Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Скачать 442.54 Kb.

Название	Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
страница	6/14
Дата публикации	13.01.2015
Размер	442.54 Kb.
Тип	Документы

100-bal.ru > Математика > Документы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 14

III. Поиск общей весовой функции и ортонормировка частных полиномиальных решений уравнения Фоккера-Планка

III.1. Методология поиска общего решения в контексте анализа рынка обыкновенных акций

В прошлой главе была описана методология получения частных полиномиальных решений уравнения Фоккера-Планка и соответствующих им собственных значений. Для того чтобы в последующем анализе было удобно отталкиваться от полученного результата, в вектор u(x) присвоим шесть первых частных полиномиальных решений (с нулевого по пятый порядок):

В вектора α и λ присвоим найденные собственные значения, соответствующие данным полиномам.

На базе полученных в предыдущей главе результатов нам предстоит найти общее решение уравнения Фоккера-Планка, которое даст нам возможность составления прогнозных оценок.

Получение общего решения из частных полиномиальных происходит в соответствии с принципом линейной суперпозиции.¹⁹ Идея состоит в том, что линейная комбинация независимых частных решений уравнения Фоккера-Планка p(x,t,n) будет представлять собой общее решение:²⁰

,

где с_n – произвольные постоянные, т.е. веса, соответствующие каждому частному полиномиальному решению в отдельности.

Иными словами, на данном этапе задача поиска общего решения сводится к поиску весов для каждого полинома. Однако методология поиска данных весов c_n предполагает решение большого количества предварительных задач:²¹

где a и b – некоторые константы, задающие пределы интегрирования,

W(x) – весовая функция,

q(x) – начальное условие, т.е. функция плотности распределения до начала эволюции (в момент t=0).

Таким образом, для нахождения весов для каждого полинома, нам предварительно следует задаться поиском неизвестных весовой функции W(x) и начального условия q(x).

На этом этапе следует еще раз подчеркнуть разницу между весовой функцией W(x) и весами c_n, соответствующими частным полиномиальным решениям. Весовая функция W(x) является общей для всех полиномиальных решений уравнения Штурма-Лиувилля и служит лишь базой для нахождения весов c_n.²²

III.2. Поиск общей весовой функции

Итак, рассмотрим методологию нахождения весовой функции W(x). Первый (и самый простой) способ нахождения символьного выражения для весовой функции заключается в простом делении R(x) на Q(x):

Второй способ немного сложнее и заключается в использовании операторной формы записи уравнения Штурма-Лиувилля. Заменим R(x) на W(x)*Q(x), а саму весовую функцию W(x) – на неизвестную G(x):²³

--->

--->

Чтобы G(x) удовлетворяла условиям решения, полученное выражение должно равняться нулю. Для этого при любом x≠0 и при m≠2s² необходимо равенство нулю одного из двух выражений:

_или

Тонкий момент заключается в том, что выражение, зависящее от G(x), одинаково для полиномиальных решений всех порядков, а вот второе выражение меняется в зависимости от порядка подставленных в операторную форму полиномов и собственных значений. Иными словами, мы вынуждены требовать либо равенства нулю выражения, зависящего от G(x), либо, строго говоря, бесконечного ряда полиномов, что значительно затруднит нашу задачу в будущем. В связи с этим, для нахождения весовой функции воспользуемся условием, содержащим G(x) и приведем для него подобные слагаемые:

Как мы видим, это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим его, разделив переменные:

<=>

<=>

<=>

Константу мы можем найти, ограничив область определения x (в нашем нашем случае – доходности обыкновенных акций), к примеру, отрезком [0;1]:

<=>

<=>

<=>

Таким образом мы нашли весовую функцию G(x) с точностью до константы:

Сравнивая весовые функции W(x) и G(x), найденные разными способами, стоит признать, что по своему виду они чрезвычайно похожи. Однако при поиске W(x) мы не были вынуждены принимать нереалистичных предпосылок об области определения доходности x. Поэтому в последующем анализе в качестве весовой будет использована функция W(x).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 14

Похожие:

	Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... В соответствии со статьей 179 Бюджетного кодекса Российской Федерации Правительство Челябинской области		Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Правительство Российской Федерации Государственное образовательное...		Правительство Российской Федерации Государственное образовательное...
	Программа Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Проект Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
	Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
	Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
	Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
	Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
	Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Школьные материалы