Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

I.2. Стохастическое дифференциальное уравнение В физике считается, что детерминистское дифференциальное уравнение движения элементарной частицы, приведенное выше, действительно тогда и только тогда, когда масса данной частицы достаточно велика для того чтобы не учитывать изменение скорости данной частицы из-за термических колебаний.6 Таким образом, масса «малой» элементарной частицы не может быть корректно описана данным дифференциальным уравнением. Что же касается частиц, размеры которых достаточно велики для пренебрежения термическими колебаниями, ожидается, что детерминистское уравнение для них действительно. Однако в целях соответствия термальной энергии элементарной частицы действительности, приведенное выше уравнение нуждается в дополнении.7 Мы вынуждены добавить силу колебания Ff(t) в правую часть детерминистского дифференциального уравнения, таким образом, что результирующая сила, действующая на элементарную частицу, будет выглядеть как: Здесь сила колебания Ff(t) будет являться стохастической (или случайной) силой, свойства которой могут быть оценены только с помощью средних значений. Так почему же возникает стохастическая сила Ff(t)? Если бы мы взялись за решение данной задачи в явном виде, нам пришлось бы решить уравнения движения для каждой молекулы жидкости, а также для малой элементарной частицы. В этом случае, никакой стохастической силы бы не возникло. Однако в виду того, что количество молекул в жидкости будет числом порядка 1023, мы не можем решить данную задачу стандартным способом. Более того, мы также не знаем и начальных значений скорости всех молекул жидкости. Поэтому мы вводим понятие стохастической силы Ff(t), чтобы отталкиваться от средних значений данной величины для всей совокупности. Таким образом, стохастическое дифференциальное уравнение движения элементарной частицы запишется в виде: , где - сила колебания на единицу массы (сила Ланжевена). I.3. Уравнение движения функции плотности распределения Сила Ланжевена Γ(t), как и положено любой стохастической величине, принимает различные значения в разных «системах» совокупности. Это, в свою очередь, обуславливает тот факт, что скорость элементарной частицы v также станет стохастической случайной величиной. В связи с этим, мы можем задаться вопросом о вероятности того, что скорость v окажется в интервале (v;v+dv). Отметим также, что в этом случае имеется в виду, что найти вероятность попадания значения скорости в столь малый интервал равносильно нахождению вероятности принятия переменной v конкретного значения. В силу того, что скорость v – непрерывная переменная, мы можем говорить о ее функции плотности вероятности U(v). Таким образом, произведение значения длины интервала (v;v+dv) на функцию плотности вероятности для скорости элементарной частицы будет характеризовать вероятность нахождения частицы в данном интервале. Функция плотности распределения также будет зависеть от времени t. Из определения понятия переходной вероятности следует, что плотности вероятности в моменты t и t+τ (U(v,t) и U(v,t+τ) соответственно) связаны между собой с помощью τ≥0.8 Применив прямое или обратное разложение Крамера одним из предлагаемых в популярной литературе способов, мы получим уравнение движения для функции плотности вероятности W(v,t), которое в простейшем случае будет выглядеть как:9 Полученное уравнение – одно из простейших уравнений семейства Фоккера-Планка. Решениями данного уравнения с учетом адекватных граничных условий будут являться функции плотности вероятности U(v,t), описывающие вероятность для скорости принять конкретное значение в любой момент в будущем. В свою очередь, получив функцию U(v,t), мы можем с помощью интегрирования получить любое усредненное значение скорости: , где h(v) – произвольная функция. Инструментарий, используемый в физике, нашел свое применение и в современном финансовом анализе. Следующая глава данного исследования посвящена тому, какую роль дифференциальные операторы второго порядка играют в финансовой науке.

Похожие:

	Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... В соответствии со статьей 179 Бюджетного кодекса Российской Федерации Правительство Челябинской области		Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Правительство Российской Федерации Государственное образовательное...		Правительство Российской Федерации Государственное образовательное...
	Программа Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Проект Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
	Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
	Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
	Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
	Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
	Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования		Правительство Российской Федерации Государственное образовательное... Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования