Реферат по геометрии Тема: «Золотое сечение пропорции»

. Муниципальное Общеобразовательное учреждение Средняя Общеобразовательная школа №6 Реферат по геометрии Тема: «Золотое сечение пропорции» Ученик: Вахромеев Андрей Учитель: Трошина Людмила Ивановна 2011 год План работы: 1. Введение 2.История золотого сечения. 3.Математическая сущность золотого сечения. 4.Золотое сечение в совершенной науке. 5.Заключение. 6.Список литературы. Введение "Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, второе - деления отрезка в крайнем и среднем отношении" Иоганн Кеплер Вопрос о математических предпосылках прекрасного, о роли математики в искусстве волновал еще древних греков, причем свой интерес они унаследовали от предшествующих цивилизаций. Воплощение математических законов просматривается в загадочном величии египетских пирамид. Пространственные формы пирамид настолько правильны, и геометричны, что они вот уже пятое тысячелетие видятся скорее не плодом вдохновенного порыва художника, а результатом скрупулезных построений древнеегипетского математика. Другим интересным проявлением поисков математических закономерностей в области ваяния и зодчества является существование в древности так называемых канонов, т. е. совокупности правил изображения человеческой фигуры. Создателем первого канона считается древнеегипетский архитектор и скульптор Имхотеп (28 в. до н. э.), а Древняя Греция подарила миру великого ваятеля и теоретика искусства Поликлета (V в. до н.э.) А вот систематическое приложение к искусству математика нашла, конечно, в музыке, в трудах древнегреческого математика Пифагора, его многочисленных учеников и последователей.. «Числа правят миром» - знаменитый пифагорейский лозунг. В основе объективных законов красоты лежат два фундаментальных принципа: качественный принцип гармонии и количественный принцип симметрии. Оба принципа – гармонии и симметрии – воплощают в природе и искусстве идею порядка. Под гармонией понимается наиболее оптимальное сочетание противоречивых сторон в едином целом. В состоянии гармонии заложена изначальная противоречивость мира. Многочисленные исследования показывают, что состояние гармонии достигается, когда соотношение порядка в поведении элементов системы и хаоса (непредсказуемого, свободы выбора) тяготеет к «Золотой» пропорции ( =0,618). Поэтому моя работа посвящена теме «Золотая пропорция». Цель работы: Как из чисто геометрического понятия, Золотая Пропорция превращается в фундаментальное понятие, что она не только то, что можно видеть глазами, что Золотая Пропорция – вокруг нас, что, более того, она - в основе всего. Если законы природы управляют явлениями, то Золотая пропорция управляет законами природы, и как мера гармонии – тождества противоположностей – лежит в основе метода аналогий (отыскание общих свойств в различных объектах, явлениях и распространение этой общности на другие свойства). Задачи: 1.Узнать, что такое Золотое сечение. 2.Отобразить Золотое сечение в аспектах деятельности человека. 3.Сделать вывод. История золотого сечения Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления. Греки же были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников. Динамические прямоугольники Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог "Тимей" посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. Парфенон Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления. В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным. В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, но недостаток знаний. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого). Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное. В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: "Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать". Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера. Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд). Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m(φ), рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов Построение шкалы отрезков золотой пропорции В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях "математической эстетикой". Построение пропорции. Здесь приводится построение точки Е, делящий отрезок прямой в пропорции золотое сечение. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Именно эти отрезки использовал Евклид при построении правильного пятиугольника, т.к. каждая из сторон пятиугольной звезды делится другими именно в такой пропорции. Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться. Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком. В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пяти-лепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция. Математическая сущность Золотой прямоугольник: Если построить квадрат со стороной АВ=а, найти середину М отрезка АВ и провести дугу окружности радиусом МС с центром в точке М до пересечения с продолжением стороны АВ в точке Е, то точка В разделит отрезок АЕ в крайнем и среднем отношении. Чтобы убедиться в этом, заметим, что по теореме Пифагора МС2=а2+(а/2)2=5а2/4 В силу чего АЕ=а/2 +МЕ=(√5+1)а/2=φАВ Прямоугольник АЕFD со сторонами АЕ=φАD называется золотым прямоугольником. Четырехугольник АВСD - квадрат. Нетрудно видеть, что прямоугольник ВЕFС также золотой, поскольку BC=a=φВЕ. Это обстоятельство сразу наводит на мысль о дальнейшем разбиении прямоугольника ВЕFС. Можно ли считать, что прямоугольник с отношением сторон, равным φ, выглядит изящнее, чем прямоугольники с отношением сторон, скажем, 2:1, 3:2 или 5:7? Чтобы ответить на этот вопрос, были проведены специальные эксперименты. Результаты их не вполне убедительны, но все же свидетельствуют о некотором предпочтении, отдаваемом золотому сечению. Впрочем, может ли прямоугольник сам по себе быть захватывающе прекрасным или отталкивающе безобразным? Золотой треугольник: Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника. Золотой пятиугольник; построение Евклида. Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый . Построение правильного пятиугольника и пентаграммы. Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Пусть О - центр окружности, А - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией. Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения. Есть и золотой кубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618. Теперь рассмотрим доказательство, предложенное Евклидом в «Началах». Посмотрим теперь, как Евклид использует золотое сечение для того, чтобы построить угол в 72 градуса – именно под таким углом видна сторона правильного пятиугольника из центра описанной окружности. Начнем с отрезка АВЕ, разделенного в среднем и крайнем отношении точкой В. Проведем далее дуги окружностей с центрами в точках В и Е и радиусах АВ, пересекающиеся в точке С. Чуть ниже докажем, что АС=АЕ, а пока примем это на веру. Итак, пусть АС=АЕ. Обозначим через  равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то угол АСЕ также равен . Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, позволяет найти угол ВСЕ: он равен 180-2, а угол ЕАС - 3 - 180. Но тогда угол АВС равен 180-. Суммируя углы треугольника АВС получаем, 180=(3 -180) + (3-180) + (180 - ) Откуда 5=360, значит =72. Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕС вдвое больше угла при вершине, равного 36 градусов. Следовательно, чтобы построить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке Е, пересекающую ЕС в точке Х и сторону ЕВ в точке Y: отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; Обойдя вокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны. Докажем теперь, что АС=АЕ. Предположим, что вершина С соединена отрезком прямой с серединой N отрезка ВЕ. Заметим, что поскольку СВ=СЕ, то угол СNЕ прямой. По теореме Пифагора: CN2 = а2 – (а/2) 2= а2 (1-4 2) Отсюда имеем (АС/а) 2 = (1+1/2) 2 + (1-1/4 2) = 2+1/ = 1 +  = 2 Итак, АС = а = АВ = АЕ, что и требовалось доказать

Похожие:

	Урок «Золотое сечение». Тема: Золотое сечение ...		Курса: «золотое сечение» Геометрическое определение «золотого сечения». Алгебраические свойства золотой пропорции
	Конспект урока по математике в 6 классе «Пропорции, отношения. Золотое сечение» Направление подготовки 050100. 62 Педагогическое образование		Реферат Золотое сечение Они приковывают взгляд человека и заставляют восхищаться своей красотой. Мне стало интересно заглянуть за рамки учебника по геометрии,...
	Золотое сечение Ввести понятие «золотое сечение» (немного об истории). Алгебраическое нахождение «золотого сечения», геометрическое построение «золотого...		Моу «Оршанская средняя общеобразовательная школа» Золотое сечение в живой и неживой природе На рисунке точка c делит отрезок ab делит в отношении золотого сечения. Это отношение приближенно равно 0,618 ≈5 Золотое сечение...
	Моу «Оршанская средняя общеобразовательная школа» Золотое сечение в живой и неживой природе На рисунке точка c делит отрезок ab делит в отношении золотого сечения. Это отношение приближенно равно 0,618 ≈5 Золотое сечение...		Деятельность научного студенческого общества «Золотое сечение» с Ует семь лет. До 2011 года руководителем нсо «Золотое сечение» была кондидат педагогических наук Лестева Елена Викторовна, ею была...
	Тема нашего урока: Огношения. Пропорции. На этом уроке мы закрепим... Цель занятия: Продолжить формирование умений составлять пропорции и вычислять неизвестный член пропорции		Закон "Золотого сечения" используется человеком? Тема исследования группы Золотое сечение встречается не только в математике и природе, но и в архитектуре
	Реферат по математике на тему: «золотое сечение математический язык красоты» Многое в нашем мире основано на числах. Некоторые из чисел имеют собственные имена, например, число (пи)		Рабочая учебная программа (адаптированная) по... Сагателова С. С., Студенецкая В. Н. Геометрия: красота и гармония. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости. Золотая...
	Реферат на тему : «Золотое сечение» Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), ставший олицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способ построения правильного...		Тайны «Золотого сечения» (реферат) Михайлова Вероника Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание...
	Тайны «Золотого сечения» (реферат) Михайлова Вероника Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание...		Золотое сечение Название учреждения образования: Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №108»