Урок по теме «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника»
Скачать 231.27 Kb.
|
Рис. 6 Смотрите, а вот и "Пифагоровы штаны во все стороны равны" (рис. 7).  Рис. 7 Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: "… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста". На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста (предлагаю вам найти другие доказательства теоремы Пифагора). А сейчас докажем теорему Пифагора в современной формулировке. Т е о р е м а. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Начертите треугольник АВС с прямым углом С (рис. 10).  Рис. 10 Д а н о: Δ АВС,  С = 90°.Д о к а з а т ь: АВ2 = АС2 + ВС2. Д о к а з а т е л ь с т в о Проведём высоту CD из вершины прямого угла С. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому вΔACDcosA=AD/AC, а в Δ АВС cos А = AC / AB. Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно, AD / AC = AC / AB. Отсюда, по свойству пропорции, получаем: АС2 = AD · АВ.(1) Аналогично, в Δ ВCD cos В = BD / BC, а в Δ АВС cos В = BC / AB. Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно, BD / BC = BC / AB. Отсюда, по свойству пропорции, получаем: ВС2 = ВD · АВ.(2) Сложим почленно равенства (1) и (2), и вынесем общий множитель за скобки: АС2 + ВС2 = AD · AB + BD · AB = AB · (AD + BD). Так как AD + BD = АВ, то АС2 + ВС2 = AB · AB = AB2. Получили, что АВ2 = АС2 + ВС2. Итак,
З а д а ч а №1  Рис. 12 Р е ш е н и е Δ АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ, по теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2, АВ2 = 82 + 62, АВ2 = 64 + 36, АВ2 = 100, АВ = 10. О т в е т: АВ = 10 З а м е ч а н и е. Из курса алгебры известно, что уравнение АВ2 = 100 имеет два корня: АВ = ± 10. АВ = – 10 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит, АВ = 10. Давайте договоримся, что в дальнейшем, при решении уравнений в подобных задачах, будем ограничиваться только положительными корнями, и каждый раз не будем пояснять, почему отрицательные корни отбрасываются. З а д а ч а №2  Рис. 13 Р е ш е н и е Δ DCE – прямоугольный с гипотенузой DE (рис. 13), по теореме Пифагора: DE2 = DС2 + CE2, DC2 = DE2 – CE2, DC2 = 52 – 32, DC2 = 25 – 9, DC2 = 16, DC = 4. О т в е т: DC = 4 Получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Они использовали этот треугольник в "правиле верёвки" для построения прямых углов при закладке зданий, храмов, алтарей… Решить устно № 831, 832, письменно № 837, 851(1). (№ рис.429, 840, 850(1), 840(1), 842(1), 843(1), 844(1).) 7. Самостоятельная работа учащихся. Решить № 835(1), 836(1). 8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з. Выучить п.20, решить № 835(3), 836(3), 838, 851(2) (841(2), 842(2), 843(2), 850(2)). Итак, сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем геометрии – теоремой Пифагора и её доказательством, с некоторыми сведениями из жизни учёного, имя которого она носит, решили несколько простейших задач. Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. К следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством, так как мы будем учиться применять её к решению более сложных задач. Популярность теоремы столь велика, что её доказательства встречаются даже в художественной литературе, например в рассказе известного английского писателя Хаксли "Юный Архимед". Такое же доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона "Менон". Этой теореме даже посвящены стихи.  О т е о р е м е П и ф а г о р а
(Отрывок из стихотворения А. Шамиссо) Для тех, кто желает больше узнать о Пифагоре, прочитать о нём легенды, выяснить, почему союз пифагорейцев был тайным, почему авторство работ приписывалось учителю и о многом другом, советую прочитать книгу А.В. Волошинова "Пифагор", которая имеется в нашей школьной библиотеке. А тем, кто желает не только больше узнать, но и рассказать другим, я предлагаю приготовить рефераты или проекты по данному материалу. Урок по теме «Теорема Пифагора» Цели урока: Образовательная: создать условия для закрепления теоремы Пифагора, научить применять теорему Пифагора к решению задач; Развивающая: способствовать развитию способности к сопоставлению, наблюдательности, внимания, развитие способности к аналитико-синтетическому мышлению, расширение кругозора; Воспитательная: формирование потребности в знаниях, интереса к математике. Ход урока. 1. Организационный момент Помни всегда Что без труда В учебе побед не добиться Слышим звонок начат урок К финишу мчимся как птицы Только в труде Знанья приходят к тебе Может сейчас, здесь среди нас Будущих лет Пифагоры 2. Мотивация урока. Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора… Иоганн Кеплер Заповеди Пифагора - Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться. - Не делай никогда того, чего не знаешь. - Но научись всему, что следует знать... -Не пренебрегай здоровьем своего тела… - Приучайся жить просто и без роскоши - Не закрывай глаза, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошлый день. - Помогай не тому, кто ношу сваливает, а тому, кто её взваливает. Не забывая об этих заповедях, мы переходим к уроку, на котором будем решать задачи на использование теоремы Пифагора. 3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.
Устная работа по рисункам.  4. Решение задач на использование теоремы Пифагора. Решить задачу по рисунку 429. Решить № 851(1), 852(1), 846(1), 855(1). 5. Физминутка для глаз. -Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, треугольник, изображенный на стенде по часовой стрелке и равный ему треугольник против часовой стрелки. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и … Мы ладонь к глазам приставим, Ноги крепкие расставим. Поворачиваясь вправо, Оглядимся величаво. И налево надо тоже Поглядеть из под ладошек. И – направо! И еще Через левое плечо! а теперь продолжим работу. 6. Самостоятельная работа учащихся. Решить 853(1). 7. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.
Оценивание ответов учащихся, оглашение оценок за урок. Повторить п. 20, 21. Решить № 846(2), 852(2), 855(2). И закончить урок я бы хотела словами Пифагора: «Как хорошо, когда благоденствие человека основано на законах разума». Будьте благоразумными. Урок окончен. Всем спасибо. Урок по теме «Теорема Пифагора. Перпендикуляр и наклонная» Цели урока: Образовательная: создать условия для закрепления теоремы Пифагора, изучения понятия перпендикуляр и наклонная; Развивающая: способствовать развитию способности к сопоставлению, наблюдательности, внимания, развитие способности к аналитико-синтетическому мышлению, расширение кругозора; Воспитательная: формирование потребности в знаниях, интереса к математике. Ход урока. 1. Организационный момент Ребята, послушайте, какая тишина! Это в школе начались уроки. Мы не будем тратить время зря, И приступим все к работе. Мы сюда пришли учиться, Не лениться, а трудиться. Работаем старательно, Слушаем внимательно. 2. Мотивация урока. Дорогие ребята! Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что геометрия – интересный и нужный предмет. Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”. Давайте последуем совету писателя на сегодняшнем уроке: будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни. 3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.
Работа по рисункам:  Решить задачу № 857(по рисунку 432), № 886(2), 853(2). 4. Изучение нового материала. Не для кого не секрет, что вся элементарная геометрия пришла к нам в основном с Египта и Греции. В далекие и древние времена геометрия использовалась как наука для измерения земли, а также очень тесно при строительстве. Все теоремы, законы и аксиомы выводили и доказывали что бы облегчить измерительные или строительные работы. Сегодняшняя тема была очень важна для людей того времени так как перпендикуляр и наклонная основные ориентиры при работе такого типа.   Рассмотрим прямую m и точку АÏ m. Проведем [AC]^m, CÎ m. Как называются: [AC]? Точка С? [перпендикуляр к прямой m; основание перпендикуляра] Сколько перпендикуляров можно провести из данной точки к данной прямой? "ВÎ m и В ¹ С, [AB] – наклонная к прямой m; В – основание наклонной; [BC] – проекция этой наклонной, то есть, отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной. Сколько наклонных можно провести из точки А к данной прямой? Сравните длину любой и наклонной с длиной перпендикуляра. Сформулируйте соответствующее свойство наклонной и докажите его. [Если из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то длина наклонной больше длины перпендикуляра] Доказав это свойство, мы объяснили, почему расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, опущенного на прямую из этой точки, а не длина какого-то другого отрезка. В геометрии в качестве расстояния между фигурами принято брать расстояние между их ближайшими точками!  2) Сколько равных наклонных можно провести к прямой m из точки А? Почему? [Две, так как окружность и прямая не могут иметь более двух общих точек] Как построить их проекции? Как связаны длины проекций равных наклонных? Верно ли обратное? Теорема. Наклонные, проведенные из данной точки к данной прямой равны т. и т. т., когда равны их проекции. Какие еще условия равносильны сформулированным? [Равенство углов между наклонными и проекциями или равенство углов между наклонными и перпендикуляром] 3) Как связаны проекции двух не равных наклонных, проведенных к прямой из данной точки? Верно ли обратное утверждение? Теорема. Из двух наклонных, проведенных из данной точки к данной прямой, одна больше т. и т. т., когда больше ее проекция. |
Похожие:
 | Урок 1 синус, косинус, тангенс основное тригонометрическое тождество Цели: повторить определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника; ввести понятия синуса, косинуса... |  | Урока: «Косинус угла» Цели урока Познакомиться с определением острого угла прямоугольного треугольника, сформулировать теорему о косинусах |
| Теоретический опрос «Соотношения в прямоугольном треугольнике» (8 класс) Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение катета к гипотенузе. Запишите синус углов α и β | | Протокол №2 от 5 ноября 2010г Свойства элементов прямоугольного треугольника. Свойство биссектрисы угла треугольника |
| Учебник по геометрии по данным темам задачами для самостоятельной работы учащихся Свойства элементов прямоугольного треугольника. Свойство биссектрисы угла треугольника | | Приложение: Ответы на вопросы о порядке проведения государственной... Свойства элементов прямоугольного треугольника. Свойство биссектрисы угла треугольника |
| Урока: I. Устная работа Повторение Обучающая: Знать, определения прямоугольного треугольника и его свойства, формулу площадей прямоугольного треугольника, свойства... | | Урока 1,2,3,4,5 я иду искать. По теме «Непроизносимые согласные» Творческая мастерская «Все делили пополам». (По теме «Площадь прямоугольного треугольника») |
| Урок физики в 8 классе по теме: «Лабораторная работа по теме: «Исследование... Перестроение из шеренг в колонны (поворотом на право), с построением на лицевой линии | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Проверка уровня усвоения темы «Угол. Градусная мера угла. Измерение угла. Сумма углов треугольника» |
| Урок изучения нового материала Тема: «Средняя линия треугольника» Образовательные: выучить определение средней линии треугольника, доказательство теоремы о средней линии треугольника. Учить решать... | | Урок 12. Сфера и шар. Решение задач Стороны треугольника 13, 14, 15. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника.... |
| Тема урока : Три свойства прямоугольного треугольника Принципы: научности и доступности, наглядности, системности и последовательности | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели урока: изучение понятия внешнего угла треугольника, теоремы о сумме углов треугольника и её следствий: свойства внешних углов... |
| Урок 13 свойства равнобедренного треугольника цели Цели: изучить свойство биссектрисы (медианы, высоты) равнобедренного треугольника, проведенной к основанию; изучить признак равнобедренного... | | Урок по геометрии в 7 классе Тема: Сумма углов треугольника Цель: Выявить практическим (исследовательским) путем значение суммы углов треугольника, сформулировать и доказать теорему о сумме... |
