Правительство Российской Федерации
Государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет -
Высшая школа экономики»
Факультет мировой экономики и мировой политики Кафедра международных валютно-финансовых отношений
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
на тему: «Генерация функций плотности вероятности как решений дифференциального уравнения второго порядка при прогнозировании фондового рынка»
Студент группы № 463
Байбара Дмитрий Иванович
Руководитель ВКР
д.э.н., профессор
Евстигнеев Владимир Рубенович
Москва, 2013
Содержание
Вступление 2
I. Физикалистская природа уравнения Фоккера-Планка 4
I.1. Детерминистское дифференциальное уравнение 4
I.2. Стохастическое дифференциальное уравнение 7
I.3. Уравнение движения функции плотности распределения 8
II. Поиск частных полиномиальных решений уравнения Фоккера-Планка в контексте анализа финансовых рынков 10
II.1. Общий вид уравнения Фоккера-Планка в финансовом анализе 10
II.2. Приведение исходного уравнения к виду двух ОДУ. Решение ОДУ для физического времени 13
II.3. Решение ОДУ для финансовой переменной. Нахождение частных полиномиальных решений уравнения Фоккера-Планка 15
III. Поиск общей весовой функции и ортонормировка частных полиномиальных решений уравнения Фоккера-Планка 21
III.1. Методология поиска общего решения в контексте анализа рынка обыкновенных акций 21
III.2. Поиск общей весовой функции 23
III.3. Необходимость проведения процедуры ортонормировки частных полиномиальных решений 26
III.4. Ортонормировка полиномиальных решений методом моментов 27
IV. Различные способы нахождения функции плотности до начала временной эволюции 29
IV.1. Методология преобразования с помощью оператора Перрона-Фробениуса нормальной плотности вероятности 29
IV.2. Методология составления функционала при решении задачи вариационного исчисления 32
IV.3. Уравнение Эйлера-Лагранжа и его решение 34
IV.4. Оценка параметров распределения на скользящем векторе для формулирования эволюционирующего во времени начального условия 35
V. Получение общего решения уравнения Фоккера-Планка 39
V.1. Расчет полиномиальных весов с помощью формул численного интегрирования 39
V.2. Методология получения общего решения уравнения Фоккера-Планка для каждого периода и каждой компании 41
VI. Составление прогноза курсовой стоимости обыкновенных акций, входящих в индекс Доу-Джонса на основании общего решения уравнения Фоккера-Планка 43
VI.1. База данных рыночного исследования 43
VI.2. Расчет оценок ожидаемой доходности 43
VI.3. Построение и анализ простейшего торгового правила 45
VI.4. Модификации торгового правила 46
Заключение 50
Список литературы 52
Приложения 54
Вступление
Современный фундаментальный финансовый анализ овладел довольно серьезным и изощренный математическим аппаратом, сравнимым по своей сложности с инструментарием, используемым в сегодняшней физике. В финансовой науке нашли широкое применение математический анализ, теория вероятностей и дифференциальные уравнения, а также отдельные блоки математической статистики и эконометрики.
Темой данного исследования является генерирование функций плотности вероятности как решений дифференциального оператора второго порядка (в частности, уравнения Фоккера-Планка) для прогнозирования финансовых рынков. Актуальность такого рода исследования обусловлена его исключительно прикладным характером, заключающимся в разработке стратегии для торговли на фондовых рынках, в чем исследователь и видит основную цель работы.
Объектом данного исследования выступает метод фундаментального анализа эволюции ценовых процессов на финансовых рынках с помощью дифференциальных уравнений второго порядка. В качестве предмета исследования был выбран дифференциальный оператор второго порядка в частных производных – уравнение Фоккера-Планка, на основании общего решения которого в данном исследовании строится прогноз курсовой стоимости обыкновенных акций компаний, входящих в индекс Доу-Джонса.
Данная работа содержит шесть основных глав, отражающих, в свою очередь, шесть основных задач исследования. В первой главе мы разберемся с физикалистскими истоками уравнения Фоккера-Планка, рассмотрим предпосылки, на которых оно строится, а также каким образом задает временную эволюцию функции плотности вероятности. В Главе II мы увидим, каким образом данный дифференциальный оператор второго порядка используется в контексте анализа финансовых рынков, а также получим ряд частных полиномиальных решений данного уравнения. В третьей главе нам предстоит рассмотреть методологию поиска общей весовой функции, а также процедуру ортонормировки частных полиномиальных решений методом моментов. Глава IV, в свою очередь, целиком посвящена различным методам поиска функции плотности вероятности до начала временной эволюции для формулирования «начального условия», используемого для нахождения полиномиальных весов. В пятой главе мы, используя результаты всех предыдущих разделов, построим общее решение уравнения Фоккера-Планка на каждый временной период. Наконец, в Главе VI мы на основании полученного ряда общих решений построим оценки доходности каждой из бумаг, входящих в нашу выборку, и разработаем эффективное правило для торговли на фондовом рынке, позаботившись о введении необходимых модификаций для снижения волатильности и повышения доходности торговой стратегии.
Для обработки данных и формализации торговых алгоритмов в ходе данного исследования использовался математический пакет Mathcad 15. Все формализованные расчетные документы, а также база данных рыночного исследования содержатся в приложениях 1 – 7.
|
