
Я предлагаю рассмотреть один из многих способов, как это можно сделать.
Построим отрезок AB, восстановим в точке B перпендикуляр к AB, на нем отложим точку E таким образом, чтобы BE=0,5AB
Далее соединив точки A и E, отложим ED=BE, и AC=AD. Точка С является искомой, она производит «золотое сечение» отрезка AB.
Заметим, что по теореме Пифагора
(AD + DE)2=AB2 + BD2,
а по построению AD=AC, DE=BE=0,5AB
Из этих равенств следует, что AC2 + AC∙AB=AB2, а отсюда можно получить равенство
AC:AB=CB:AC
Свойства 6
Первое свойство:
1∕ ≈ −1
то есть 1∕1,618≈1,618−1
Второе свойство:
2≈ +1
то есть 1,618∙1,618≈2,618=1,618+1
Эти свойства имеют многогранные применения, но об этом в следующей части.
|
