1. «Совершенные дизъюнктивные нормальные формы (сднф) и совершенные конъюнктивные нормальные формы (скнф) в алгебре высказываний (АВ)»

Пример 3. Построить подсистему алгебраической системы , порожденную множеством Х:

1. 
   = X={1/2};
   
2. 
   = X={1/2};
   
3. 
   = X={22;-36}.
   

2. 
   Из предыдущего примера следует, что {1/2ⁿ| n≥1}A(X). Так как операция деления является сигнатурной, то 1/2ⁿ1/2^m=2^m-nA(X) для любых m, n≥1. Тогда C={2ⁿ| nZ}A(X). Так как множество С замкнуто относительно операций умножения и деления. т.е. является подсистемой алгебраической системы и содержит множество X, то A(Х)С. Следовательно, A(Х)=С.
   
3. 
   Так как 2=22-8(-36)-1422 и любое число, получаемое из чисел 22, -36 с помощью операции вычитания четное, то A(X)=2
   

2. 
   Формулы логики предикатов
   

1. 
   если t₁, t₂,T(Σ), то t₁=t₂  атомарная формула;
   
2. 
   если P⁽ⁿ⁾Σ  предикатный символ, t₁,t₂,…,t_nT(Σ), то Р(t₁,t₂,…,t_n)  атомарная формула;
   
3. 
   никаких атомарных формул, кроме построенных по пп. 1, 2, нет.
   

2. 
   если φ, ψ – формулы сигнатуры Σ, то ¬φ, (φ∧ψ), (φ∨ψ), (φ→ψ), xφ, xφ – формулы сигнатуры Σ;
   
3. 
   никаких формул сигнатуры Σ, кроме построенных по пп. 1, 2, нет.
   

1. 
   если φ  атомарная формула, то φ  ее единственная подформула;
   
2. 
   если φ имеет вид ¬φ₁, или xφ₁, или xφ₁, то подформула формулы φ – это либо φ, либо подформула формулы φ₁;
   
3. 
   если φ имеет вид φ₁∧φ₂, или φ₁∨φ₂, или φ₁→φ₂, то подформула формулы φ  это либо φ, либо подформула формулы φ₁, либо подформула формулы φ₂;
   
4. 
   других подформул формулы φ, кроме построенных по пп. 1, 2, 3, нет.
   

1. 
   P₁(x);
   
2. 
   Р₂(x,y)→xP₁(x);
   3)x(P₂(x,y)→P₁(x)).
   

1. 
   x<y+z,
   
2. 
   y(x<y+z),
   
3. 
   zy(x<y+z),
   
4. 
   xzy(x<y+z),
   
5. 
   z2=u,
   
6. 
   u=x+z,
   
7. 
   u(u=x+z),
   
8. 
   (z2=u)→u(u=x+z),
   
9. 
   φ.
   

3. 
   Истинность формулы логики предикатов
   

4. 
   ⊨ψ(a₁,…,a_n)∨χ(a₁,…,a_n)⊨ψ(a₁,…,a_n) или ⊨χ(a₁,…,a_n);
   
5. 
   ⊨ψ(a₁,…,a_n)→χ(a₁,…,a_n) если ⊨ψ(a₁,…,a_n), то ⊨χ(a₁,…,a_n);
   
6. 
   ⊨¬ψ(a₁,…,a_n)неверно, что ⊨ψ(a₁,…,a_n);
   
7. 
   ⊨xψ(x,a₁,…,a_n)⊨ψ(a,a₁,…,a_n) для любого аA;
   
8. 
   ⊨xψ(x,a₁,…,a_n)⊨ψ(a,a₁,…,a_n) для некоторого аА.